小學(xué)數(shù)學(xué)概念的學(xué)習(xí)進(jìn)階-以小數(shù)概念為例

小學(xué)數(shù)學(xué)概念的學(xué)習(xí)進(jìn)階：以小數(shù)概念為例摘要:概念學(xué)習(xí)是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的基礎(chǔ)，也是小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)的重點(diǎn)，學(xué)生對概念的理解直接影響其他內(nèi)容的學(xué)習(xí)效果。通過對小數(shù)概念相關(guān)教學(xué)內(nèi)容、學(xué)生學(xué)習(xí)情況以及實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)的分析，發(fā)現(xiàn)學(xué)生學(xué)習(xí)小數(shù)概念的過程存在三個進(jìn)階水平：十進(jìn)率單位情境下理解小數(shù)的含義，非十進(jìn)率單位（百進(jìn)率、千進(jìn)率、六十進(jìn)率等）情境下理解小數(shù)的含義，無情境下理解小數(shù)的意義。因此，建議在小數(shù)概念教學(xué)中增加十進(jìn)率單位情境的類型，延長非十進(jìn)率單位的學(xué)習(xí)時間，凸顯小數(shù)概念本質(zhì)的教學(xué)。關(guān)鍵詞：學(xué)習(xí)進(jìn)階；小學(xué)數(shù)學(xué)概念；小數(shù)概念一、小學(xué)數(shù)學(xué)概念教學(xué)的困難小學(xué)階段的概念教學(xué)一直是數(shù)學(xué)教學(xué)活動的重點(diǎn)與難點(diǎn),學(xué)生對概念的理解直接影響到其他內(nèi)容的學(xué)習(xí)效果。而由于這種理解相對隱性，所以有時學(xué)生對一個概念的錯誤理解會持續(xù)很長時間，直至遇到一個新內(nèi)容才可能顯現(xiàn)。學(xué)生在學(xué)習(xí)小數(shù)加減法時通常容易顯現(xiàn)出其對小數(shù)概念的錯誤理解。例如，教師進(jìn)行了測試：買一支鋼筆2.4元，買一把尺子1.7元。一共需要多少元？結(jié)果發(fā)現(xiàn)，18.9%的學(xué)生得到了2.4+1.7=3.1,還有5.4%的學(xué)生得到3.11o對學(xué)生進(jìn)行追問發(fā)現(xiàn)，結(jié)果為3.1的學(xué)生認(rèn)為：“4+7=11,2+1=3?！薄?+7=11,11在哪里?”“1代表的就是11?！苯Y(jié)果為3.11的學(xué)生認(rèn)為：“2+1=3,4+7=11,滿十向十位進(jìn)1,然后再把1抄下來?！笨梢钥闯?，學(xué)生在解釋為什么得到“3.1”和“3.11”的過程中，能夠清晰地表述滿十進(jìn)1的原則，卻不知如何利用數(shù)位和位值的概念表達(dá)正確的小數(shù)結(jié)果。上述情況下，學(xué)生可能受到了整數(shù)學(xué)習(xí)的影響，將小數(shù)點(diǎn)前面的整數(shù)部分和小數(shù)點(diǎn)后面的小數(shù)部分看作相對獨(dú)立的部分，并沒有將這兩部分之間建立聯(lián)系，即十分位與個位的關(guān)系。這一點(diǎn)在學(xué)習(xí)小數(shù)概念之初并不會特別明顯，學(xué)生能夠理解“1可以轉(zhuǎn)換為1。個0.1”，當(dāng)將這種理解轉(zhuǎn)化成計(jì)算中的“滿十進(jìn)1”并利用數(shù)位與位值進(jìn)行表征時，就出現(xiàn)了不同的錯而數(shù)的計(jì)算是對數(shù)概念的進(jìn)一步理解與應(yīng)用，這說明從概念的理解到概念的運(yùn)用需要一個過程。