2024屆福建省晉江市數(shù)學(xué)高二上期末質(zhì)量檢測(cè)模擬試題含解析

2024屆福建省晉江市數(shù)學(xué)高二上期末質(zhì)量檢測(cè)模擬試題考生須知：1．全卷分選擇題和非選擇題兩部分，全部在答題紙上作答。選擇題必須用2B鉛筆填涂；非選擇題的答案必須用黑色字跡的鋼筆或答字筆寫(xiě)在“答題紙”相應(yīng)位置上。2．請(qǐng)用黑色字跡的鋼筆或答字筆在“答題紙”上先填寫(xiě)姓名和準(zhǔn)考證號(hào)。3．保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，在草稿紙、試題卷上答題無(wú)效。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．雙曲線的焦點(diǎn)坐標(biāo)為（）A. B.C. D.2．已知數(shù)列滿足：且，則此數(shù)列的前20項(xiàng)的和為（）A.621 B.622C.1133 D.11343．空氣質(zhì)量指數(shù)大小分為五級(jí)指數(shù)越大說(shuō)明污染的情況越嚴(yán)重，對(duì)人體危害越大，指數(shù)范圍在：，，，，分別對(duì)應(yīng)“優(yōu)”、“良”、“輕中度污染”、“中度重污染”、“重污染”五個(gè)等級(jí)，如圖是某市連續(xù)14天的空氣質(zhì)量指數(shù)趨勢(shì)圖，下面說(shuō)法錯(cuò)誤的是（）.A.這14天中有4天空氣質(zhì)量指數(shù)為“良”B.從2日到5日空氣質(zhì)量越來(lái)越差C.這14天中空氣質(zhì)量的中位數(shù)是103D.連續(xù)三天中空氣質(zhì)量指數(shù)方差最小是9日到11日4．已知下列四個(gè)命題，其中正確的是（）A. B.C. D.5．若，則的最小值為（）A.1 B.2C.3 D.46．設(shè)，“命題”是“命題”的（）A.充分且不必要條件 B.必要且不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件7．記為等差數(shù)列的前項(xiàng)和．若，，則的公差為（）A.1 B.2C.4 D.88．直線的傾斜角是A. B.C. D.9．已知點(diǎn)是橢圓上的任意一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作圓：的切線，設(shè)其中一個(gè)切點(diǎn)為，則的取值范圍為（）A. B.C. D.10．已知數(shù)列滿足，令是數(shù)列的前n項(xiàng)積，，現(xiàn)給出下列四個(gè)結(jié)論：①；②為單調(diào)遞增的等比數(shù)列；③當(dāng)時(shí)，取得最大值；④當(dāng)時(shí)，取得最大值其中所有正確結(jié)論的編號(hào)為（）A.②④ B.①③C.②③④ D.①③④11．過(guò)點(diǎn)且平行于直線的直線的方程為（）A. B.C. D.12．已知為等比數(shù)列的前n項(xiàng)和，，，則（）A.30 B.C. D.30或二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．如圖的形狀出現(xiàn)在南宋數(shù)學(xué)家楊輝所著的《算法九章·商功》中，后人稱之為“三角垛”.已知某“三角垛”的最上層有1個(gè)球，第二層有3個(gè)球，第三層有6個(gè)球……設(shè)各層（從上往下）球數(shù)構(gòu)成一個(gè)數(shù)列，則___________，___________.14．在數(shù)列中，，，則___________.15．已知為拋物線上的動(dòng)點(diǎn)，，，則的最小值為_(kāi)_______.16．已知、是橢圓（）長(zhǎng)軸的兩個(gè)端點(diǎn)，、是橢圓上關(guān)于軸對(duì)稱的兩點(diǎn)，直線，的斜率分別為，（）．若橢圓的離心率為，則的最小值為_(kāi)_____三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17．