陜西省西安市周至縣第四中學2023-2024學年高三上學期第一次模擬考試理科數(shù)學試題（含解析）

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高三級理科數(shù)學第一次模擬考試試題

考試范圍：高中理科數(shù)學知識點；考試時間：120分鐘；

注意事項：

1.答題前填寫好自己的姓名班級考號等信息

2.請將答案正確填寫在答題卡上

第I卷（選擇題）

第一大題每小題5分，共12*5=60分

一單選題

1.復數(shù)，則（）

A.B.C.2D.

2.已知集合，則（）

A.B.

C.或D.或

3.設(shè)是定義在上的奇函數(shù)，且.若，則（）

A.B.C.D.

4.某實驗室有5只小白鼠，其中有3只測量過某項指標.若從這5只小白鼠中隨機取出3只，則恰好有2只測量過該指標的概率為（）

A.B.C.D.

5.在中，設(shè)，，為的重心，則用向量和為基底表示向量（）

A.B.C.D.

6.執(zhí)行如圖所示的程序框圖，則輸出的值是（）

A.5B.7C.9D.11

7.設(shè)滿足約束條件，則的最大值是（）

A.0B.4C.8D.10

8.我國古代的宮殿金碧輝煌，設(shè)計巧奪天工，下圖（1）為北京某宮殿建筑，圖（2）為該宮殿某一“柱腳”的三視圖，其中小正方形的邊長為1，則根據(jù)三視圖可知，該“柱腳”的表面積為（）

A.B.

C.D.

9.函數(shù)的部分圖象如圖所示，則下列結(jié)論正確的是（）

A.點是的對稱中心

B.直線是的對稱軸

C.的圖象向右平移個單位得的圖象

D.在區(qū)間上單調(diào)遞減

10.若雙曲線的一條漸近線被圓所截得的弦長為，則的離心率為（）

A.B.C.D.

11.在中，角所對的邊分別為的平分線交于點，且，則的最小值為（）

A.B.12C.D.9

12.已知函數(shù)是定義在上的奇函數(shù)，是的導函數(shù)，且，當時，，則使得成立的的取值范圍是（）

A.B.

C.D.

第二大題每小題5分，共4*5=20分

第II卷（非選擇題）

二填空題

13.展開式中項的系數(shù)為________.

14.已知的三內(nèi)角所對邊長分別為是，設(shè)向量，若，則角的大小為__________.

15.函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為____________.

16.已知點是拋物線上的動點，過點作直線的垂線，垂足為，點的坐標是，則的最小值是__________.

三解答題

17.在中，角的對邊長分別為，且.

（1）求；

（2）若的面積為，求的周長.

18.如圖，在直三棱柱中，，，D，E，F(xiàn)分別為，，的中點.

（1）證明：平面；

（2）求直線與平面所成角的正弦值.

19.某校組織了600名高中學生參加中國共青團相關(guān)的知識競賽，將競賽成績分成，，，，五組，得到如圖所示的頻率分布直方圖.若圖中未知的數(shù)據(jù)，，成等差數(shù)列，成績落在區(qū)間內(nèi)的人數(shù)為300.

（1）求出頻率分布直方圖中，，的值；

（2）估計該校學生分數(shù)的中位數(shù)和平均數(shù)（同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點值代替）；

（3）現(xiàn)采用分層抽樣的方法從分數(shù)落在，內(nèi)的兩組學生中抽取6人，再從這6人中隨機抽取2人進行現(xiàn)場知識答辯，求抽取的這2人中恰有1人的得分在區(qū)間內(nèi)的概率.

20.已知橢圓的左頂點為，右焦點為，過點作傾斜角為的直線與橢圓C相交于兩點，且，為坐標原點.

（1）求橢圓的方程；

（2）過點作與直線平行的直線與橢圓相交于兩點，直線與的斜率分別為，求.

21.已知函數(shù).

（1）當，求的極值；

（2）若恒成立，求的取值范圍.

四選考題

22.在平面直角坐標系中，直線的參數(shù)方程為（為參數(shù)），以坐標原點為極點，軸的正半軸為極軸建立極坐標系，曲線的極坐標方程為.

（1）求直線的普通方程及曲線的直角坐標方程；

（2）已知點，若直線與曲線交于兩點，求的值.

23.已知函數(shù).

（1）求不等式的解集；

（2）若恒成立，求實數(shù)的取值范圍.

參考答案：

1.B

【分析】由條件可知，利用復數(shù)的除法計算結(jié)果，并求模.

【詳解】，故，

則.

故選：B.

2.C

【分析】分別求集合，再根據(jù)集合間的運算求解.

【詳解】由題意可得，

則，

故或.

故選：C.

3.A

【分析】根據(jù)已知推得是周期為4的奇函數(shù)，應(yīng)用周期性奇函數(shù)性質(zhì)求函數(shù)值.

【詳解】由題設(shè)，，則，

所以，即，故是周期為4的奇函數(shù)，

所以.