那么，相對于整數(shù)學(xué)習(xí)而言，小數(shù)概念的學(xué)習(xí)到底發(fā)生了哪些改變？學(xué)生對于小數(shù)概念經(jīng)歷了怎樣的理解過程？二、學(xué)習(xí)進(jìn)階理論及其在小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中的應(yīng)用我們在中國知網(wǎng)上以“學(xué)習(xí)進(jìn)階”為關(guān)鍵詞進(jìn)行檢索發(fā)現(xiàn)，最早的文獻(xiàn)是2013年，然后學(xué)習(xí)進(jìn)階才慢慢進(jìn)入我國教育研究領(lǐng)域，相關(guān)論文也逐漸增多，研究的學(xué)科領(lǐng)域也逐漸拓寬。（―）學(xué)習(xí)進(jìn)階理論的發(fā)展脈絡(luò)從學(xué)習(xí)進(jìn)階理論的發(fā)展軌跡看（見表1）,該理論從研究學(xué)生的學(xué)習(xí)路徑開始，進(jìn)而研究核心概念的形成。換句話說，其關(guān)鍵詞有兩個，一個是學(xué)習(xí)路徑，另一個是核心概念。表1學(xué)習(xí)進(jìn)階理論的發(fā)展脈絡(luò)萌芽期皮亞杰學(xué)派的認(rèn)知學(xué)習(xí)理論這個時期的學(xué)者主要關(guān)注兒童在不同年齡段的認(rèn)知發(fā)展特點(diǎn)、表現(xiàn)以及差異1960年，布魯納提出“螺旋式課程"1978年，維果茨基提出“最近發(fā)展區(qū)"發(fā)展期建構(gòu)主義理論的學(xué)生個體知識建構(gòu)過程這個時期的學(xué)者開始研究某學(xué)科中核心概念的學(xué)習(xí)軌跡1982年，波斯納提出“概念轉(zhuǎn)變理論"1995年，西蒙提出“假設(shè)性學(xué)習(xí)軌跡"蓬勃期2004年，史密斯提出“學(xué)習(xí)進(jìn)階"這個時期的學(xué)者試圖從各個不同的研究角度出發(fā)，基于學(xué)習(xí)進(jìn)階理論，圍繞各個學(xué)科的核心概念進(jìn)行研究，大多以實(shí)證研究為主2005年，美國《國家科學(xué)評價體系》中強(qiáng)調(diào)學(xué)習(xí)進(jìn)階有效地促進(jìn)了課程、教學(xué)和評價三者的連貫性、一致性2007年，美國科學(xué)教育委員會把學(xué)習(xí)進(jìn)階作為科學(xué)教育的改革途徑之一2008年以來，每年的美國國家科學(xué)教育研究會均會組織“學(xué)習(xí)進(jìn)階研究''的專題報(bào)告2013年，美國《新一代科學(xué)教育課程標(biāo)準(zhǔn)》頒布，其參考了學(xué)習(xí)進(jìn)階的研究成果和基本的學(xué)習(xí)進(jìn)階思想2017年，國際數(shù)學(xué)教育心理學(xué)大會專設(shè)論壇對數(shù)學(xué)核心概念的學(xué)習(xí)進(jìn)階的研究和應(yīng)用進(jìn)行更加深層次的討論（二）學(xué)習(xí)進(jìn)階的定義國外很多研究者對學(xué)習(xí)進(jìn)階的定義作了不同的表述，如表2所o表2學(xué)習(xí)進(jìn)階的定義Smith（方法論）學(xué)習(xí)進(jìn)階是在學(xué)生學(xué)習(xí)過程中，以內(nèi)容為載體，相互聯(lián)結(jié)、不斷深入、循序漸進(jìn)的一種推理探究方法ERoseman（序列論）學(xué)習(xí)進(jìn)階是一條由小學(xué)延續(xù)到高中的、有邏輯的、符合學(xué)生認(rèn)知發(fā)展規(guī)律的“概念序列Songer（過程論）學(xué)習(xí)進(jìn)階是學(xué)生對學(xué)習(xí)主題思考、推理和研究的過程⑶Salinas（假設(shè)論）以實(shí)證為基礎(chǔ)的、可檢驗(yàn)的假說，它闡釋了在一段時間內(nèi)經(jīng)過適當(dāng)?shù)慕虒W(xué)指導(dǎo)，學(xué)生對科學(xué)核心概.