第三章第2節(jié)變異指標(biāo)課件

§3-２分布的離散程度一、變異指標(biāo)概述概念：用來描述總體分布的離中趨勢(shì)或離散程度的指標(biāo)。作用：（1）用于衡量平均指標(biāo)的代表性程度。例如：假定兩組學(xué)生身高資料如下：（單位：cm）甲組：160，165，170，175，180。乙組：168，169，170，171，172。乙組各標(biāo)志值離散程度小，平均數(shù)170的代表性更大。1（2）反映社會(huì)經(jīng)濟(jì)現(xiàn)象變動(dòng)的均勻性和穩(wěn)定性。2在產(chǎn)品質(zhì)量控制中常常應(yīng)用這類指標(biāo)。利用變異指標(biāo)可研究總體標(biāo)志值分布偏離正態(tài)的情況。標(biāo)志變異指標(biāo)是統(tǒng)計(jì)分析的一個(gè)基本指標(biāo)?？捎糜诤饬拷y(tǒng)計(jì)推斷效果。3.種類：3標(biāo)志變異指標(biāo)：反映總體中各變量值離散程度的指標(biāo)。如，全距、平均差、標(biāo)準(zhǔn)差、平均差系數(shù)等。分布變異指標(biāo)：描述分布狀態(tài)的指標(biāo)，說明統(tǒng)計(jì)分布偏離正態(tài)分布的情況。如，偏度、峰度。二、全距（R）：又稱“極差”。全距的特點(diǎn)：極差的優(yōu)點(diǎn)是計(jì)算簡(jiǎn)便，直觀，容易理解。不足之處是它只以兩個(gè)極端的標(biāo)志值計(jì)算，而不考慮總體內(nèi)部的分配狀況，不能充分利用數(shù)列的全部信息，因此，它無法反映標(biāo)志值變動(dòng)的一般程度。改進(jìn)方法：計(jì)算四分位差(P68和73)4在分組條件下，例如：假定兩組學(xué)生身高資料如下：（單位：cm）甲組：160，165，170，175，180。乙組：168，169，170，171，172。三、平均差（）

：是總體各單位標(biāo)志值對(duì)算術(shù)平均數(shù)的絕對(duì)離差的算術(shù)平均數(shù)。1.計(jì)算公式：5平均差意義可通過數(shù)軸來說明。平均差反映各標(biāo)志值對(duì)平均

數(shù)的平均距離，平均差越大，說

明總體各標(biāo)志值越分散；平均差

越小，說明各標(biāo)志值分布越集中。未分組資料：分組資料：例如：假定某車間兩個(gè)小組工人的月工資（元）資料如下。甲：800，900，1000，1100，1200。乙：900，950，1000，1050，1100。62.平均差系數(shù)當(dāng)水平不同或計(jì)量單位不同的總體之間比較離散程度時(shí)，不能直接用平均差（標(biāo)準(zhǔn)差、極差)等變異指標(biāo)，而要用變異系數(shù)（平均差系數(shù)、標(biāo)準(zhǔn)差系數(shù)、極差系數(shù)等。）又如：丙：1800，1900，2000，2100，2200。平均差系數(shù)：7四、方差（ ）和標(biāo)準(zhǔn)差（

）：測(cè)定標(biāo)志變異程度最靈敏的指標(biāo)。（一）計(jì)算公式：將平均差公式中的絕對(duì)值符號(hào)換成平方，得到方差的公式，將方差開方根為標(biāo)準(zhǔn)差。對(duì)于分組資料，有加權(quán)公式。8仍用前面車間兩小組工人月工資的例子：（二）標(biāo)準(zhǔn)差系數(shù)910測(cè)定標(biāo)志變異度的絕對(duì)量指標(biāo)（與原變量值名數(shù)相同）全距 平均差 標(biāo)準(zhǔn)差測(cè)定標(biāo)志變異度的相對(duì)量指標(biāo)（表現(xiàn)為無名數(shù)）全距系數(shù)平均差系數(shù)標(biāo)準(zhǔn)差系數(shù)標(biāo)志變異指標(biāo)的種類11可比變異系數(shù)指標(biāo)12身高的差異水平：cm體重的差異水平：kg用變異系數(shù)可以相互比較可比13平均差系數(shù)標(biāo)準(zhǔn)差系數(shù)變異系數(shù)指標(biāo)應(yīng)用:用來對(duì)比不同水平的同類現(xiàn)象，特別是

不同類現(xiàn)象總體平均數(shù)代表性的大小:——標(biāo)準(zhǔn)差系數(shù)小的總體，其平均數(shù)的代表性大；反之，亦然。14（三）方差的數(shù)學(xué)性質(zhì)1.變量的方差等于變量平方的平均數(shù)減去變量平均數(shù)的平方。由于根據(jù)這個(gè)關(guān)系式，可以進(jìn)行方差或標(biāo)準(zhǔn)差的簡(jiǎn)化計(jì)算。2.變量對(duì)算術(shù)平均數(shù)的方差小于對(duì)任意常數(shù)的方差。即設(shè)x0為任意常數(shù)，S2為變量對(duì)x0的方差，則：153.n個(gè)同性質(zhì)獨(dú)立變量代數(shù)和的方差等于各變量方差之和。若兩變量：