（12分）(1)已知命題p：；命題q：，若“”為真命題，求x的取值范圍(2)設(shè)命題p：；命題q：，若是的充分不必要條件，求實(shí)數(shù)a的取值范圍18．（12分）已知，使；不等式對(duì)一切恒成立.如果為真命題，為假命題，求實(shí)數(shù)的取值范圍.19．（12分）已知橢圓的右焦點(diǎn)為，且經(jīng)過(guò)點(diǎn).（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）設(shè)橢圓的左頂點(diǎn)為，過(guò)點(diǎn)的直線（與軸不重合）交橢圓于兩點(diǎn)，直線交直線于點(diǎn)，若直線上存在另一點(diǎn)，使.求證：三點(diǎn)共線.20．（12分）已知橢圓的短軸長(zhǎng)為2，左、右焦點(diǎn)分別為，，過(guò)且垂直于長(zhǎng)軸的弦長(zhǎng)為1（1）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）若A，B為橢圓C上位于x軸同側(cè)的兩點(diǎn)，且，共線，求四邊形的面積的最大值21．（12分）已知的展開(kāi)式中二項(xiàng)式系數(shù)和為16（1）求展開(kāi)式中二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng)；（2）設(shè)展開(kāi)式中的常數(shù)項(xiàng)為p，展開(kāi)式中所有項(xiàng)系數(shù)的和為q，求22．（10分）如圖，在梯形中，，四邊形為矩形，且平面，.（1）求證：；（2）點(diǎn)在線段（不含端點(diǎn)）上運(yùn)動(dòng)，設(shè)直線與平面所成角為，求的取值范圍.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、C【解析】把雙曲線方程化為標(biāo)準(zhǔn)形式，直接寫(xiě)出焦點(diǎn)坐標(biāo).【詳解】，焦點(diǎn)在軸上，，故焦點(diǎn)坐標(biāo)為.故選：C.2、C【解析】這個(gè)數(shù)列的奇數(shù)項(xiàng)是公差為2的等差數(shù)列，偶數(shù)項(xiàng)是公比為2的等比數(shù)列，只要分開(kāi)來(lái)計(jì)算即可.【詳解】由于，所以當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，是等差數(shù)列，即：共10項(xiàng)，和為；，共10項(xiàng)，其和為；∴該數(shù)列前20項(xiàng)的和；故選：C.3、C【解析】根據(jù)題圖分析數(shù)據(jù)，對(duì)選項(xiàng)逐一判斷【詳解】對(duì)于A，14天中有1，3，12，13共4日空氣質(zhì)量指數(shù)為“良”，故A正確對(duì)于B，從2日到5日空氣質(zhì)量指數(shù)越來(lái)越高，故空氣質(zhì)量越來(lái)越差，故B正確對(duì)于C，14個(gè)數(shù)據(jù)中位數(shù)為：，故C錯(cuò)誤對(duì)于D，觀察折線圖可知D正確故選：C4、B【解析】根據(jù)基本初等函數(shù)的求導(dǎo)公式和求導(dǎo)法則即可求解判斷.【詳解】，故A錯(cuò)誤；，故B正確；，故C錯(cuò)誤；，故D錯(cuò)誤.故選：B.5、D【解析】由基本不等式求解即可.【詳解】，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，取等號(hào).即所求最小值.故選：D6、A【解析】根據(jù)充分、必要條件的概念理解，可得結(jié)果.【詳解】由，則或所以“”可推出“或”但“或”不能推出“”故命題是命題充分且不必要條件故選：A【點(diǎn)睛】本題主要考查充分、必要條件的概念理解，屬基礎(chǔ)題.7、C【解析】根據(jù)等差數(shù)列的通項(xiàng)公式及前項(xiàng)和公式利用條件，列出關(guān)于與的方程組，通過(guò)解方程組求數(shù)列的公差.