念、科學(xué)解釋以及科學(xué)實(shí)踐的理解和運(yùn)用是如何逐漸發(fā)展、逐步深入的m續(xù)表美國國家研究理事會（NRC）在一個適當(dāng)時間跨度內(nèi)，學(xué)生對某一學(xué)習(xí)主題的思考和認(rèn)識不斷豐富、深入的一種過程「口由此，學(xué)習(xí)進(jìn)階是學(xué)生在學(xué)習(xí)某重要概念時，教師依據(jù)學(xué)生的認(rèn)知發(fā)展規(guī)律提出進(jìn)階目標(biāo)，通過實(shí)施教學(xué)活動使學(xué)生的思考與認(rèn)識逐漸深入的一種過程。首先，學(xué)習(xí)進(jìn)階是在學(xué)生學(xué)習(xí)過程中發(fā)生的，并且不斷地深入，這個學(xué)習(xí)過程有可能會比較長，甚至從小學(xué)一直延伸到中學(xué)。其次，學(xué)習(xí)進(jìn)階研究的概念并不是一般的概念,而是關(guān)鍵性的、少數(shù)的、重要的核心概念。比如在小學(xué)學(xué)習(xí)過程中，有關(guān)度量的概念，其中包括長度、面積和體積等；有關(guān)代數(shù)初步的核心概念，其中有等式性質(zhì)、方程等概念。由于學(xué)生的智力因素和非智力因素等各方面都會存在個體差異，所以某核心概念的學(xué)習(xí)進(jìn)階只能代表大多數(shù)學(xué)生進(jìn)階發(fā)展的規(guī)律。最后，學(xué)習(xí)進(jìn)階具有一定的假設(shè)性。學(xué)習(xí)進(jìn)階的建構(gòu)是通過研究大量文獻(xiàn)與調(diào)查該階段學(xué)生的認(rèn)知水平，得到學(xué)生認(rèn)知發(fā)展路徑的假設(shè)性描述。此外，既然是學(xué)習(xí)進(jìn)階,那必然有一定的層級性。學(xué)習(xí)就像“爬樓梯”，每一“階”之間都有一定的跨度。循序漸進(jìn)的學(xué)習(xí)才能使學(xué)生在已有的學(xué)習(xí)和生活經(jīng)驗(yàn)下更加順利地理解和掌握新的知識。（三）學(xué)習(xí)進(jìn)階理論在小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中的應(yīng)用我們在中國知網(wǎng)上用“學(xué)習(xí)進(jìn)階”為關(guān)鍵詞檢索出696篇期刊論文和224篇學(xué)位論文（截至2021年9月）。但是，用“小學(xué)數(shù)學(xué)”為關(guān)鍵詞在以上范圍內(nèi)再次檢索，則有4篇學(xué)術(shù)期刊論文和5篇學(xué)位論文，其中以下兩篇較有代表性，一篇是吳志健的《學(xué)習(xí)進(jìn)階理論視域下小學(xué)數(shù)學(xué)習(xí)得性作業(yè)設(shè)計(jì)研究》，文中提道：學(xué)習(xí)進(jìn)階理論是刻畫學(xué)生在一段時間內(nèi)學(xué)習(xí)進(jìn)步歷程的思想、方法與體系，能夠描述學(xué)生學(xué)習(xí)并掌握核心知識與技能的思維路徑與關(guān)鍵節(jié)點(diǎn)，對教學(xué)設(shè)計(jì)與評價具有指導(dǎo)作用，是國家課程標(biāo)準(zhǔn)和教學(xué)實(shí)踐之間的橋梁?