2024屆北京市西城區(qū)西城外國(guó)語(yǔ)學(xué)校高二上數(shù)學(xué)期末教學(xué)質(zhì)量檢測(cè)模擬試題含解析

2024屆北京市西城區(qū)西城外國(guó)語(yǔ)學(xué)校高二上數(shù)學(xué)期末教學(xué)質(zhì)量檢測(cè)模擬試題考生須知：1．全卷分選擇題和非選擇題兩部分，全部在答題紙上作答。選擇題必須用2B鉛筆填涂；非選擇題的答案必須用黑色字跡的鋼筆或答字筆寫(xiě)在“答題紙”相應(yīng)位置上。2．請(qǐng)用黑色字跡的鋼筆或答字筆在“答題紙”上先填寫(xiě)姓名和準(zhǔn)考證號(hào)。3．保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，在草稿紙、試題卷上答題無(wú)效。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．如圖，過(guò)拋物線(xiàn)的焦點(diǎn)的直線(xiàn)交拋物線(xiàn)于點(diǎn)，，交其準(zhǔn)線(xiàn)于點(diǎn)，準(zhǔn)線(xiàn)與對(duì)稱(chēng)軸交于點(diǎn)，若，且，則此拋物線(xiàn)的方程為（）A. B.C. D.2．已知直線(xiàn)與直線(xiàn)垂直，則a＝（）A.3 B.1或﹣3C.﹣1 D.3或﹣13．已知圓，圓相交于P，Q兩點(diǎn)，其中，分別為圓和圓的圓心.則四邊形的面積為（）A.3 B.4C.6 D.4．已知實(shí)數(shù)滿(mǎn)足方程，則的最大值為（）A.3 B.2C. D.5．下列命題是真命題的個(gè)數(shù)為（）①不等式的解集為②不等式的解集為R③設(shè)，則④命題“若，則或”為真命題A1 B.2C.3 D.46．已知雙曲線(xiàn)漸近線(xiàn)方程為，則該雙曲線(xiàn)的離心率等于（）A. B.C.2 D.47．如圖，是水平放置的的直觀圖，其中，，分別與軸，軸平行，則（）A.2 B.C.4 D.8．已知橢圓的長(zhǎng)軸長(zhǎng)為10，焦距為8，則該橢圓的短軸長(zhǎng)等于（）A.3 B.6C.8 D.129．若命題“，”是假命題，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（）A. B.C. D.10．當(dāng)時(shí)，不等式恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（）A. B.C. D.11．已知點(diǎn)在拋物線(xiàn)上，則點(diǎn)到拋物線(xiàn)焦點(diǎn)的距離為（）A.1 B.2C.3 D.412．若雙曲線(xiàn)的漸近線(xiàn)方程為，則的值為（）A.2 B.3C.4 D.6二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．若拋物線(xiàn)上一點(diǎn)到其準(zhǔn)線(xiàn)的距離為4，則拋物線(xiàn)的標(biāo)準(zhǔn)方程為_(kāi)__________.14．設(shè)雙曲線(xiàn)C:的焦點(diǎn)為，點(diǎn)為上一點(diǎn)，，則為_(kāi)____.15．已知某地區(qū)內(nèi)貓的壽命超過(guò)10歲的概率為0.9，超過(guò)12歲的概率為0.6，那么該地區(qū)內(nèi)，一只壽命超過(guò)10歲的貓的壽命超過(guò)12歲的概率為_(kāi)__________.16．若圓被直線(xiàn)平分，則值為_(kāi)_________三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17．（12分）已知等差數(shù)列滿(mǎn)足，.（1）求的通項(xiàng)公式；（2）設(shè)，求數(shù)列的前項(xiàng)和.18．（12分）已知雙曲線(xiàn)：的兩條漸近線(xiàn)所成的銳角為且點(diǎn)是上一點(diǎn)（1）求雙曲線(xiàn)的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）若過(guò)點(diǎn)的直線(xiàn)與交于，兩點(diǎn)，點(diǎn)能否為線(xiàn)段的中點(diǎn)？并說(shuō)明理由19．（12分）已知拋物線(xiàn)C的對(duì)稱(chēng)軸是y軸，點(diǎn)在曲線(xiàn)C上.