基于改進(jìn)反演算法的超材料漁網(wǎng)等效參數(shù)提取

基于改進(jìn)反演算法的超材料漁網(wǎng)等效參數(shù)提取

1微波特性漁網(wǎng)結(jié)構(gòu)的檢測與分析電子超材料是一種不同于自然的人工復(fù)合結(jié)構(gòu)或材料材料。它具有負(fù)折射效應(yīng)、異常的自適應(yīng)效應(yīng)、異常的cherk效應(yīng)、精確的透射率等物理特性，以及具有非凡的物理特征的缺點(diǎn)。近年來，關(guān)于超材料結(jié)構(gòu)的實驗研究已從首次微波段的開口畸變環(huán)（srr）和電線結(jié)構(gòu)向光段的漁網(wǎng)結(jié)構(gòu)轉(zhuǎn)變?yōu)楣舛蔚臐O網(wǎng)結(jié)構(gòu)。許多科學(xué)家選擇了傳統(tǒng)的反演算法，并基于k-k比值的改善算法提取了波幅超材料結(jié)構(gòu)的等效參數(shù)。在這項工作中，我們主要使用這兩種算法提取波幅超材料結(jié)構(gòu)的等效參數(shù)，并分析了兩種算法的精度和適用性。為了確定兩種算法的準(zhǔn)確度和適用性,我們考慮了兩類具有不同特性的漁網(wǎng)結(jié)構(gòu).將若干個超材料漁網(wǎng)結(jié)構(gòu)小單元以固定的間隔d沿傳播方向疊加,根據(jù)d的取值不同,將結(jié)構(gòu)塊分為弱耦合和強(qiáng)耦合的情況,分別利用兩種算法對不同結(jié)構(gòu)提取等效參數(shù).計算表明,傳統(tǒng)的反演算法適用性很強(qiáng),對兩類結(jié)構(gòu)的超材料都可以準(zhǔn)確地提取等效參數(shù),但計算過程比較復(fù)雜;而基于K-K關(guān)系的改進(jìn)算法巧妙地避免了復(fù)雜的計算,并能簡單準(zhǔn)確地提取材料的等效參數(shù),但其使用范圍具有一定的局限性.2算法理論2.1動態(tài)本構(gòu)模型的建立在研究超材料時,一般將其描述為等效媒質(zhì)在波長遠(yuǎn)大于結(jié)構(gòu)單元的尺寸時,電磁波將不能識別出其內(nèi)部結(jié)構(gòu),從而使得超材料可以用有效介電常數(shù)和有效磁導(dǎo)率來描述.計算中將超材料結(jié)構(gòu)描述為一種有一定厚度的平板均勻結(jié)構(gòu),如果得到其傳輸、反射系數(shù)的強(qiáng)度大小和相位,則通過反演計算可以求得復(fù)數(shù)折射率n和波阻抗z,進(jìn)一步可以得到媒質(zhì)的等效介電常數(shù)和磁導(dǎo)率.本文利用上述原理,對復(fù)數(shù)折射率n的實部進(jìn)行研究分析.當(dāng)平面波垂直入射到一定厚度的超材料結(jié)構(gòu)上時,通過計算或測量得到其傳輸系數(shù)T,反射系數(shù)R,再利用(1),(2a)和(2b)式,可以得到其波阻抗z和折射率n:其中,k0是自由空間的波數(shù),deff是超材料結(jié)構(gòu)的有效厚度,m是整數(shù),代表不同分支.利用超材料自身的特性條件可以確定波阻抗z和折射率n的正負(fù)符號.一般非增益超材料要求Re(z)>0,因此可以得出(1)式的符號.同樣地,Im(n)>0,就惟一地確定了(2a)及(2b)式的符號,至于分支m的確定需要結(jié)合具體的物理概念,比如可依據(jù)一般超材料折射率具有連續(xù)性等限制條件決定m的具體取值.若是有效厚度deff取值較大,這些分支將十分靠近,很難準(zhǔn)確地選擇正確的分支數(shù).傳統(tǒng)反演算法的計算復(fù)雜度也就體現(xiàn)在分支數(shù)的選擇上.尤其是多層漁網(wǎng)結(jié)構(gòu)的模型,分支選擇的計算量就更大更復(fù)雜.2.2基于k-k關(guān)系的多值性估計K-K關(guān)系的原理與傳統(tǒng)反演算法基本一致.這種算法的新穎之處在于根據(jù)折射率的虛部利用K-K關(guān)系得到折射率的實部,確保了等效參數(shù)的惟一性,避免了分支選擇的復(fù)雜性,從而降低了計算的復(fù)雜度.K-K關(guān)系的本質(zhì)是利用解析函數(shù)的實部和虛部的內(nèi)在聯(lián)系,其物理本質(zhì)則在于物理系統(tǒng)因果率的體現(xiàn).