；趯W(xué)習(xí)進(jìn)階理論的作業(yè)設(shè)計(jì)，能夠有效地遵循學(xué)生積極發(fā)展的路徑「句另一篇是朱文靜的《小學(xué)數(shù)學(xué)乘法分配律學(xué)習(xí)進(jìn)階的研究》,主要研究學(xué)生在學(xué)習(xí)乘法分配律過程中實(shí)際發(fā)生的進(jìn)階，檢驗(yàn)并調(diào)整乘法分配律的進(jìn)階假設(shè)，形成乘法分配律的學(xué)習(xí)進(jìn)階模型。該模型包含學(xué)生關(guān)于乘法分配律這一學(xué)習(xí)內(nèi)容的學(xué)習(xí)階段、概念理解水平和具體學(xué)業(yè)表現(xiàn)。⑺綜上所述，小學(xué)數(shù)學(xué)概念中有關(guān)學(xué)習(xí)進(jìn)階的研究與實(shí)踐相對較少，這可能與小學(xué)數(shù)學(xué)中的概念教學(xué)特點(diǎn)有關(guān)，小學(xué)數(shù)學(xué)中描述性概念較多，缺少嚴(yán)謹(jǐn)?shù)臄?shù)學(xué)語言的描述。本研究依據(jù)學(xué)習(xí)進(jìn)階理論，以小數(shù)概念為載體，探索學(xué)生在學(xué)習(xí)小數(shù)概念過程中的基本路徑，建立小數(shù)概念的學(xué)習(xí)進(jìn)階并對學(xué)生的相應(yīng)表現(xiàn)進(jìn)行描述。三、小數(shù)概念學(xué)習(xí)進(jìn)階的理論基礎(chǔ)弗賴登塔爾認(rèn)為，“數(shù)學(xué)是系統(tǒng)化了的常識”，而常識并不等于數(shù)學(xué)，“常識要成為數(shù)學(xué),必須經(jīng)過提煉和組織，而凝聚成一定的法則”。宜在《作為教育任務(wù)的數(shù)學(xué)》中，弗賴登塔爾曾說：“數(shù)學(xué)的整體結(jié)構(gòu)應(yīng)該存在于現(xiàn)實(shí)之中。只有密切聯(lián)系實(shí)際的數(shù)學(xué)才能充滿著各種關(guān)系，學(xué)生才能將所學(xué)的數(shù)學(xué)與現(xiàn)實(shí)結(jié)合，并且能夠應(yīng)用……可見，弗賴登塔爾非常重視“現(xiàn)實(shí)世界”與數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的關(guān)聯(lián)，如何讓學(xué)生從現(xiàn)實(shí)世界中抽象出數(shù)學(xué)，并能將抽象的數(shù)學(xué)應(yīng)用于現(xiàn)實(shí),他提出了“數(shù)學(xué)化”這一概念。弗賴登塔爾認(rèn)為，數(shù)學(xué)化就是人們在觀察、認(rèn)識和改造世界的過程中運(yùn)用數(shù)學(xué)的思想和方法來分析和研究客觀世界的種種現(xiàn)象并加以整理和組織的過程。簡單地說，數(shù)學(xué)地組織現(xiàn)實(shí)世界的過程就是數(shù)學(xué)化，是一種由現(xiàn)實(shí)問題到數(shù)學(xué)問題，由具體問題到抽象概念的認(rèn)識轉(zhuǎn)化活動，是人類發(fā)現(xiàn)活動在數(shù)學(xué)領(lǐng)域里的具體體現(xiàn)。弗賴登塔爾將數(shù)學(xué)劃分為兩個層次：水平數(shù)學(xué)化和垂直數(shù)學(xué)化。水平數(shù)學(xué)化是指現(xiàn)實(shí)問題到數(shù)學(xué)問題的轉(zhuǎn)化，是把情境問題表述為數(shù)學(xué)問題的過程。