2024屆廣東省興寧市沐彬中學(xué)數(shù)學(xué)高二上期末監(jiān)測試題含解析

2024屆廣東省興寧市沐彬中學(xué)數(shù)學(xué)高二上期末監(jiān)測試題注意事項(xiàng):1．答題前，考生先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)碼填寫清楚，將條形碼準(zhǔn)確粘貼在條形碼區(qū)域內(nèi)。2．答題時(shí)請按要求用筆。3．請按照題號(hào)順序在答題卡各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無效；在草稿紙、試卷上答題無效。4．作圖可先使用鉛筆畫出，確定后必須用黑色字跡的簽字筆描黑。5．保持卡面清潔，不要折暴、不要弄破、弄皺，不準(zhǔn)使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．已知向量，若，則（）A. B.5C.4 D.2．已知橢圓的左，右焦點(diǎn)分別為，，直線與C交于點(diǎn)M，N，若四邊形的面積為且，則C的離心率為（）A. B.C. D.3．已知雙曲線的一條漸近線方程是，它的一個(gè)焦點(diǎn)在拋物線的準(zhǔn)線上，則雙曲線的方程為()A. B.C. D.4．已知函數(shù)，則（）A. B.C. D.5．直線的傾斜角為（）A.30° B.60°C.90° D.120°6．雙曲線的光學(xué)性質(zhì)為：如圖①，從雙曲線右焦點(diǎn)發(fā)出的光線經(jīng)雙曲線鏡面反射，反射光線的反向延長線經(jīng)過左焦點(diǎn).我國首先研制成功的“雙曲線新聞燈”，就是利用了雙曲線的這個(gè)光學(xué)性質(zhì).某“雙曲線新聞燈”的軸截面是雙曲線的一部分，如圖②，其方程為，為其左、右焦點(diǎn)，若從右焦點(diǎn)發(fā)出的光線經(jīng)雙曲線上的點(diǎn)和點(diǎn)反射后，滿足，，則該雙曲線的離心率為（）A. B.C. D.7．橢圓的焦點(diǎn)坐標(biāo)為（）A.和 B.和C.和 D.和8．有6本不同的書，按下列方式進(jìn)行分配，其中分配種數(shù)正確的是（）A.分給甲、乙、丙三人，每人各2本，有15種分法；B.分給甲、乙、丙三人中，一人4本，另兩人各1本，有180種分法；C.分給甲乙每人各2本，分給丙丁每人各1本，共有90種分法；D.分給甲乙丙丁四人，有兩人各2本，另兩人各1本，有1080種分法；9．已知，則下列不等式一定成立的是（）A. B.C. D.10．已知是和的等比中項(xiàng)，則圓錐曲線的離心率為（）A. B.或2C. D.或11．設(shè)命題，則為A. B.C. D.12．如圖所示，直三棱柱中，，，分別是，的中點(diǎn)，，則與所成角的余弦值為（）A. B.C. D.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知函數(shù)，則滿足實(shí)數(shù)的取值范圍是__14．已知實(shí)數(shù)x，y滿足約束條件，則的最小值為______.15．已知數(shù)列滿足，定義使（）為整數(shù)的k叫做“幸福數(shù)”，則區(qū)間內(nèi)所有“幸福數(shù)”的和為_____16．如圖，四邊形為直角梯形，且，為正方形，且平面平面，，，，則______，直線與平面所成角的正弦值為______三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）一個(gè)完美均勻且靈活的平衡鏈被它的兩端懸掛，且只受重力的影響，這個(gè)鏈子形成的曲線形狀被稱為懸鏈線（如圖所示）.選擇適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系后，懸鏈線對應(yīng)的函數(shù)近似是一個(gè)雙曲余弦函數(shù)，其解析式可以為，其中，是常數(shù).（1）當(dāng)時(shí)，判斷并證明的奇偶性；（2）當(dāng)時(shí)，若最小值為，求的最小值.18．（12分）已知集合，.（1）當(dāng)a=3時(shí)，求.（2）若“”是“x∈A”的充分不必要條件，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.19．（12分）如圖，在三棱錐P-ABC中，△ABC是以AC為底的等腰直角三角形，PA=PB=PC=AC=4，O為AC的中點(diǎn).（1）證明：PO⊥平面ABC；（2）若點(diǎn)M在棱BC上，且，求平面MAP與平面CAP所成角的大小.20．（12分）已知數(shù)列滿足各項(xiàng)均不為0，，且，.（1）證明：為等差數(shù)列，并求的通項(xiàng)公式；（2）令，，求.21．（12分）已知是等差數(shù)列，是等比數(shù)列，且，，，.