基于K-K關(guān)系的算法步驟如下:波阻抗z可由T及R惟一地確定.折射率n的計算涉及一個復(fù)對數(shù)計算(5)式,這個復(fù)對數(shù)函數(shù)是一個多值函數(shù),但多值性只針對n的實部.這時可用K-K關(guān)系由n的虛部來聯(lián)系其實部,那么n的實部值就是取最接近K-K關(guān)系預(yù)測的對數(shù)函數(shù)對應(yīng)的分支.但是,此算法要求折射率和頻率是連續(xù)的.該算法需要兩個輸入數(shù)據(jù),一是有效厚度deff即電磁波的傳播方向上所包含的單元格的長度的總和;二是參數(shù)T及R.平面波垂直入射到均勻介質(zhì)板上,波阻抗和折射率與T及R的關(guān)系如下:其中,R01=(Zeff-1)/(Zeff+1),Zeff(ω)是復(fù)波阻抗Neff(ω)=neff(ω)+ikeff(ω),是復(fù)折射率,neff(ω)是折射率,keff(ω)是消耗系數(shù),k0是自由空間波數(shù),ω是角頻率.根據(jù)(1),(2a)和(2b)式可知:(4)式中波阻抗的符號由強(qiáng)加條件Re(Zeff)0且Im(Neff)0確定.復(fù)折射率為其中,m是整數(shù),表示分支指數(shù).將(6)式中的實部和虛部分開表示,得到其中,n0eff是折射率,對應(yīng)對數(shù)函數(shù)的主值支.在參數(shù)的提取過程中,折射率的虛部是不受對數(shù)函數(shù)分支影響的,所以,它可由(8)式惟一地確定.然后折射率的實部可以通過K-K關(guān)系計算得出:其中,P.V.是柯西主值.對(9)式可以利用梯形積分規(guī)則進(jìn)行數(shù)值計算.但為了避免不當(dāng)?shù)腒-K積分的奇異性,我們可以將積分分成兩個部分,從而可以得到近似的K-K積分:(7)式中的分支數(shù)m可以表示為這里的Round()函數(shù)是取最接近的整數(shù).因此,折射率的計算也就是選擇最接近K-K關(guān)系預(yù)測值的那個分支.3計算值的示例3.1fcr的新結(jié)構(gòu)及其反演的實驗結(jié)果首先,選用開口諧振環(huán)組成的負(fù)磁導(dǎo)率超材料模型,分別用傳統(tǒng)的反演算法和基于K-K關(guān)系的改進(jìn)算法提取其等效參數(shù),用來驗證改進(jìn)算法的適用性.如圖1所示,邊長為2.5mm的空氣立方體單元模型,中間嵌入厚度為0.25mm的FR4基板,在基板的一側(cè)是厚度為0.017mm的銅材質(zhì)開口諧振環(huán).開口環(huán)外側(cè)邊長2.2mm,開口間隙0.3mm,內(nèi)外環(huán)間距0.15mm,環(huán)寬0.2mm.圖2是開口諧振環(huán)模型計算得到的傳輸系數(shù)、反射系數(shù)和吸收系數(shù)的結(jié)果.如圖3所示,傳統(tǒng)的反演算法和基于K-K關(guān)系的改進(jìn)算法結(jié)果基本符合,從而驗證了改進(jìn)算法的有效性.圖3中曲線neff是用傳統(tǒng)的反演算法計算出的折射率的實部,而曲線nK-K是用基于K-K關(guān)系的改進(jìn)算法計算出的結(jié)果,曲線keff是折射率的虛部,根據(jù)結(jié)算結(jié)果可以看出針對此結(jié)構(gòu)傳統(tǒng)方法與基于K-K方法的結(jié)果符合得較好,這樣從側(cè)面證實了K-K方法的有效性.圖4也給出了基于K-K關(guān)系反演得到的磁導(dǎo)率實部隨頻率變化曲線.3.2漁網(wǎng)結(jié)構(gòu)模型3.2.1多單元疊加模型圖5(a)是超材料漁網(wǎng)結(jié)構(gòu)的一個單元模型,結(jié)構(gòu)由金屬銀和電介質(zhì)氟化鎂(MgF2)組成,金屬銀分布在氟化鎂(其介電常數(shù)為1.9)兩側(cè).金屬銀是用Drude模型來模擬的,其等離子頻率為1.37×1016rad/s,電碰撞系數(shù)為8.19×1013rad/s.傳播方向是沿正z軸方向,結(jié)構(gòu)在傳播方向上是幾何對稱的.其電場方向(E)、磁場方向(H)和波矢方向(k),如圖5(a)所示.其中,ax=ay=860nm,wx=565nm,wy=265nm,s=50nm,t=30nm.圖5(b)是兩個單元模型的疊加,中間由空氣層隔開,間距為d.