三角形中位線

知識(shí)點(diǎn)：三角形中位線的概念：連接三角形兩邊的叫做三角形的中位線.三角形中位線定理：三角形的中位線第三邊，并且等于第三邊的，這一定理說明了三角形的中位線與第三邊之間的位置關(guān)系------平行，三角形的中位線與第三邊之間的數(shù)量關(guān)系------等于第三邊的一半.中點(diǎn)四邊形的定義：依次連接任意四邊形各邊所得到的四邊形稱為中點(diǎn)四邊形.例題解析：認(rèn)識(shí)三角形的中位線例1.如圖所示，在中，D、E分別是AB、AC邊的中點(diǎn)，則下列線段中，為的中位線的是（）A.線段CDB.線段BEC.線段DED.線段AE變式練習(xí)1：如圖所示的中，D、E、F分別是邊AB、AC、BC的中點(diǎn)，則圖中中位線有（）條.A.3B.6C.9D.12（二）三角形中位線的性質(zhì)例2.如圖，在中，D、E分別是AB和AC的中點(diǎn)，F(xiàn)是BC延長線上的一點(diǎn)，DF平分CE于點(diǎn)G，CF=2，則BC的長為（）A.2B.3C.4D.6變式練習(xí)2：如圖，在中，CE是的平分線，，AE的延長線交BC邊于點(diǎn)F,D是AB邊的中點(diǎn)，BC=20，AC=14，求DE的長度.例3.如圖，在中，M、N分別是AB、AC的中點(diǎn)，且，則=.例3變式3變式練習(xí)3：如圖，AB∥CD，，，G、H分別為CE、CF的中點(diǎn)，則等于（）A.B.C.D.例4.如圖，在四邊形ABCD中，AD=BC，P是對(duì)角線BD的中點(diǎn)，M、N分別是邊CD和AB的中點(diǎn)，問是什么三角形？為什么？例4變式4變式練習(xí)4：如圖，已知在四邊形ABCD中，E、F分別為CD、DA的中點(diǎn)，AD∥BC，AB=10，BC=6，EF=4.試問是什么三角形？請你給出正確的判斷，并說明理由.例5.如圖，在中，M為BC的中點(diǎn)，AN平分，，求證：MN∥AC.例5變式5變式練習(xí)5：如圖，在中，點(diǎn)D，E分別是AB，AC邊的中點(diǎn)，若把繞著點(diǎn)E順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到.求證：四邊形DBCF是平行四邊形.例6.已知，E和F分別是的邊AD和BC上的點(diǎn)，并且AE=BF，G是AF和BE的交點(diǎn)，H是CE和DF的交點(diǎn)，則GH:BC等于（）A.1：1.5B.1：2C.1：2.5D.1：3變式練習(xí)6：在中，已知AB=8，BC=6，CA=4，點(diǎn)D，E分別是邊AB，AC的中點(diǎn)，則DE等于（）A.4B.3C.2D.1中點(diǎn)四邊形例7.如圖所示的四邊形ABCD，點(diǎn)E、F、G、H分別是邊AB、BC、CD、DA的中點(diǎn)，連接EF、FG、GH、HE，得到四邊形EFGH，求證：四邊形EFGH是平行四邊形.例7變式7變式練習(xí)7：如圖，四邊形ABCD中，AD∥BC，M、N、P、Q分別為AD、BC、BD、AC的中點(diǎn).求證：MN和PQ互相平分.綜合培優(yōu)：應(yīng)用三角形中位線定理研究操作類問題例1、在中，AB=12，AC=10，BC=9，AD是BC邊上的高.將按如圖所示的方式折疊，使點(diǎn)A與點(diǎn)D重合，折痕為EF，則的周長為（）A.9.5B.10.5C.11D.15.5例1變式1變式練習(xí)1：如圖，將非等腰三角形ABC紙片沿DE折疊后，使點(diǎn)A落在BC邊上的點(diǎn)F處.若點(diǎn)D為AB邊的中點(diǎn)，則下列結(jié)論：①是等腰三角形；②；③DE是的中位線，成立的有（）A.①②B.①③C.②③D.①②③（二）構(gòu)造三角形中位線解題例2、如圖，的周長為26，點(diǎn)D，E都在邊BC上，的平分線垂直于AE，垂足為Q，的平分線垂直于AD，垂足為P，若BC=10，則PQ的長為.變式練習(xí)2：如圖，在中，BD、CE分別平分，，于點(diǎn)M，于點(diǎn)N，求證：.