【詳解】設(shè)等差數(shù)列的公差為，則，，聯(lián)立，解得.故選：C.8、D【解析】由方程得到斜率，然后可得其傾斜角.【詳解】因?yàn)橹本€的斜率為所以其傾斜角為故選：D9、B【解析】設(shè)，得到，利用橢圓的范圍求解.【詳解】解：設(shè)，則，，，因?yàn)?，所以，即，故選：B10、B【解析】求出，即可判斷選項(xiàng)①正確；求出，即可選項(xiàng)②錯(cuò)誤；求出，利用單調(diào)性即可判斷選項(xiàng)③正確；求出，即可判斷選項(xiàng)④錯(cuò)誤，即得解.【詳解】解：因?yàn)?，①所以，，②①②得，，整理得，又，滿足上式，所以，因?yàn)?，所以?shù)列為等差數(shù)列，公差為，所以，故①正確；，因?yàn)?，故?shù)列為等比數(shù)列，其中首項(xiàng)，公比為的等比數(shù)列，因?yàn)?，，所以?shù)列為遞減的等比數(shù)列，故②錯(cuò)誤；，因?yàn)闉閱握{(diào)遞增函數(shù)，所以當(dāng)最大時(shí)，有最大值，因?yàn)?，所以時(shí)，最大，即時(shí)，取得最大值，故③正確；設(shè)，由可得，，解得或，又因?yàn)?，所以時(shí)，取得最大值，故④錯(cuò)誤；故選：B11、B【解析】根據(jù)平行設(shè)直線方程，代入點(diǎn)計(jì)算得到答案.【詳解】設(shè)直線方程為，將點(diǎn)代入直線方程得到，解得.故直線方程為：.故選：B.12、A【解析】利用等比數(shù)列基本量代換代入，列方程組，即可求解.【詳解】由得，則等比數(shù)列的公比，則得，令，則即，解得或（舍去），，則故選：A二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、①.②.【解析】根據(jù)，，得到，利用累加法和等差數(shù)列求和公式求出，再利用裂項(xiàng)抵消法進(jìn)行求和.【詳解】因?yàn)?，，，，，以上個(gè)式子累加，得，則；因?yàn)?，所?故答案為：，.14、##.【解析】由遞推關(guān)系取可求，再取求，取求.詳解】由分別取，2，3可得，，，又，∴，，，故答案為：.15、6【解析】根據(jù)拋物線的定義把的長(zhǎng)轉(zhuǎn)化為到準(zhǔn)線的距離為，進(jìn)而數(shù)形結(jié)合求出最小值.【詳解】易知為拋物線的焦點(diǎn)，設(shè)到準(zhǔn)線的距離為，則，而的最小值為到準(zhǔn)線的距離，故的最小值為.故答案為：616、【解析】設(shè)出點(diǎn)，，，的坐標(biāo)，表示出直線，的斜率，作和后利用基本不等式求最值，利用離心率求得與的關(guān)系，則答案可求詳解】解：設(shè)，，，，，，，，，，，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號(hào)成立，是橢圓長(zhǎng)軸的兩個(gè)端點(diǎn)，，是橢圓上關(guān)于軸對(duì)稱的兩點(diǎn)，，，即，的最小值為，橢圓的離心率為，，即，得，的最小值為故答案為：三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17、（1）（2）【解析】根據(jù)復(fù)合命題的真值表知：p真q假；非q是非p的充分不必要條件，等價(jià)于p是q的充分不必要條件，等價(jià)于p是q的真子集【詳解】命題p：，即；命題，即；由于“”為真命題，則p真q假，從而由q假得，，所以x的取值范圍是命題p：，即命題q：，即由于是的充分不必要條件，則p是q的充分不必要條件即有，【點(diǎn)睛】本題考查了復(fù)合命題及其真假屬基礎(chǔ)題18、【解析】若真命題，利用分離參數(shù)法結(jié)合指數(shù)函數(shù)性質(zhì)，可得；若為真命題，利用分離參數(shù)法并結(jié)合基本不等式可得，再根據(jù)為真命題，為假命題，可知，一真命題一假命題；再分“為真命題，為假命題”和“為假命題，為真命題”兩種情況，求解范圍，即可得到結(jié)果.