垂直數(shù)學(xué)化是水平數(shù)學(xué)化后進(jìn)行的數(shù)學(xué)化，是從符號到概念的數(shù)學(xué)化，即對已經(jīng)符號化的問題作進(jìn)一步抽象化處理?！笇λ綌?shù)學(xué)化和垂直數(shù)學(xué)化不能單純理解為從具體到一般和從一般到具體，它不是簡單的歸納演繹，這兩個維度的數(shù)學(xué)化是錯綜復(fù)雜地糾纏在一起的。其關(guān)鍵在于“具體”指的是什么，如果“具體”指的是現(xiàn)實(shí)生活，從現(xiàn)實(shí)生活中抽象出數(shù)學(xué)符號，那么這個過程就是水平數(shù)學(xué)化；如果“具體”指的是數(shù)學(xué)模型，那么無論是歸納或是演繹，這個過程都是垂直數(shù)學(xué)化。四、小數(shù)概念學(xué)習(xí)進(jìn)階的研究過程和結(jié)果（一）教材內(nèi)容分析為了厘清小數(shù)概念的學(xué)習(xí)過程，我們對人教版教材和北師大版教材小數(shù)認(rèn)識部分的相關(guān)內(nèi)容進(jìn)行了分析（見表3）,圍繞安排的年級、主題圖、練習(xí)以及后續(xù)內(nèi)容等方面進(jìn)行了整理，發(fā)現(xiàn)兩個版本的教材在內(nèi)容安排上均經(jīng)歷兩次數(shù)學(xué)化的過程，分別出現(xiàn)在三年級和四年級。第一次小數(shù)概念的學(xué)習(xí)均側(cè)重水平數(shù)學(xué)化，是一種經(jīng)驗(yàn)主義下的教學(xué)觀，強(qiáng)調(diào)從實(shí)際生活經(jīng)驗(yàn)入手，逐步抽象出數(shù)學(xué)概念。而第二次小數(shù)概念的學(xué)習(xí)則更加側(cè)重垂直數(shù)學(xué)化，是一種結(jié)構(gòu)主義下的教學(xué)觀，更強(qiáng)調(diào)學(xué)科知識之間的關(guān)聯(lián)性以及小數(shù)概念的數(shù)學(xué)意義。除了上述共同之處，筆者還發(fā)現(xiàn)在水平數(shù)學(xué)化階段，人教版教材是從多個生活模型中抽象出小數(shù)，并以一位小數(shù)的學(xué)習(xí)為主；而北師大版教材則從人民幣這一種生活模型中抽象出小數(shù)，并且以兩位小數(shù)的學(xué)習(xí)為主。在垂直數(shù)學(xué)化階段,人教版教材直接由長度單位進(jìn)入小數(shù)計(jì)數(shù)單位的學(xué)習(xí)，而北師大版教材則由元、角、分到長度單位，再進(jìn)入小數(shù)計(jì)數(shù)單位的學(xué)習(xí)。另外，在后續(xù)學(xué)習(xí)中，兩個版本教材也存在微小差異，人教版教材在小數(shù)垂直數(shù)學(xué)化之后直接進(jìn)入數(shù)位順序表的學(xué)習(xí)，而北師大版教材則先引入更多常見數(shù)量單位的小數(shù)內(nèi)容，再進(jìn)入數(shù)位順序表的學(xué)習(xí)。表3兩個版本教材小數(shù)認(rèn)識教學(xué)內(nèi)容比較小數(shù)概念數(shù)學(xué)化過程人教版教材北師大版教材水平數(shù)學(xué)化M年級下冊三年級上冊主題圖由元、角、分、身高、體溫認(rèn)識小數(shù)由元角分認(rèn)識小數(shù)練習(xí)身高、長度（線段圖）、元、角、分根據(jù)給出的人民幣，填寫以“元”為單位的數(shù)小數(shù)位數(shù)以一位小數(shù)為主以兩位小數(shù)為主水平數(shù)學(xué)化與垂直數(shù)學(xué)化四年級下冊四年級下冊主題圖由長度單位認(rèn)識0.1和0.0.1由元、角、分到長度單位進(jìn)而認(rèn)識0.1和0.01練習(xí)根據(jù)小數(shù)數(shù)學(xué)模型填寫小數(shù)根據(jù)元、角、分和長度單位填寫小?