2024屆甘肅省夏河縣夏河中學(xué)高二上數(shù)學(xué)期末綜合測(cè)試模擬試題含解析

2024屆甘肅省夏河縣夏河中學(xué)高二上數(shù)學(xué)期末綜合測(cè)試模擬試題考生請(qǐng)注意：1．答題前請(qǐng)將考場(chǎng)、試室號(hào)、座位號(hào)、考生號(hào)、姓名寫(xiě)在試卷密封線(xiàn)內(nèi)，不得在試卷上作任何標(biāo)記。2．第一部分選擇題每小題選出答案后，需將答案寫(xiě)在試卷指定的括號(hào)內(nèi)，第二部分非選擇題答案寫(xiě)在試卷題目指定的位置上。3．考生必須保證答題卡的整潔?？荚嚱Y(jié)束后，請(qǐng)將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．已知橢圓和雙曲線(xiàn)有共同焦點(diǎn)，是它們一個(gè)交點(diǎn)，且，記橢圓和雙曲線(xiàn)的離心率分別為，則的最大值為A.3 B.2C. D.2．?dāng)?shù)學(xué)家歌拉在1765年提出定理：三角形的外心、重心、垂心依次位于同一直線(xiàn)上，且重心到外心的距離是重心到垂心距離的一半．這條直線(xiàn)被后人稱(chēng)為三角形的歐拉線(xiàn)．已知的三個(gè)頂點(diǎn)分別為，，，則的歐拉線(xiàn)方程是（）A. B.C. D.3．以下四個(gè)命題中，正確的是（）A.若，則三點(diǎn)共線(xiàn)B.C.為直角三角形的充要條件是D.若為空間的一個(gè)基底，則構(gòu)成空間的另一個(gè)基底4．雙曲線(xiàn)的焦點(diǎn)坐標(biāo)為（）A. B.C. D.5．復(fù)數(shù)的共軛復(fù)數(shù)是A. B.C. D.6．《萊茵德紙草書(shū)》（RhindPapyrus）是世界上最古老的數(shù)學(xué)著作之一．書(shū)中有這樣一道題目：把93個(gè)面包分給5個(gè)人，使每個(gè)人所得面包個(gè)數(shù)成等比數(shù)列，且使較小的兩份之和等于中間一份的四分之三，則最大的一份是（）個(gè)A.12 B.24C.36 D.487．已知拋物線(xiàn)=的焦點(diǎn)為F，M、N是拋物線(xiàn)上兩個(gè)不同的點(diǎn)，若，則線(xiàn)段MN的中點(diǎn)到y(tǒng)軸的距離為（）A.8 B.4C. D.98．設(shè)某大學(xué)的女生體重y（單位：kg）與身高x（單位：cm）具有線(xiàn)性相關(guān)關(guān)系，根據(jù)一組樣本數(shù)據(jù)（xi，yi）（i=1，2，…，n），用最小二乘法建立的回歸方程為=0.85x-85.71，則下列結(jié)論中不正確的是A.y與x具有正的線(xiàn)性相關(guān)關(guān)系B.回歸直線(xiàn)過(guò)樣本點(diǎn)中心（，）C.若該大學(xué)某女生身高增加1cm，則其體重約增加0.85kgD.若該大學(xué)某女生身高為170cm，則可斷定其體重必為58.79kg9．若、且，則下列式子一定成立的是（）A. B.C. D.10．如圖，四棱錐的底面是矩形，設(shè)，，，是棱上一點(diǎn)，且，則（）A. B.C. D.11．已知向量，則（）A.5 B.6C.7 D.812．在中，三個(gè)內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，若，，，則的面積為（）A. B.1C. D.2二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．如圖，某海輪以的速度航行，若海輪在點(diǎn)測(cè)得海面上油井在南偏東，向北航行后到達(dá)點(diǎn)，測(cè)得油井在南偏東，海輪改為沿北偏東的航向再行駛到達(dá)點(diǎn)，則，間的距離是________14．拋物線(xiàn)上一點(diǎn)到其焦點(diǎn)的距離為，則的值為_(kāi)_____15．若直線(xiàn)與直線(xiàn)平行，且原點(diǎn)到直線(xiàn)的距離為，則直線(xiàn)的方程為_(kāi)___________.16．設(shè)等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，且，，則__________.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17．（12分）已知橢圓的中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在軸上，離心率等于，它的一個(gè)頂點(diǎn)恰好是拋物線(xiàn)的焦點(diǎn).