【詳解】解：若為真命題，則有解，所以，即；若為真命題，則對(duì)一切恒成立,令則,當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，取得最小值；所以，即；又為真命題，為假命題，所以，一真命題一假命題；當(dāng)為真命題，為假命題時(shí)，，所以；當(dāng)為假命題，為真命題時(shí)，，所以；綜上所述，.19、（1）；（2）證明見(jiàn)解析.【解析】(1)根據(jù)給定條件利用橢圓的定義求出軸長(zhǎng)即可計(jì)算作答.(2)根據(jù)給定條件設(shè)出的方程，與橢圓C的方程聯(lián)立，求出直線PA的方程并求出點(diǎn)M的坐標(biāo)，求出點(diǎn)N的坐標(biāo)，再利用斜率推理作答.【小問(wèn)1詳解】依題意，橢圓的左焦點(diǎn)，由橢圓定義得：即，則，所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.【小問(wèn)2詳解】由(1)知，，直線不垂直y軸，設(shè)直線方程為，，由消去x得：，則，，直線的斜率，直線的方程：，而直線，即，直線的斜率，而，即，直線的斜率，直線的方程：，則點(diǎn)，直線的斜率，直線的斜率，，而，即，所以三點(diǎn)共線.【點(diǎn)睛】思路點(diǎn)睛：解答直線與橢圓的題目時(shí)，時(shí)常把兩個(gè)曲線的方程聯(lián)立，消去x(或y)建立一元二次方程，然后借助根與系數(shù)的關(guān)系，并結(jié)合題設(shè)條件建立有關(guān)參變量的等量關(guān)系20、（1）（2）2【解析】（1）根據(jù)已知條件求得，由此求得橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.（2）延長(zhǎng)，交橢圓C于點(diǎn)．設(shè)出直線的方程并與橢圓方程聯(lián)立，化簡(jiǎn)寫(xiě)出根與系數(shù)關(guān)系，根據(jù)對(duì)稱性求得四邊形的面積的表達(dá)式，利用換元法，結(jié)合基本不等式求得四邊形的面積的最大值.【小問(wèn)1詳解】由題可知，即，因?yàn)檫^(guò)且垂直于長(zhǎng)軸的弦長(zhǎng)為1，所以，所以所以橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為【小問(wèn)2詳解】因?yàn)椋簿€，所以延長(zhǎng)，交橢圓C于點(diǎn)．設(shè)，由（1）可知，可設(shè)直線的方程為聯(lián)立，消去x可得，所以，由對(duì)稱性可知設(shè)與間的距離為d，則四邊形的面積令，則．因?yàn)?，?dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，所以，即四邊形的面積的最大值為2【點(diǎn)睛】在橢圓、雙曲線、拋物線中，求三角形、四邊形面積的最值問(wèn)題，求解策略是：首先結(jié)合弦長(zhǎng)公式、點(diǎn)到直線距離公式等求得面積的表達(dá)式；然后利用基本不等式、二次函數(shù)的性質(zhì)等知識(shí)來(lái)求得最值.21、（1）（2）【解析】（1）由二項(xiàng)式系數(shù)和的性質(zhì)得出，再由性質(zhì)求出展開(kāi)式中二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng)；（2）由通項(xiàng)得出，利用賦值法得出，再求解【小問(wèn)1詳解】由題意可得，解得．，展開(kāi)式中二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng)為；【小問(wèn)2詳解】，其展開(kāi)式的通項(xiàng)為，令，得∴常數(shù)項(xiàng)令，可得展開(kāi)式中所有項(xiàng)系數(shù)的和為，∴22、（1）證明見(jiàn)解析（2）【解析】（1）過(guò)作，垂足為，利用正余弦