數(shù)，根據(jù)小數(shù)數(shù)學(xué)模型填寫小數(shù)后續(xù)內(nèi)容小?數(shù)各部分名稱及數(shù)位順序表用小數(shù)來表示常見數(shù)量單位（長度、重量、時間）、小數(shù)各部分名稱及數(shù)位順序表可見，無論哪個版本的教材，都強(qiáng)調(diào)由生活實(shí)際中的模型到數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中的符號表達(dá)，在兩次數(shù)學(xué)化過程中，不斷理解小數(shù)的意義，最終不僅能理解小數(shù)在現(xiàn)實(shí)生活中的含義，還能理解小數(shù)在數(shù)概念中的抽象意義。（二）學(xué)生學(xué)習(xí)情況分析1.小數(shù)的初步認(rèn)識關(guān)于“小數(shù)的初步認(rèn)識”這一內(nèi)容，筆者對北京市某小學(xué)三年級60名學(xué)生進(jìn)行了前測調(diào)研,用兩道題：一道是根據(jù)給出商品的價錢2元1角5分，以元為單位寫出相應(yīng)的價簽；另一道是根據(jù)給出的人民幣幣值（見圖1）,以元為單位寫出相應(yīng)的價簽。圖1前測題目從前測的結(jié)果來看，對于第一題能夠用小數(shù)正確表達(dá)的僅占28.9%,說明雖然學(xué)生對于商品價格非常熟悉，在生活中也經(jīng)?？吹剑蠖鄶?shù)學(xué)生還不能將價格的表達(dá)與小數(shù)建立聯(lián)系。對于第二題，有71.7%的學(xué)生出現(xiàn)困難甚至錯誤。為了弄清楚學(xué)生的想法，對不同的結(jié)果進(jìn)行了學(xué)生訪談（見表4）。對于能正確寫出5.02元的學(xué)生，當(dāng)追問其中的“0”是什么意思時，學(xué)生能說出。表示。角；對于結(jié)果是錯誤或空白的71.7%的學(xué)生，追問寫成5元2分的學(xué)生，能否只用元做單位時，學(xué)生感到非常困惑。由于缺乏相關(guān)的小數(shù)的生活經(jīng)驗(yàn)，所以選擇了自己更加熟悉的元、角、分的形式來記錄價錢的多少。無論學(xué)生選擇了哪種表達(dá)，都說明了學(xué)生雖然認(rèn)識人民幣，也知道小數(shù)的表達(dá)方式，但是對于人民幣與小數(shù)之間的關(guān)聯(lián)不清楚，實(shí)際意義與數(shù)學(xué)表達(dá)并不匹配。表4學(xué)生訪談結(jié)果結(jié)果學(xué)生的解釋人數(shù)及百分比5.02元5表示5元，2表示2分，0表示0角，沒有角17人（28.3%）5元2分不會像價簽?zāi)菢訉?人（13.3%）5.2元5?表示5元，2表示2分31人（51.7%）5.20元表示5元2分，后面沒有數(shù)用。占位2人（3.3%）5元后面的數(shù)不知道該怎么寫1人（1.7%）空白1人（1.7%）2?/、數(shù)的再認(rèn)識“小數(shù)的再認(rèn)識”內(nèi)容的學(xué)情分析來自北京市某小學(xué)80名四年級學(xué)生，前測題目是“如何理解0.1分米、0.1平方分米、0.1千克和0.1時?，其中正確理解。?1分米的學(xué)生占85.0%,對其他三種數(shù)量能夠正確理解的學(xué)生占62.5%至68.8%,對0.1千克和0.1時正確理解的學(xué)生比例最低，占62.5%,更多的錯誤集中在對不同單位的換算。