根據(jù)d的取值不同,將疊加的模型分為弱耦合模型和強(qiáng)耦合模型.當(dāng)d取某個閾值時,每個單元模型之間的相互影響很小,以這個特定的d而疊加的多個單元模型,結(jié)構(gòu)的等效參數(shù)將保持穩(wěn)定,不會隨著結(jié)構(gòu)的疊加而改變,這樣的情況看作是弱耦合模型;當(dāng)d取值超過閾值時,每個單元模型之間的相互影響很大,近似于光子晶體,這樣的情況看作是強(qiáng)耦合模型.圖6是該漁網(wǎng)結(jié)構(gòu)的諧振頻率隨d變化的曲線圖.隨著d的增加,結(jié)構(gòu)的諧振頻率也不斷變化.在d取值大于90nm時,諧振頻率趨于固定值141.6THz,不再隨著d的增加而變化,即在90nm處,諧振頻率達(dá)到飽和.因此,界定當(dāng)多個單元模型以d=90nm為閾值間距沿傳播方向增加時,構(gòu)成的多層模型稱為弱耦合模型.當(dāng)d取值小于90nm的情況均可視為強(qiáng)耦合模型.3.2.2兩種算法的對比確定強(qiáng)、弱耦合的閾值后,首先研究的是多層弱耦合模型,由7層單元模型沿傳播方向疊加,每個單元模型之間的間距d=90nm.圖7是計算得到的傳輸系數(shù)、反射系數(shù)和吸收系數(shù)的結(jié)果.根據(jù)傳輸和反射系數(shù),就可以利用傳統(tǒng)的反演算法和基于K-K關(guān)系的改進(jìn)算法計算出漁網(wǎng)結(jié)構(gòu)的折射率.由于兩種算法計算折射率的虛部的原理基本一致,所以其虛部曲線是完全一致的,也就是圖8中的曲線keff.在圖8中,曲線neff是用傳統(tǒng)的反演算法計算出的折射率的實部,而曲線nK-K是用基于K-K關(guān)系的改進(jìn)算法計算出的結(jié)果.可以看出頻率在大概136—150THz的區(qū)域內(nèi)是負(fù)值,這體現(xiàn)了超材料負(fù)折射率的奇異特性.由于K-K積分中存在積分近似的過程,折射率的實部曲線nK-K與曲線neff大體趨勢相同,計算結(jié)果表明兩種方法在處理弱耦合時的一致有效性.而傳統(tǒng)的反演算法在計算折射率的實部時,需要進(jìn)行分支選擇,計算過程比較復(fù)雜,而基于K-K關(guān)系的算法卻巧妙地利用K-K關(guān)系得到折射率的實部,具有一定的計算優(yōu)勢.3.2.3傳統(tǒng)反演算法多個單元模型疊加時,其間距d取小于90nm的情況稱為強(qiáng)耦合模型.此處以d=0nm為進(jìn)行數(shù)值模擬的強(qiáng)耦合模型.組成強(qiáng)耦合模型的單個模型之間的相互作用較強(qiáng),所以它的折射率等效參數(shù)就會呈現(xiàn)出一些特別的情況,比如不連續(xù)的現(xiàn)象.通過計算分析,強(qiáng)耦合模型的折射率確實出現(xiàn)了不連續(xù)的情況,所以這時基于K-K關(guān)系的算法就無法適用了,因為它要求計算的參數(shù)是解析、連續(xù)的.傳統(tǒng)的反演算法可以用于計算不連續(xù)的模型,但是比較復(fù)雜,因為它涉及具體分支選擇的問題.這里,計算的是19層、23層和27層強(qiáng)耦合模型,通過人工選擇分支確定折射率的值.圖9是19層、23層和27層強(qiáng)耦合模型的傳輸系數(shù)曲線.當(dāng)頻率f<136THz時,傳輸系數(shù)T≈0,這是一種金屬特性,也是f<136THz時Re(n)≈0的原因.圖10是折射率實部的不同分支曲線圖,其中:m=1(青色),m=0(藍(lán)色),m=-1(紅色),m=-2(綠色),m=-3(品紅色),m=-4(黑色).19層、23層和27層強(qiáng)耦合模型分別是用交叉符號,菱形符號和圓圈表示.從圖中可以看出,在頻率136THz附近,折射率的實部出現(xiàn)了不連續(xù)現(xiàn)象.頻率小于136THz時,折射率的實部趨于0.基于傳統(tǒng)的反演算法,根據(jù)(2b)式中m的不同選擇及不同層數(shù)重疊情形,可以確定出最終折射率實部的曲線如圖10中陰影部分所示.4合漁網(wǎng)結(jié)構(gòu)模型本文主要利用兩種反演算法分析光波頻段電磁超材料結(jié)構(gòu)的等效媒質(zhì)理論.給出了多層弱耦合和強(qiáng)耦合結(jié)構(gòu)模