（1）求拋物線(xiàn)的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）過(guò)拋物線(xiàn)焦點(diǎn)的傾斜角為直線(xiàn)l與拋物線(xiàn)交于A、B兩點(diǎn)，求線(xiàn)段AB的長(zhǎng)度.20．（12分）已知函數(shù).（1）求函數(shù)的極值；（2）是否存在實(shí)數(shù)，，，對(duì)任意的正數(shù)，都有成立？若存在，求出，，的所有值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.21．（12分）自我國(guó)爆發(fā)新冠肺炎疫情以來(lái)，各地醫(yī)療單位都加緊了醫(yī)療用品的生產(chǎn)．某醫(yī)療器械廠統(tǒng)計(jì)了口罩生產(chǎn)車(chē)間每名工人的生產(chǎn)速度，并將所得數(shù)據(jù)分成五組并繪制出如圖所示的頻率分布直方圖．已知前四組的頻率成等差數(shù)列，第五組與第二組的頻率相等（1）估計(jì)口罩生產(chǎn)車(chē)間工人生產(chǎn)速度的中位數(shù)（結(jié)果寫(xiě)成分?jǐn)?shù)的形式）；（2）為了解該車(chē)間工人生產(chǎn)速度是否與他們的工作經(jīng)驗(yàn)有關(guān)，現(xiàn)從車(chē)間所有工人中隨機(jī)抽樣調(diào)查了5名工人的生產(chǎn)速度以及他們的工齡（參加工作的年限），數(shù)據(jù)如下表：工齡x（單位：年）4681012生產(chǎn)速度y（單位：件/小時(shí)）4257626267根據(jù)上述數(shù)據(jù)求每名工人的生產(chǎn)速度y關(guān)于他的工齡x的回歸方程，并據(jù)此估計(jì)該車(chē)間某位有16年工齡的工人的生產(chǎn)速度附：回歸方程中斜率和截距的最小二乘估計(jì)公式為：，22．（10分）已知橢圓的離心率，左、右焦點(diǎn)分別為、，點(diǎn)在橢圓上，過(guò)的直線(xiàn)交橢圓于、兩點(diǎn).（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）求的面積的最大值.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、B【解析】根據(jù)拋物線(xiàn)定義，結(jié)合三角形相似以及已知條件，求得，則問(wèn)題得解.【詳解】根據(jù)題意，過(guò)作垂直于準(zhǔn)線(xiàn)，垂足為，過(guò)作垂直于準(zhǔn)線(xiàn)，垂足為，如下所示：因?yàn)?，?/，，則，故可得，又△△，則，即，解得，故拋物線(xiàn)方程為：.故選：.2、D【解析】根據(jù)，得出關(guān)于的方程，即可求解實(shí)數(shù)的值.【詳解】直線(xiàn)與直線(xiàn)垂直，所以，解得或.故選：D.3、A【解析】求得，由此求得四邊形的面積.【詳解】圓的圓心為，半徑；圓的圓心為，所以，由、兩式相減并化簡(jiǎn)得，即直線(xiàn)的方程為，到直線(xiàn)的距離為，所以，所以四邊形的面積為.故選：A4、D【解析】將方程化為，由圓的幾何性質(zhì)可得答案.【詳解】將方程變形為，則圓心坐標(biāo)為，半徑，則圓上的點(diǎn)的橫坐標(biāo)的范圍為：則x的最大值是故選：D.5、B【解析】舉反例判斷A，解一元二次不等式確定B，由導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算法則求導(dǎo)判斷C，利用逆否命題判斷D【詳解】顯然不是的解，A錯(cuò)；，B正確；，，C錯(cuò)；命題“若，則或”的逆否命題是：若且，則，是真命題，原命題也是真命題，D正確真命題個(gè)數(shù)2.故選：B6、A【解析】由雙曲線(xiàn)的漸近線(xiàn)方程，可得，再由的關(guān)系和離心率公式，計(jì)算即可得到所求值【詳解】解：雙曲線(xiàn)的漸近線(xiàn)方程為，由題意可得即，可得由可得，故選：A.7、D【解析】先確定是等腰直角三角形，求出，再確定原圖的形狀，進(jìn)而求出.【詳解】由題意可知是等腰直角三角形，，其原圖形是，，，，則，故選：D.8、B【解析】根據(jù)橢圓中的關(guān)系即可求解.