基于學(xué)生對小數(shù)的基本認(rèn)識和對分?jǐn)?shù)意義的理解，大部分學(xué)生能較準(zhǔn)確地表達(dá)出0.1分米的意義。對于0.1平方分米、0.1千克和0.1時，能正確理解的學(xué)生比例低于0.1分米，而且由于受元、角、分、米、分米、厘米與小數(shù)數(shù)位十進(jìn)關(guān)系的影響，部分學(xué)生認(rèn)為0.1平方米=1平方分米，0.1時=1分，0.1千克=1克。（三）學(xué)習(xí)進(jìn)階的建立小數(shù)學(xué)習(xí)實(shí)現(xiàn)了水平數(shù)學(xué)化和垂直數(shù)學(xué)化兩次小數(shù)學(xué)習(xí)的數(shù)學(xué)化過程，一次是由具體的元、角、分抽象出小數(shù)，另一次是認(rèn)識小數(shù)的數(shù)學(xué)含義，即小數(shù)的計(jì)數(shù)單位及數(shù)學(xué)意義。也就是實(shí)現(xiàn)了生活到符號的轉(zhuǎn)化，符號到數(shù)學(xué)抽象表達(dá)的轉(zhuǎn)化，進(jìn)而與運(yùn)算系統(tǒng)之間建立聯(lián)系，將整數(shù)學(xué)習(xí)的知識和經(jīng)驗(yàn)遷移到小數(shù)的學(xué)習(xí)中。小數(shù)概念的學(xué)習(xí)進(jìn)階見表5。結(jié)合前測結(jié)果，我們將水平數(shù)學(xué)化劃分為三個水平。第一水平為學(xué)生在元、角、分等具體情境下理解小數(shù)的含義。由于學(xué)生經(jīng)常在超市等地方看到小數(shù)，所以能讀懂表示價錢的小數(shù)。換句話說，學(xué)生因?yàn)橐姷枚?，可以從“形”上記住小?shù)，感受到小數(shù)與元、角、分之間的關(guān)系，但這些認(rèn)識均是對小數(shù)意義在元、角、分特定情境下的解釋，這種解釋不能獨(dú)立存在，其依托價格情境，而沒有上升至對小數(shù)抽象概念的理解。第二水平為學(xué)生將小數(shù)意義遷移到其他情境中。第三水平為學(xué)生認(rèn)識小數(shù)在除元、角、分外非十進(jìn)率單位情境中的含義。在這個過程中，由于受到元、角、分與數(shù)位上計(jì)數(shù)單位進(jìn)率一致的影響，學(xué)生容易產(chǎn)生類似“0.1平方米=1平方分米”的錯誤。其中，第三水平的學(xué)習(xí)難于第一層次和第二層次，但其更接近小數(shù)概念的數(shù)學(xué)本質(zhì)。垂直數(shù)學(xué)化即為第四水平，上升到小數(shù)數(shù)域中數(shù)概念的學(xué)習(xí)，抽象出小數(shù)數(shù)位及計(jì)數(shù)單位的理解，最終實(shí)現(xiàn)小數(shù)概念的數(shù)學(xué)化。表5小數(shù)概念的學(xué)習(xí)進(jìn)階數(shù)學(xué)化層次進(jìn)階水平學(xué)生表現(xiàn)水平數(shù)學(xué)化水平一在元、角、分情境下理解小數(shù)的含義能夠解釋0.25元的意義水平二在長度單位情境下理解小數(shù)的含義能夠解釋0.1米等的意義水平三在非十進(jìn)單位情境下理解小數(shù)的含義能夠解釋0.1平方米、（）.1千克、0.1時的意義垂直數(shù)學(xué)化水平四在無情境下能夠理解小數(shù)計(jì)數(shù)單位的意義能夠理解0.1的抽象意義（四）學(xué)習(xí)進(jìn)階的測試結(jié)果學(xué)習(xí)進(jìn)階測試共27個題目。各進(jìn)階水平測試題目數(shù)量、平均難度和標(biāo)準(zhǔn)差如表6所示。從平均難度來看，水平一和水平二的難度差異較小，標(biāo)準(zhǔn)差差異也較小。