（1）求的通項(xiàng)公式；（2）設(shè)，求數(shù)列的前n項(xiàng)和.22．（10分）已知函數(shù).（1）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（2）當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的值域.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、B【解析】根據(jù)向量垂直列方程，化簡求得.【詳解】由于，所以.故選：B2、A【解析】根據(jù)題意可知四邊形為平行四邊形，設(shè)，進(jìn)而得，根據(jù)四邊形面積求出點(diǎn)M的坐標(biāo)，再代入橢圓方程得出關(guān)于e的方程，解方程即可.【詳解】如圖，不妨設(shè)點(diǎn)在第一象限，由橢圓的對稱性得四邊形為平行四邊形，設(shè)點(diǎn)，由，得，因?yàn)樗倪呅蔚拿娣e為，所以，得，由，得，解得，所以，即點(diǎn)，代入橢圓方程，得，整理得，由，得，解得，由，得.故選：A3、A【解析】根據(jù)雙曲線漸近線方程得a和b的關(guān)系，根據(jù)焦點(diǎn)在拋物線準(zhǔn)線上得c的值，結(jié)合a、b、c關(guān)系即可求解.【詳解】∵雙曲線的一條漸近線方程是，∴，∵準(zhǔn)線方程是，∴，∵，∴，，∴雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程為：.故選：A.4、B【解析】求出，代值計(jì)算可得的值.【詳解】因?yàn)?，則，故.故選：B.5、B【解析】根據(jù)給定方程求出直線斜率，再利用斜率的定義列式計(jì)算得解.【詳解】直線的斜率，設(shè)其傾斜角為，顯然，則有，解得，直線的傾斜角為.故選：B6、C【解析】連接，已知條件為，，設(shè)，由雙曲線定義表示出，用已知正切值求出，再由雙曲線定義得，這樣可由勾股定理求出（用表示），然后在中，應(yīng)用勾股定理得出的關(guān)系，求得離心率【詳解】易知共線，共線，如圖，設(shè)，，則，由得，，又，所以，，所以，所以，由得，因?yàn)?，故解得，則，在中，，即，所以故選：C7、D【解析】本題是焦點(diǎn)在x軸的橢圓，求出c，即可求得焦點(diǎn)坐標(biāo).【詳解】，可得焦點(diǎn)坐標(biāo)為和.故選：D8、D【解析】根據(jù)題意，分別按照選項(xiàng)說法列式計(jì)算驗(yàn)證即可做出判斷.【詳解】選項(xiàng)A，6本不同的書分給甲、乙、丙三人，每人各2本，有種分配方法，故該選項(xiàng)錯(cuò)誤；選項(xiàng)B，6本不同的書分給甲、乙、丙三人，一人4本，另兩人各1本，先將6本書分成4-1-1的3組，再將三組分給甲乙丙三人，有種分配方法，故該選項(xiàng)錯(cuò)誤；選項(xiàng)C，6本不同的書分給甲乙每人各2本，有種方法，其余分給丙丁每人各1本，有種方法，所以不同的分配方法有種，故該選項(xiàng)錯(cuò)誤；選項(xiàng)D，先將6本書分為2-2-1-14組，再將4組分給甲乙丙丁4人，有種方法，故該選項(xiàng)正確.故選：D.9、B【解析】運(yùn)用不等式的性質(zhì)及舉反例的方法可求解.詳解】對于A，如，滿足條件，但不成立，故A不正確；對于B，因?yàn)?，所以，所以，故B正確；對于C，因?yàn)?，所以，所以不成立，故C不正確；對于D，因?yàn)?，所以，所以，故D不正確.故選：B10、B【解析】由等比中項(xiàng)的性質(zhì)可得，分別計(jì)算曲線的離心率.【詳解】由是和的等比中項(xiàng)，可得，當(dāng)時(shí)，曲線方程為，該曲線為焦點(diǎn)在軸上的橢圓，離心率，當(dāng)時(shí)，曲線方程為，該曲線為焦點(diǎn)在軸上的雙曲線，離心率，故選：B.11、C【解析】特稱命題的否定為全稱命題，所以命題的否命題應(yīng)該為，即本題的正確選項(xiàng)為C.12、A【解析】取的中點(diǎn)為，的中點(diǎn)為，然后可得或其補(bǔ)角即為與所成角，然后在中求出答案即可.【詳解】取的中點(diǎn)為，的中點(diǎn)為，，，所以或其補(bǔ)角即為與所成角，設(shè)，則，，在，，故選：A二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】分別對，分別大于1，等于1，小于1的討論，即可.【詳解】對，分別大于1，等于1，小于1的討論，當(dāng),解得當(dāng)，不存在，當(dāng)時(shí)，，解得，故x的范圍為點(diǎn)睛】本道題考查了分段函數(shù)問題，分類討論，即可，難度中等14、【解析】作出該不等式表示的平面區(qū)域，由的幾何意義結(jié)合距離公式得出答案.