【詳解】橢圓的長(zhǎng)軸長(zhǎng)為10，焦距為8，所以，，可得，，所以，可得，所以該橢圓的短軸長(zhǎng)，故選：B.9、A【解析】根據(jù)命題與它的否定命題一真一假，寫(xiě)出該命題的否定命題，再求實(shí)數(shù)的取值范圍【詳解】解：命題“，”是假命題，則它的否定命題“，”是真命題，時(shí)，不等式為，顯然成立；時(shí)，應(yīng)滿(mǎn)足，解得，所以實(shí)數(shù)的取值范圍是故選：A10、A【解析】設(shè)，對(duì)實(shí)數(shù)的取值進(jìn)行分類(lèi)討論，求得，解不等式，綜合可得出實(shí)數(shù)的取值范圍.【詳解】設(shè)，其中.①當(dāng)時(shí)，即當(dāng)時(shí)，函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，則，解得，此時(shí)不存在；②當(dāng)時(shí)，，解得；③當(dāng)時(shí)，即當(dāng)時(shí)，函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，則，解得，此時(shí)不存在.綜上所述，實(shí)數(shù)的取值范圍是.故選：A.11、B【解析】先求出拋物線(xiàn)方程，焦點(diǎn)坐標(biāo)，再用兩點(diǎn)間距離公式進(jìn)行求解.【詳解】將代入拋物線(xiàn)中得：，解得：，所以?huà)佄锞€(xiàn)方程為，焦點(diǎn)坐標(biāo)為，所以點(diǎn)到拋物線(xiàn)焦點(diǎn)的距離為故選：B12、A【解析】根據(jù)雙曲線(xiàn)方程確定焦點(diǎn)位置，再根據(jù)漸近線(xiàn)方程為求解.【詳解】因?yàn)殡p曲線(xiàn)所以焦點(diǎn)在x軸上，又因?yàn)闈u近線(xiàn)方程為，所以，所以.故選：A【點(diǎn)睛】本題主要考查雙曲線(xiàn)的幾何性質(zhì)，還考查了理解辨析的能力，屬于基礎(chǔ)題.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】先由拋物線(xiàn)的方程求出準(zhǔn)線(xiàn)的方程，然后根據(jù)點(diǎn)到準(zhǔn)線(xiàn)的距離可求，進(jìn)而可得拋物線(xiàn)的標(biāo)準(zhǔn)方程.【詳解】拋物線(xiàn)的準(zhǔn)線(xiàn)方程為，點(diǎn)到其準(zhǔn)線(xiàn)的距離為，由題意可得，解得，故拋物線(xiàn)的標(biāo)準(zhǔn)方程為.故答案為：.14、14【解析】利用雙曲線(xiàn)的定義求解即可【詳解】由，得，則，因?yàn)辄c(diǎn)為上一點(diǎn)，所以，因?yàn)?，所以，解得或（舍去），故答案為?415、【解析】根據(jù)條件概率公式求解即可.【詳解】設(shè)事件A：貓的壽命超過(guò)10歲，事件B：貓的壽命超過(guò)12歲.依題意有，，則一只壽命超過(guò)10歲貓的壽命超過(guò)12歲的概率.故答案為：16、；【解析】求出圓的圓心坐標(biāo)，代入直線(xiàn)方程求解即可【詳解】解：的圓心圓被直線(xiàn)平分，可知直線(xiàn)經(jīng)過(guò)圓的圓心，可得解得；故答案為：1【點(diǎn)睛】本題考查直線(xiàn)與圓的位置關(guān)系的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17、（1）；（2）.【解析】（1）設(shè)等差數(shù)列的公差為，根據(jù)題意可得出關(guān)于、的方程組，解出這兩個(gè)量的值，可得出數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）求得，利用裂項(xiàng)法可求得.【小問(wèn)1詳解】解：設(shè)等差數(shù)列的公差為，則，可得，由可得，即，解得，，故.【小問(wèn)2詳解】解：，因此，.18、（1）；（2）點(diǎn)不能為線(xiàn)段的中點(diǎn)，理由見(jiàn)解析.【解析】（1）由漸近線(xiàn)夾角求得一個(gè)斜率，再代入點(diǎn)的坐標(biāo)，然后可解得得雙曲線(xiàn)方程；（2）設(shè)直線(xiàn)方程為（斜率不存在時(shí)另說(shuō)明），與雙曲線(xiàn)方程聯(lián)立，消元后應(yīng)用韋達(dá)定理，結(jié)合中點(diǎn)坐標(biāo)公式求得，然后難驗(yàn)證直線(xiàn)與雙曲線(xiàn)是否相交即可得【詳解】解：（1）由題意知，雙曲線(xiàn)的漸近線(xiàn)的傾斜角為30°或60°，即或當(dāng)時(shí)，的標(biāo)準(zhǔn)方程為，代入，無(wú)解當(dāng)時(shí)，的標(biāo)準(zhǔn)方程為，代入，解得故的標(biāo)準(zhǔn)方程為（2）不能是線(xiàn)段的中點(diǎn)設(shè)交點(diǎn)，，當(dāng)直線(xiàn)的斜率不存在時(shí)，直線(xiàn)與雙曲線(xiàn)只有一個(gè)交點(diǎn)，不符合題意.