（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）已知直線(xiàn)與橢圓交于、兩點(diǎn)，、是橢圓上位于直線(xiàn)兩側(cè)的動(dòng)點(diǎn)，且直線(xiàn)的斜率為，求四邊形面積的最大值.18．（12分）在中，角的對(duì)邊分別為，且.（1）求；（2）若，的面積為，求.19．（12分）已知是公比不為1的等比數(shù)列，，且為的等差中項(xiàng).（1）求的公比；（2）求的通項(xiàng)公式及前n項(xiàng)和.20．（12分）若雙曲線(xiàn)－＝1(a>0，b>0)的焦點(diǎn)坐標(biāo)分別為和，且該雙曲線(xiàn)經(jīng)過(guò)點(diǎn)P(3，1)（1）求雙曲線(xiàn)的方程；（2）若F是雙曲線(xiàn)的右焦點(diǎn)，Q是雙曲線(xiàn)上的一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)F，Q的直線(xiàn)l與y軸交于點(diǎn)M，且，求直線(xiàn)l的斜率21．（12分）給定函數(shù).（1）判斷函數(shù)f（x）的單調(diào)性，并求出f（x）的極值；（2）畫(huà)出函數(shù)f（x）的大致圖象，無(wú)須說(shuō)明理由（要求：坐標(biāo)系中要標(biāo)出關(guān)鍵點(diǎn)）；（3）求出方程的解的個(gè)數(shù).22．（10分）如圖，矩形ABCD，點(diǎn)E，F(xiàn)分別是線(xiàn)段AB，CD的中點(diǎn)，，，以EF為軸，將正方形AEFD翻折至與平面EBCF垂直的位置處.請(qǐng)按圖中所給的方法建立空間直角坐標(biāo)系，然后用空間向量坐標(biāo)法完成下列問(wèn)題（1）求證：直線(xiàn)平面；（2）求直線(xiàn)與平面所成角的正弦值.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、D【解析】設(shè)橢圓長(zhǎng)半軸長(zhǎng)為a1，雙曲線(xiàn)的半實(shí)軸長(zhǎng)a2，焦距2c．根據(jù)橢圓及雙曲線(xiàn)的定義可以用a1，a2表示出|PF1|，|PF2|，在△F1PF2中根據(jù)余弦定理可得到，利用基本不等式可得結(jié)論【詳解】如圖，設(shè)橢圓的長(zhǎng)半軸長(zhǎng)為a1，雙曲線(xiàn)的半實(shí)軸長(zhǎng)為a2，則根據(jù)橢圓及雙曲線(xiàn)的定義：|PF1|+|PF2|＝2a1，|PF1|﹣|PF2|＝2a2，∴|PF1|＝a1+a2，|PF2|＝a1﹣a2，設(shè)|F1F2|＝2c，∠F1PF2＝，則：在△PF1F2中，由余弦定理得，4c2＝（a1+a2）2+（a1﹣a2）2﹣2（a1+a2）（a1﹣a2）cos∴化簡(jiǎn)得：a12+3a22＝4c2，該式可變成：，∴≥2∴，故選D【點(diǎn)睛】本題考查圓錐曲線(xiàn)的共同特征，考查通過(guò)橢圓與雙曲線(xiàn)的定義求焦點(diǎn)三角形三邊長(zhǎng)，考查利用基本不等式求最值問(wèn)題，屬于中檔題2、B【解析】根據(jù)的三個(gè)頂點(diǎn)坐標(biāo)，先求解出重心的坐標(biāo)，然后再根據(jù)三個(gè)點(diǎn)坐標(biāo)求解任意兩條垂直平分線(xiàn)的方程，聯(lián)立方程，即可算出外心的坐標(biāo)，最后根據(jù)重心和外心的坐標(biāo)使用點(diǎn)斜式寫(xiě)出直線(xiàn)方程.【詳解】由題意可得的重心為．因?yàn)?，，所以線(xiàn)段的垂直平分線(xiàn)的方程為．因?yàn)椋?，所以直線(xiàn)的斜率，線(xiàn)段的中點(diǎn)坐標(biāo)為，則線(xiàn)段的垂直平分線(xiàn)的方程為．聯(lián)立，解得，則的外心坐標(biāo)為，故的歐拉線(xiàn)方程是，即故選：B.3、D【解析】利用向量共線(xiàn)的推論可判斷A，利用數(shù)量積的定義可判斷B，利用充要條件的概念可判斷C，利用基底的概念可判斷D.【詳解】對(duì)于A，若，，所以三點(diǎn)不共線(xiàn)，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，因?yàn)椋蔅錯(cuò)誤；對(duì)于C，由可推出為直角三角形，由為直角三角形，推不出，所以為直角三角形的充分不必要條件是，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，若為空間的一個(gè)基底，則不共面，若不能構(gòu)成空間的一個(gè)基底，設(shè)，整理可得，即共面，與不共面矛盾，所以能構(gòu)成空間的另一個(gè)基底，故D正確.