【詳解】該不等式組表示的平面區(qū)域，如下圖所示過點(diǎn)作直線的垂線，垂足為因?yàn)楸硎驹c(diǎn)與可行域中點(diǎn)之間的距離，所以的最小值為.故答案為：15、2036【解析】先用換底公式化簡之后，將表示出來，找出滿足條件的“幸福數(shù)”，然后求和即可.【詳解】當(dāng)時(shí)，，所以，若滿足正整數(shù)，則，即，所以在內(nèi)的所有“幸福數(shù)”的和為：,故答案為：2036.16、①..②..【解析】以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，，，所在直線分別為軸，軸，軸建立空間直角坐標(biāo)系,根據(jù)空間向量的線性運(yùn)算求得向量的坐標(biāo)，由此求得，由線面角的空間向量求解方法求得答案.【詳解】解：以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，，，所在直線分別為軸，軸，軸建立空間直角坐標(biāo)系（如下圖所示）由題意可知，，，因?yàn)?，，所以，故設(shè)平面的法向量為，則，令，得因?yàn)椋灾本€與平面所成角的正弦值為故答案為：；.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）偶函數(shù)（2）10【解析】(1)根據(jù)偶函數(shù)定義直接判斷可知；(2)由基本不等式求得的最小值，得到a、b的關(guān)系，然后代入目標(biāo)式，分離常數(shù)，然后可得.【小問1詳解】當(dāng)時(shí)，，定義域?yàn)镽，因?yàn)樗詾榕己瘮?shù).【小問2詳解】因?yàn)?，所以，?dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，取等號(hào).由題知，即，因?yàn)椋?，即所以令，，則，所以，所以，當(dāng)，即時(shí)，取等號(hào).所以的最小值為10.18、（1）（2）【解析】（1）解不等式求出集合、，然后根據(jù)交集的運(yùn)算法則求交集；（2）解不等式求出集合、，求出，然后根據(jù)充分不必要性列出不等式組求解.【小問1詳解】解：由題意得：當(dāng)時(shí)，可解得集合的解集為由可解得或故.【小問2詳解】的解集為又又“”是“x∈A”的充分不必要條件解得：，故實(shí)數(shù)a的取值范圍19、（1）證明見解析（2）【解析】（1）接BO，由是等邊三角形得，由得出，再利用線面垂直的判斷定理可得平面；（2）建立以為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別為軸的空間直角坐標(biāo)系，求出平面的法向量、平面的法向量，利用二面角的向量求法可得答案.【小問1詳解】連接BO，由已知△ABC是以AC為底的等腰直角三角形，且PA=PB=PC=AC=4，O為AC的中點(diǎn)，則是等邊三角形，，，在中，，滿足，即是直角三角形，則，又，平面，所以平面.【小問2詳解】建立以為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別為軸的空間直角坐標(biāo)系如圖所示，則，，，，則平面的法向量為，由已知，得到點(diǎn)坐標(biāo)，，設(shè)平面的法向量則，令，則，即，設(shè)平面MAP與平面CAP所成角為，則，則平面MAP與平面CAP所成角為.20、（1）證明見解析，，（2）【解析】（1）根據(jù)題意，結(jié)合遞推公式，易知，即可求證；（2）根據(jù)題意，結(jié)合錯(cuò)位相減法，即可求解.【小問1詳解】∵，∴，，∴等差數(shù)列，首項(xiàng)為，公差為3.∴，即，.【小問2詳解】根據(jù)題意，得，，①，②①-②得，故.21、（1）（2）【解析】（1）設(shè)是公差為d的等差數(shù)列，是公比為q的等比數(shù)列，運(yùn)用通項(xiàng)公式可得，，進(jìn)而得到所求通項(xiàng)公式；（2）求得，再由數(shù)列的求和方法：分組求和，運(yùn)用等差數(shù)列和等比數(shù)列的求和公式，計(jì)算即可得到所求和.【小問1詳解】解：（1）設(shè)是公差為d的等差數(shù)列，是公比為q的等比數(shù)列，由，，可得，；即有，，則，則；【小問2詳解】解：，則數(shù)列的前n項(xiàng)和為.22、（1）單調(diào)遞增區(qū)間（?∞，?1）和（4，＋∞），單調(diào)遞減區(qū)間（?1，4）（2）【解析】（1）求出，令，由導(dǎo)數(shù)的正負(fù)即可得到函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間和遞減區(qū)間；（2）求出函數(shù)在區(qū)間中的單調(diào)性，求出極大值和極小值以及區(qū)間端點(diǎn)的函數(shù)值，比較大小即可得到