故選：A

4.C

【分析】先用列舉法寫出所有基本事件，從中確定符合條件的基本事件數(shù)，應(yīng)用古典概率的計算公式求解.

【詳解】設(shè)過某項指標的3只小白鼠為，剩余的2只為，則從這5只中任取3只的所有取法有，共10種.

其中恰好有2只測量過該指標的取法有共6種，

所以恰好有2只測量過該指標的概率為.

故選：C.

5.A

【分析】作出圖形，根據(jù)平面向量的線性運算即可求解.

【詳解】如圖，為的重心，延長交于點，

由題意可知，，

所以，

所以，

故選：A.

6.C

【分析】根據(jù)程序框圖列出算法循環(huán)的每一步，結(jié)合判斷條件得出輸出的的值.

【詳解】執(zhí)行如圖所示的程序框圖如下：

不成立，；

不成立，；

不成立，；

不成立，.

成立，跳出循環(huán)體，輸出的值為9，故選C.

【點睛】本題考查利用程序框圖計算輸出結(jié)果，對于這類問題，通常利用框圖列出算法的每一步，考查計算能力，屬于中等題.

7.B

【分析】作出可行域，利用數(shù)形結(jié)合求出最大值.

【詳解】作出可行域如圖所示：

把轉(zhuǎn)化為直線，平移直線經(jīng)過時，縱截距最大，

所以最大.

故選：B

8.C

【分析】根據(jù)“柱腳”的三視圖可知，該“柱腳”是由半圓柱和一個三棱柱組合而成，求出其表面積即可.【詳解】

根據(jù)“柱腳”的三視圖可知，該“柱腳”是由半圓柱和一個三棱柱組合而成，

故所求表面積.

故答案為：C.

【點睛】

本題考查由三視圖求幾何體表面積，屬于基礎(chǔ)題.

9.D

【分析】根據(jù)三角函數(shù)部分圖象求出解析式，利用三角函數(shù)的性質(zhì)即可求解.

【詳解】由題意可知，，

，解得，

所以，解得，

將代入中，得，解得，

因為，所以，

當時，，

所以的解析式為.

對于A，，所以點不是的對稱中心，故A錯誤

對于B，，所以直線不是的對稱軸，故B錯誤；對于的圖象向右平移個單位得的圖象，故C錯誤；

對于，當時，，所以在區(qū)間上單調(diào)遞減，故D正確.

故選：D.

10.B

【分析】根據(jù)題意，得出方程，求得，結(jié)合離心率的定義，即可求解.

【詳解】由題意，雙曲線的一條漸近線方程為，

又由圓的圓心為，半徑為，

因為一條漸近線被圓所截得的弦長為，

可得，所以，即，

所以.

故選：B.

11.A

【分析】先利用題給條件求得之間的關(guān)系，再利用均值定理即可求得的最小值.

【詳解】由可得，

，

即，則，

則

（當且僅當時等號成立）故選：A

12.C

【分析】令函數(shù)，，判斷函數(shù)的奇偶性，利用導數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性，即可分析函數(shù)的取值特征，從而得解.

【詳解】由題意可知，函數(shù)是奇函數(shù)，則，

令函數(shù)，，則，即函數(shù)為偶函數(shù)，

又當時，，

所以函數(shù)在上單調(diào)遞減，

根據(jù)對稱性可知，函數(shù)在上單調(diào)遞增，

又，所以，所以，

所以當或時，當或時，

所以當時則，

當時則，

當時則，

當時則，

所以使得成立的的取值范圍是.

故選：C

13.

【分析】先求出的通項公式，結(jié)合的構(gòu)成方式進行討論即可.

【詳解】的展開式的通項為：，

令，解得，

所以的展開式中項為，

令，解得，

所以的展開式中項為，

所以展開式中項為，

所以展開式中項的系數(shù)為.

故答案為：

【點睛】

求形如的展開式中某一項的系數(shù)，可分別展開兩個二項式，由多項式乘法求得所求項的系數(shù).

14.

【分析】利用兩向量平行的充要條件求出三角形的邊與角的關(guān)系，利用正弦定理將角化為邊，再利用余弦定理求出的余弦，即可求出角.

【詳解】向量，若，

，

由正弦定理知：，即，

由余弦定理知：，

.

故答案為：

【點睛】本題考查向量平行的充要條件和三角形的正弦定理余弦定理的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題型.

15.

【分析】根據(jù)復合函數(shù)單調(diào)性和定義域得到，計算得到答案.

【詳解】根據(jù)復合函數(shù)單調(diào)性知：需求單調(diào)遞減區(qū)間，且

則

故答案為：

【點睛】

本題考查了復合函數(shù)單調(diào)性，忽略掉定義域是容易發(fā)生的錯誤.

16.

【分析】分析點在拋物線外部，再由拋物線定義知，轉(zhuǎn)化為求的最小值問題，利用三點共線可得解.