故選：D.4、C【解析】把雙曲線(xiàn)方程化為標(biāo)準(zhǔn)形式，直接寫(xiě)出焦點(diǎn)坐標(biāo).【詳解】，焦點(diǎn)在軸上，，故焦點(diǎn)坐標(biāo)為.故選：C.5、B【解析】因,故其共軛復(fù)數(shù).應(yīng)選B.考點(diǎn)：復(fù)數(shù)的概念及運(yùn)算.6、D【解析】設(shè)等比數(shù)列的首項(xiàng)為，公比，根據(jù)題意，由求解.【詳解】設(shè)等比數(shù)列的首項(xiàng)為，公比，由題意得：，即，解得，所以，故選：D7、B【解析】過(guò)分別作垂直于準(zhǔn)線(xiàn)，垂足為，則由拋物線(xiàn)的定義可得，再過(guò)MN的中點(diǎn)作垂直于準(zhǔn)線(xiàn)，垂足為，然后利用梯形的中位線(xiàn)定理可求得結(jié)果【詳解】拋物線(xiàn)=的焦點(diǎn)，準(zhǔn)線(xiàn)方程為直線(xiàn)如圖，過(guò)分別作垂直于準(zhǔn)線(xiàn)，垂足為，過(guò)MN的中點(diǎn)作垂直于準(zhǔn)線(xiàn)，垂足為，則由拋物線(xiàn)的定義可得，因?yàn)椋?，因?yàn)槭翘菪蔚闹形痪€(xiàn)，所以，所以線(xiàn)段MN的中點(diǎn)到y(tǒng)軸的距離為4，故選：B8、D【解析】根據(jù)y與x的線(xiàn)性回歸方程為y=0.85x﹣85.71，則=0.85＞0，y與x具有正的線(xiàn)性相關(guān)關(guān)系，A正確；回歸直線(xiàn)過(guò)樣本點(diǎn)的中心（），B正確；該大學(xué)某女生身高增加1cm，預(yù)測(cè)其體重約增加0.85kg，C正確；該大學(xué)某女生身高為170cm，預(yù)測(cè)其體重約為0.85×170﹣85.71=58.79kg，D錯(cuò)誤故選D9、B【解析】構(gòu)造函數(shù)，利用函數(shù)在上的單調(diào)性可判斷AB選項(xiàng)；構(gòu)造函數(shù)，利用函數(shù)在上的單調(diào)性可判斷CD選項(xiàng).【詳解】對(duì)于AB選項(xiàng)，構(gòu)造函數(shù)，其中，則，所以，函數(shù)在上單調(diào)遞增，因?yàn)椤⑶?，則，即，A錯(cuò)B對(duì)；對(duì)于CD選項(xiàng)，構(gòu)造函數(shù)，其中，則.當(dāng)時(shí)，，此時(shí)函數(shù)單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，，此時(shí)函數(shù)單調(diào)遞增，故函數(shù)在上不單調(diào)，無(wú)法確定與的大小關(guān)系，故CD都錯(cuò).故選：B.10、B【解析】根據(jù)空間向量基本定理求解【詳解】由已知故選：B11、A【解析】利用空間向量的模公式求解.【詳解】因向量，所以，故選：A12、C【解析】由余弦定理求出，利用正弦定理將邊化角，再根據(jù)二倍角公式得到，即可得到，最后利用面積公式計(jì)算可得；【詳解】解：因?yàn)?，又，所以，因?yàn)?，所以，所以，因?yàn)椋?，即，所以或，即或（舍去），所以，因?yàn)?，所以，所以；故選：C二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】根據(jù)條件先由正弦定理求出的長(zhǎng)，得出,求出的長(zhǎng)，由勾股定理可得答案.【詳解】海輪向北航行后到達(dá)點(diǎn)，則由題意，在中，又則,由正弦定理可得：,即在中，，所以故答案為：14、【解析】將拋物線(xiàn)方程化為標(biāo)準(zhǔn)方程，利用拋物線(xiàn)的定義將拋物線(xiàn)上的點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離轉(zhuǎn)化為到準(zhǔn)線(xiàn)的距離，再利用點(diǎn)到直線(xiàn)的距離公式進(jìn)行求解.【詳解】將拋物線(xiàn)化為，由拋物線(xiàn)定義得點(diǎn)到準(zhǔn)線(xiàn)的距離為，即，解得故答案為：.15、【解析】可設(shè)直線(xiàn)的方程為，利用點(diǎn)到直線(xiàn)的距離公式求得，即可得解.【詳解】可設(shè)直線(xiàn)的方程為，即，則原點(diǎn)到直線(xiàn)的距離為，解得，所以直線(xiàn)的方程為.