對(duì)于標(biāo)準(zhǔn)差：4.n個(gè)同性質(zhì)獨(dú)立變量平均數(shù)的方差等于各變量方差方差平均數(shù)的。165.總方差、組間方差和組內(nèi)方差（P75）例子：某公司下屬7個(gè)門市部某月營(yíng)業(yè)額（單位：萬元）如下：88，90，96，98，110，140，200按營(yíng)業(yè)額分兩組：第一組：88，

90，第二組：110，140，96，

98200根據(jù)上述資料可以計(jì)算：總平均營(yíng)業(yè)額：營(yíng)業(yè)額的總方差：17總方差、組間方差和組內(nèi)方差第一組：88，

90，第二組：110，140，96，

98200根據(jù)上述資料可以計(jì)算：第一組平均營(yíng)業(yè)額：第一組營(yíng)業(yè)額的組內(nèi)方差：第二組平均營(yíng)業(yè)額：第二組營(yíng)業(yè)額的組內(nèi)方差：組內(nèi)方差的平均數(shù)：18總方差、組間方差和組內(nèi)方差第一組平均營(yíng)業(yè)額：第二組平均營(yíng)業(yè)額：總平均營(yíng)業(yè)額：組間方差：總方差＝609.71＋795.67＝1405.3819總方差＝組內(nèi)方差的平均數(shù)＋組間方差五、是非標(biāo)志的標(biāo)準(zhǔn)差（P58和76）20“是非”標(biāo)志：將總體分成具有某種性質(zhì)和不具有某種性質(zhì)兩部分，我們所關(guān)心標(biāo)志表現(xiàn)稱為“是”，另一標(biāo)志表現(xiàn)稱為“非”。例如，產(chǎn)品分為合格品與不合格品；人口按性別分為男與女兩組。成數(shù)（1）定義：總體中，是非標(biāo)志只有兩種表現(xiàn)，我們把具有某種表現(xiàn)或不具有某種表現(xiàn)的單位數(shù)占全部總體單位數(shù)的比重稱為成數(shù)。例如，考試及格率、產(chǎn)品合格率、男生比重等。（2）設(shè)總體的n個(gè)單位中，具有某種特征的單位數(shù)是n1個(gè)，不具有某種特征的單位數(shù)是n0個(gè)，n1+n0=n。則有具有某種特征的單位的成數(shù)為：不具有某種特征的單位的成數(shù)為：例如：設(shè)某批電子元件100件產(chǎn)品，經(jīng)檢驗(yàn)有92件合格，8件不和格。則有213.是非標(biāo)志數(shù)量化1（當(dāng)單位具有某種特征）0（當(dāng)單位不具有某種特征）“0—1分布”22例如，上例中，以

“1”代表產(chǎn)品合格，以

“0”代表產(chǎn)品不合格。4.“0—1”分布的數(shù)值特征或23當(dāng)p=q=0.5時(shí)，0—1變量分布的方差有最大值，此時(shí)成數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)差最大值等于0.5。24六、箱線圖在統(tǒng)計(jì)描述中的運(yùn)用25§3-3

分布的偏態(tài)與峰度一、偏態(tài)(一)概念：偏態(tài)分配是指次數(shù)分配不對(duì)稱。所謂偏態(tài)是指次數(shù)分配的非對(duì)稱程度。正態(tài)分布（對(duì)稱）右偏分布左偏分布偏態(tài)分配26(二)偏態(tài)的測(cè)定方法1.算術(shù)平均數(shù)與眾數(shù)比較法當(dāng)SKp＞0時(shí)，分配數(shù)列屬于正偏（右偏）；當(dāng)SKp＜0時(shí)，分配數(shù)列屬于負(fù)偏（左偏）。27(1)中心動(dòng)差（中心矩）當(dāng)分布完全對(duì)稱時(shí)，變量的所有奇數(shù)階中心矩均為0，要判斷分布是否對(duì)稱，可考慮用奇數(shù)階中心矩來測(cè)定。由于一階中心矩恒為0，而五階以上的中心矩計(jì)算較為繁瑣，所以偏態(tài)可以用三階中心動(dòng)差來測(cè)定。282.動(dòng)差法(2)偏度：偏度是用于衡量分布的不對(duì)稱程度或偏斜程度的指標(biāo)。計(jì)算公式：29正態(tài)分布曲線左右完全對(duì)稱，三階中心動(dòng)差m3等于0，即α=0。當(dāng)分布不對(duì)稱時(shí)，則三階中心動(dòng)差不為0，其分布的偏斜程度使大于0或小于0。如下圖所示，當(dāng)α=0時(shí)為正態(tài)分布；當(dāng)α

>0時(shí)為正