【詳解】因為，所以點在拋物線外部，

設(shè)拋物線焦點為，則，準線方程為，

由拋物線定義可知，，

，

當且僅當點三點共線時，的值最小，且為

，此時為與拋物線的交點，

的最小值為.

故答案為：

17.（1）

（2）

【分析】（1）由正弦定理角化邊得，再根據(jù)余弦定理可求出結(jié)果；

（2）根據(jù)三角形面積公式求出，由配方得，再將代入求出可得結(jié)果.

【詳解】（1）因為，

所以由正弦定理得，

所以，

因為，所以.

（2）因為，所以，

由（1）知，，

所以，

所以，

所以，所以，

所以的周長為.

18.【答案】（1）證明見解析

（2）

【分析】

（1）取的中點G，連接，，利用線線平行證明線面平行；

（2）建立空間直角坐標系，利用向量法求線面夾角正弦值.

【詳解】

（1）證明：取的中點，連接，，

因為F，G分別為，的中點，

所以，，

又E為的中點，，，

所以，，

所以四邊形是平行四邊形，

所以，

又平面，平面，

所以平面.

（2）解：在直三棱柱中，平面，

又平面，平面，

所以，，又，

故以B為原點，，，所在直線分別為x，y，z軸建立空間直角坐標系如圖所示，

則，，，，

所以，，，

設(shè)平面的法向量為，

則令得，，

所以平面的一個法向量為，

設(shè)直線與平面所成的角為，則，

即直線與平面所成的角的正弦值為.

【答案】（1），，

（2）中位數(shù)為69，平均數(shù)為71

（3）

【分析】（1）由成績落在區(qū)間內(nèi)的人數(shù)為300，可求出，再由各組的頻率和為1，結(jié)合，，成等差數(shù)列，可求出，

（2）先判斷中位數(shù)的位置，再列方程求解，利用平均數(shù)的定義求平均數(shù)即可，

（3）由分層抽樣的定義求得抽取的6人中成績位于的人數(shù)為4，這4人分別記為，，，，成績位于的人數(shù)為2，這2人分別記為，，然后利用列舉法求解概率.

【解析】（1）由已知可得，

則，即，

又因為，，成等差數(shù)列，所以，

解得，，

（2）可知，，

設(shè)中位數(shù)為，則，由，解得，即中位數(shù)為69，

平均數(shù)為.

（3）成績位于區(qū)間內(nèi)的學生有人，成績位于區(qū)間內(nèi)的學生有人，

通過分層抽樣抽取的6人中成績位于的人數(shù)為，這4人分別記為，，，，

成績位于的人數(shù)為，這2人分別記為，，

從上述6人中抽取2人的基本事件有，，，，，，，，，，，，，，，共15種，

其中恰有1人的得分在區(qū)間內(nèi)的基本事件有，，，，，，，，共8種，

故所求概率.

20.【答案】（1）

（2）

【分析】（1）求得點坐標并代入橢圓的方程，結(jié)合求得，從而求得橢圓的方程.

（2）求得直線的方程并與橢圓的方程聯(lián)立，化簡寫出根與系數(shù)關(guān)系，進而求得.

【詳解】（1）過作軸，垂足為，由于，

所以，由于，所以，

，所以，

將點坐標代入橢圓的方程得，

由，解得，

所以橢圓的方程為.

（2）直線的方程為，即，

由，消去并化簡得，

不妨設(shè)，則，

，

所以.

【點睛】

求解橢圓標準方程有關(guān)問題，關(guān)鍵在于利用已知條件求得，是兩個未知數(shù)，要求得兩個未知數(shù)，則需要兩個已知條件，本題中，第一個已知條件是焦點坐標，第二個已知條件是橢圓上一點的坐標，通過這兩個條件即可求得橢圓的方程.

21.（1）極大值為-3，無極小值

（2）

【分析】（1）利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，進而確定函數(shù)的極值情況；

（2）將問題化為，構(gòu)造并用導數(shù)研究單調(diào)性得到恒成立，再構(gòu)造，利用導數(shù)求其最大值，即可得參數(shù)范圍.

【詳解】（1）當時，

則，

所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，

當時取得極大值，，故的極大值為-3，無極小值.

（2）由，可得，則，即

.

令，則，

因為在上單調(diào)遞增，所以，則.

令，則，

在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，即

，

所以，則的取值范圍為.

22.（1）直線的普通方程為，曲線的直角坐標方程為；

（2）

【分析】（1）由已知結(jié)合參數(shù)方程與普通方程的互化，極坐標與直角坐標方程的互化即可求解；

（2）首先得到直線參數(shù)方程的標準形式，將直線的參數(shù)方程代入曲線的直角坐標方程，然后結(jié)合直線的參數(shù)方程中參數(shù)的幾何意義可求.

【詳解】（1）直線的參數(shù)方程為（為參數(shù)）消去參數(shù)可得，即直線的普通方程為