故答案為：.16、【解析】根據(jù)，利用等差數(shù)列前項(xiàng)和公式，列方程求出，再由，能求出【詳解】等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，且，，，解得，，，解得，故答案為：10三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17、（1）（2）【解析】（1）根據(jù)離心率的定義以及橢圓與拋物線(xiàn)焦點(diǎn)的關(guān)系，可以求出橢圓方程；（2）根據(jù)題意，可以利用鉛錘底水平高的方法求四邊形APBQ的面積，即是要利用韋達(dá)定理算出.【小問(wèn)1詳解】由題意，即；拋物線(xiàn)，焦點(diǎn)為，故，所以橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為：.【小問(wèn)2詳解】由題意作圖如下：設(shè)AB直線(xiàn)的方程為：，并設(shè)點(diǎn)，，聯(lián)立方程：得：，∴……①，……②，；由于A，B兩點(diǎn)在直線(xiàn)PQ的兩邊（如上圖），所以，即，將①②帶入得：，解得；即由題意直線(xiàn)PQ的方程為，聯(lián)立方程解得，，∴；將線(xiàn)段PQ看做鉛錘底，A，B兩點(diǎn)的橫坐標(biāo)之差看做水平高，得四邊形APBQ的面積為：，當(dāng)且僅當(dāng)m=0時(shí)取最大值，而，所以的最大值為.18、（1）；（2）.【解析】(1)由正弦定理得到，兩邊消去公因式得到，化一即可求得角A；（2）因?yàn)?，所以，再結(jié)合余弦定理得到結(jié)果.【詳解】（1）由,得,因?yàn)?，所以，整理得：，因，所?（2）因?yàn)?，所以，因?yàn)榧?，所以，?【點(diǎn)睛】本題主要考查正弦定理及余弦定理的應(yīng)用以及三角形面積公式，屬于難題.在解與三角形有關(guān)的問(wèn)題時(shí)，正弦定理、余弦定理是兩個(gè)主要依據(jù).解三角形時(shí)，有時(shí)可用正弦定理，有時(shí)也可用余弦定理，應(yīng)注意用哪一個(gè)定理更方便、簡(jiǎn)捷一般來(lái)說(shuō),當(dāng)條件中同時(shí)出現(xiàn)及、時(shí)，往往用余弦定理，而題設(shè)中如果邊和正弦、余弦函數(shù)交叉出現(xiàn)時(shí)，往往運(yùn)用正弦定理將邊化為正弦函數(shù)再結(jié)合和、差、倍角的正余弦公式進(jìn)行解答.19、（1）（2），【解析】（1）設(shè)數(shù)列公比為，根據(jù)列出方程，即可求解；（2）：由（1）得到，利用等比數(shù)列的求和公式，即可求解.【小問(wèn)1詳解】解：設(shè)數(shù)列公比為，因?yàn)闉榈牡炔钪许?xiàng)，可得，即，即，解得或（舍去），所以等比數(shù)列的公比為.【小問(wèn)2詳解】解：由（1）知且，可得，所以.20、（1）（2）【解析】（1）根據(jù)題意列方程組求解（2）待定系數(shù)法設(shè)直線(xiàn)后，由條件求出坐標(biāo)后代入雙曲線(xiàn)方程求解【小問(wèn)1詳解】，解得，故雙曲線(xiàn)方程為【小問(wèn)2詳解】，故設(shè)直線(xiàn)方程為則，由得：故，點(diǎn)在雙曲線(xiàn)上，則，解得直線(xiàn)l的斜率為21、（1）函數(shù)的減區(qū)間為，增區(qū)間為，有極小值，無(wú)極大值；（2）具體見(jiàn)解析；（3）具體見(jiàn)解析.【解析】（1）對(duì)函數(shù)求導(dǎo)，進(jìn)而求出單調(diào)區(qū)間和極值；（2）結(jié)合（1），并代入幾個(gè)特殊點(diǎn)，再結(jié)合函數(shù)的變化趨勢(shì)作出圖象；（3）結(jié)合（2），采用數(shù)形結(jié)合的方法求得答案.【小問(wèn)1詳解】，時(shí)，，單調(diào)遞減，時(shí)，，單調(diào)遞增，故函數(shù)在x=-1處取得極小值為，無(wú)極大值.【小問(wèn)2詳解】作圖說(shuō)明：由（1）可知函數(shù)先減后增，有極小值；描出極小值點(diǎn)，原點(diǎn)和點(diǎn)（1，e）；當(dāng)時(shí)，函數(shù)增加得越來(lái)越快，當(dāng)時(shí)，函數(shù)越來(lái)越接近于0.【小問(wèn)3詳解】結(jié)合圖象可知，若，則方程有0個(gè)解；若，則方程有2個(gè)解；若或，則方程有1個(gè)解.22、（1）證明見(jiàn)解析；（2）.【解析】（1）以為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立空間直