表6學(xué)習(xí)進(jìn)階題目測試結(jié)果進(jìn)階水平題目數(shù)量平均難度①標(biāo)準(zhǔn)差水平一7一2.951.39水平二7—3.251.50水平三6—1.600.65水平四7-1.260.98其中，難度較大的兩個題目分別是0.4時=（）分和比較鉛筆粗細(xì)的一道問題解決題目（見圖2）?？梢姡M(jìn)率和在具體情境下解決問題的題目對學(xué)生來說比較困難。圖2比較鉛筆粗細(xì)的一道問題解決題目（五）學(xué)習(xí)進(jìn)階的修正依據(jù)測試結(jié)果,對小數(shù)概念的學(xué)習(xí)進(jìn)階進(jìn)行了修正，修正結(jié)果如表7所示。表7小數(shù)概念學(xué)習(xí)進(jìn)階的修正數(shù)學(xué)化層次進(jìn)階水平學(xué)生表現(xiàn)水平數(shù)學(xué)化水平一在十進(jìn)率單位情境下理解小數(shù)的含義能夠理解0.1元、0.1米等十進(jìn)率單位的意義水平二在百進(jìn)率、千進(jìn)率單位情境下理解小數(shù)的含義能夠理解0.1平方米、0.1千米等整百、整千進(jìn)率單位的意義在六十進(jìn)率單位情境下理解小數(shù)的意義能夠理解0.1時等六十進(jìn)率單位的意義垂直數(shù)學(xué)化水平三在無情境下理解小數(shù)的意義能夠理解0.1的抽象意義在學(xué)習(xí)進(jìn)階的修正中，首先，根據(jù)測試結(jié)果，學(xué)生對元、角、分情境與十進(jìn)長度情境下題目的理解程度相似，因而將元、角、分情境與十進(jìn)長度情境合并。其次，為了突出學(xué)生在學(xué)習(xí)小數(shù)概念時的一般思維路徑，對非十進(jìn)率單位進(jìn)行了再次細(xì)分，即將整百、整千進(jìn)率的單位情境和學(xué)生理解困難的六十進(jìn)率的單位情境分為水平二的兩個層次。修正后測試題目的難度分布以及學(xué)生的測試結(jié)果如表8所示。從表中結(jié)果可以看出，三個水平的難度呈現(xiàn)出一定的階梯。另外，92.6%的已經(jīng)學(xué)習(xí)過小數(shù)概念的學(xué)生對小數(shù)概念的理解已經(jīng)達(dá)到水平三，僅有少數(shù)學(xué)生對于小數(shù)概念的理解仍處于水平一和水平二。表8修正后的測試題目難度分布以及學(xué)生的測試結(jié)果①測試題目難度分布學(xué)生測試結(jié)果題目數(shù)量平均難度標(biāo)準(zhǔn)差人數(shù)百分比水平一13-3.481.39122.9%水平二6-1.630.65194.5%水平三5—0.590.7338892.6%五、對小數(shù)概念教學(xué)的建議（-）初次學(xué)習(xí)小數(shù)意義時，可以增加十進(jìn)率單位情境的類型《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》在第一學(xué)段（1-3年級）“數(shù)與代數(shù)”中指出：“能結(jié)合具體情境初步認(rèn)識小數(shù)……能讀、寫小數(shù)……”“能結(jié)合具體情境比較兩個一位小數(shù)的大小”。顯然，無論小數(shù)的意義或是小數(shù)的讀寫,抑或是小數(shù)的大小比較，都沒有脫離具體情境。而通過對小數(shù)概念學(xué)習(xí)進(jìn)階的研究發(fā)現(xiàn)，學(xué)生在解決0.1元=（）角時，依據(jù)是“元”對著個位，“角”對著十分位，“分”對著百分位。這和解決0.1米=（）分米、0.1分米=（）厘米這類問題時，依據(jù)的想法是接近的。因?yàn)檫@些單位都