當(dāng)直線(xiàn)的斜率存在時(shí)，設(shè)直線(xiàn)方程為，聯(lián)立方程組，整理得，則，由得，將代入判別式，所以滿(mǎn)足題意的直線(xiàn)也不存在所以點(diǎn)不能為線(xiàn)段的中點(diǎn)19、（1）（2）16【解析】（1）設(shè)拋物線(xiàn)的標(biāo)準(zhǔn)方程為：，再代入求解即可.（2）根據(jù)焦點(diǎn)弦公式求解即可.【小問(wèn)1詳解】由題意知拋物線(xiàn)C的對(duì)稱(chēng)軸是y軸，點(diǎn)在曲線(xiàn)C上，所以?huà)佄锞€(xiàn)開(kāi)口向上，設(shè)拋物線(xiàn)的標(biāo)準(zhǔn)方程為：，代入點(diǎn)的坐標(biāo)得：，解得則拋物線(xiàn)的標(biāo)準(zhǔn)方程為：.【小問(wèn)2詳解】焦點(diǎn)，則直線(xiàn)的方程是，設(shè)，，由得，，所以，則，故.20、（1）極小值為：，無(wú)極大值（2），，【解析】（1）先求導(dǎo)求單調(diào)性，再判斷極值點(diǎn)求極值即可；（2）易知，只需要為函數(shù)和的公切線(xiàn)即可，求出公切線(xiàn)，代入后分別證明和成立即可.【小問(wèn)1詳解】由題意知：，令，解得，令，解得，所以函數(shù)在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減，所以為函數(shù)的極小值點(diǎn)，即極小值為：，無(wú)極大值.【小問(wèn)2詳解】設(shè)，易知，所以點(diǎn)是和的公共點(diǎn)，要使成立，只需要為函數(shù)和的公切線(xiàn)即可，由（1）知，，所以在點(diǎn)處的切線(xiàn)為：，同理可得在點(diǎn)處的切線(xiàn)為：，由題意知為同一條直線(xiàn)，所以解得，即等價(jià)于；下面證明這個(gè)式子成立：首先證明等價(jià)于，設(shè)，所以，恒成立，所以單調(diào)遞增，易知，所以當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，所以，故不等式成立，即成立；再證明：等價(jià)于，設(shè)，所以，所以當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減，所以，故不等式成立，即成立；綜上所述，存在，，使得成立.故：，，.【點(diǎn)睛】函數(shù)的單調(diào)性是函數(shù)的重要性質(zhì)之一，它的應(yīng)用貫穿于整個(gè)高中數(shù)學(xué)的教學(xué)之中.某些數(shù)學(xué)問(wèn)題從表面上看似乎與函數(shù)的單調(diào)性無(wú)關(guān)，但如果我們能挖掘其內(nèi)在聯(lián)系，抓住其本質(zhì)，那么運(yùn)用函數(shù)的單調(diào)性解題，能起到化難為易、化繁為簡(jiǎn)的作用.因此對(duì)函數(shù)的單調(diào)性進(jìn)行全面、準(zhǔn)確的認(rèn)識(shí)，并掌握好使用的技巧和方法，這是非常必要的.根據(jù)題目的特點(diǎn)，構(gòu)造一個(gè)適當(dāng)?shù)暮瘮?shù)，利用它的單調(diào)性進(jìn)行解題，是一種常用技巧.許多問(wèn)題，如果運(yùn)用這種思想去解決，往往能獲得簡(jiǎn)潔明快的思路，有著非凡的功效.21、（1）（2）80件/小時(shí)【解析】（1）先利用等差數(shù)列的通項(xiàng)公式和頻率分布直方圖各矩形的面積之和為1求出各組頻率，再利用頻率分布直方圖求中位數(shù)；（2）先求出、，利用最小二乘法求出回歸直線(xiàn)方程，再進(jìn)行預(yù)測(cè)其生產(chǎn)速度.【小問(wèn)1詳解】解：設(shè)前4組的頻率分別為，，，，公差為，由頻率分布直方圖，得，即，解得，則，，所以中位數(shù)為.【小問(wèn)2詳解】解：由題意，得，，由所給公式，得，，所以回歸直線(xiàn)方程為，則當(dāng)時(shí)，，即估計(jì)該車(chē)間某