變式練習(xí)3：如圖，E，F(xiàn)分別是四邊形ABCD的一組對(duì)邊AD，BC的中點(diǎn)，AD與BC不平行，求證：.三角形中位線定理的實(shí)際應(yīng)用例3、地面上有不在同一直線上的A、B、C三點(diǎn)，一只青蛙位于地面的P點(diǎn)，第一步青蛙從P點(diǎn)跳到P關(guān)于A的對(duì)稱點(diǎn)，第二步從跳到關(guān)于B的對(duì)稱點(diǎn)，第三步從跳到關(guān)于C的對(duì)稱點(diǎn)，第四步從跳到關(guān)于A的對(duì)稱點(diǎn)，第五步從跳到關(guān)于B的對(duì)稱點(diǎn)，以下跳法類推．問青蛙跳完第2013步，落在地面的什么位置上？例3變式4變式練習(xí)4：如圖所示的是吳伯伯家一塊等邊三角形空地ABC，已知點(diǎn)E，F(xiàn)分別是邊AB，AC的中點(diǎn)，量得EF=5米，他想把四邊形BCFE用籬笆圍成一圈放養(yǎng)小雞，則需要籬笆的長是（）A.15米B.20米C.25米D.30米（四）應(yīng)用三角形中位線定理探索規(guī)律例4、如圖，在中，BC=15，、、…、、、、…、分別是AB、AC的10等分點(diǎn)，則等于（）A.45B.55C.67.5D.135例4變式5變式練習(xí)5：如圖，已知的周長為1，連接三邊的中點(diǎn)構(gòu)成第二個(gè)三角形，再連接第二個(gè)三角形三邊的中點(diǎn)構(gòu)成第三個(gè)三角形，…，以此類推，則第十個(gè)三角形的周長為（）A.B.C.D.應(yīng)用三角形中位線定理研究猜想型問題例5、在中，AC=BC，，點(diǎn)D為AC的中點(diǎn).(1)如圖1，E為線段DC上任意一點(diǎn)（不與端點(diǎn)重合），將線段DE繞點(diǎn)D逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到線段DF，連接EF，CF，過點(diǎn)F作FH⊥FC，交直線AB于點(diǎn)H．判斷FH與FC的數(shù)量關(guān)系并加以證明；（2）如圖2，若E為線段DC的延長線上任意一點(diǎn)，（1）中的其他條件不變，你在（1）中得出的結(jié)論是否發(fā)生改變，直接寫出你的結(jié)論，不必證明．變式練習(xí)6：已知：如圖，AD是的中線，E，G分別是AB，AC的中點(diǎn)，GF∥AD交ED的延長線于點(diǎn)F.猜想：EF與AC有怎樣的關(guān)系？試說明你的猜想.練習(xí)：如圖，在四邊形ABCD中，點(diǎn)P是對(duì)角線BD的中點(diǎn)，點(diǎn)E，F(xiàn)分別是AB，CD的中點(diǎn)，AD=BC，，則的度數(shù)是（）A.B.C.D.2、如圖，在中，AB=AC，M、N分別是AB、AC的中點(diǎn)，D、E為BC上的點(diǎn)，連接DN、EM.若AB=13cm，BC=10cm，DE=5cm，試求圖中陰影部分的面積.如圖，在中，BD、CE是的中線，BD與CE相交于點(diǎn)O，點(diǎn)F、G分別是BO、CO的中點(diǎn)，連接AO.若AO=6cm，BC=8cm，則四邊形DEFG的周長是（）題3題44、如圖，在四邊形ABCD中，E、F、G、H分別是AB、BC、CD、DA的中點(diǎn)，依次連接各邊中點(diǎn)得到中點(diǎn)四邊形EFGH.（1）這個(gè)中點(diǎn)四邊形EFGH的形狀是；（2）請證明你的結(jié)論.5、<新疆烏魯木齊>如圖，中，AD是中線，AE是角平分線，于F，AB=5，AC=2，則DF的長為.<2009?綏化>如圖①，在四邊形ABCD中，AB=CD，E，F(xiàn)分別是BC，AD的中點(diǎn)，連接EF并延長，分別與BA，CD的延長線交于點(diǎn)M，N，則(不需證明).（溫馨提示：在圖1中，連接BD，取BD的中點(diǎn)H，連接HE、HF，根據(jù)三角形中位線定理，證明HE=HF，從而∠1=∠2，再利用平行線性質(zhì)，