2024屆河北省張家口市宣化一中張北一中高二上數(shù)學(xué)期末聯(lián)考模擬試題含解析

2024屆河北省張家口市宣化一中張北一中高二上數(shù)學(xué)期末聯(lián)考模擬試題注意事項：1．答題前，考生先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號填寫清楚，將條形碼準(zhǔn)確粘貼在考生信息條形碼粘貼區(qū)。2．選擇題必須使用2B鉛筆填涂；非選擇題必須使用0．5毫米黑色字跡的簽字筆書寫，字體工整、筆跡清楚。3．請按照題號順序在各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無效；在草稿紙、試題卷上答題無效。4．保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，不準(zhǔn)使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．已知拋物線的焦點恰為雙曲線的一個頂點，的另一頂點為，與在第一象限內(nèi)的交點為，若，則直線的斜率為（）A. B.C. D.2．拋物線的焦點為F，點為該拋物線上的動點，點A是拋物線的準(zhǔn)線與坐標(biāo)軸的交點，則的最大值是（）A.2 B.C. D.3．在四棱錐中，底面為平行四邊形，為邊的中點，為邊上的一列點，連接，交于，且，其中數(shù)列的首項，則（）A. B.為等比數(shù)列C. D.4．設(shè)P是拋物線上的一個動點，F(xiàn)為拋物線的焦點.若，則的最小值為（）A. B.C.4 D.55．已知橢圓和雙曲線有共同的焦點，分別是它們的在第一象限和第三象限的交點，且，記橢圓和雙曲線的離心率分別為，則等于（）A.4 B.2C.2 D.36．直三棱柱ABC－A1B1C1中，△ABC為等邊三角形，AA1＝AB，M是A1C1的中點，則AM與平面所成角的正弦值為（）A. B.C. D.7．命題“，”否定是（）A.， B.，C.， D.，8．如圖，已知四棱錐，底面ABCD是邊長為4的菱形，且，E為AD的中點，，則異面直線PC與BE所成角的余弦值為（）A. B.C. D.9．在正方體中中，，若點P在側(cè)面（不含邊界）內(nèi)運動，，且點P到底面的距離為3，則異面直線與所成角的余弦值是（）A. B.C. D.10．在二項式的展開式中，前三項的系數(shù)成等差數(shù)列，把展開式中所有的項重新排成一列，則有理項互不相鄰的概率（）A. B.C. D.11．球O為三棱錐的外接球，和都是邊長為的正三角形，平面PBC平面ABC，則球的表面積為（）A. B.C. D.12．設(shè)是區(qū)間上的連續(xù)函數(shù)，且在內(nèi)可導(dǎo)，則下列結(jié)論中正確的是（）A.的極值點一定是最值點B.的最值點一定是極值點C.在區(qū)間上可能沒有極值點D.在區(qū)間上可能沒有最值點二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．同時擲兩枚骰子，則點數(shù)和為7的概率是__________.14．設(shè)等差數(shù)列的前項和為，若，，則______15．已知雙曲線：，，是其左右焦點.圓：，點為雙曲線右支上的動點，點為圓上的動點，則的最小值是________.16．已知函數(shù)有三個零點，則正實數(shù)a的取值范圍為_________三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為：，若右焦點為且離心率為（1）求橢圓的方程；（2）設(shè)，是上的兩點，直線與曲線相切且，，三點共線，求線段的長18．（12分）求滿足下列條件的曲線的方程：（1）離心率為，長軸長為6的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程（2）與橢圓有相同焦點，且經(jīng)過點的雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程19．（12分）已知直線經(jīng)過橢圓的右焦點，且橢圓C的離心率為（1）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）以橢圓的短軸為直徑作圓，若點M是第一象限內(nèi)圓周上一點，過點M作圓的切線交橢圓C于P，Q兩點，橢圓C的右焦點為，試判斷的周長是否為定值．若是，求出該定值20．（12分）如圖，直角梯形與等腰直角三角形所在的平面互相垂直，，，.（1）求點C到平面的距離；（2）線段上是否存在點F，使與平面所成角正弦值為，若存在，求出，若不存在，說明理由.21．（12分）在直角坐標(biāo)系中，點到兩點、的距離之和等于，設(shè)點的軌跡為，直線與交于、兩點（1）求曲線的方程；（2）若，求的值22．（10分）以直角坐標(biāo)系的原點為極點，軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，已知直線的極坐標(biāo)方程為，曲線的參數(shù)方程是(為參數(shù)（1）求直線和曲線的普通方程；（2）直線與軸交于點，與曲線交于，兩點，求

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、D【解析】根據(jù)題意，列出的方程組，解得，再利用斜率公式即可求得結(jié)果.【詳解】因為拋物線的焦點，由題可知；又點在拋物線上，故可得；又，聯(lián)立方程組可得，整理得，解得（舍）或，此時，又，故直線的斜率為.故選：D.2、B【解析】設(shè)直線的傾斜角為，設(shè)垂直于準(zhǔn)線于，由拋物線的性質(zhì)可得，則，當(dāng)直線PA與拋物線相切時，最小，取得最大值，設(shè)出直線方程得到直線和拋物線相切時的點P的坐標(biāo)，然后進行計算得到結(jié)果.【詳解】設(shè)直線的傾斜角為，設(shè)垂直于準(zhǔn)線于，由拋物線的性質(zhì)可得，所以則，當(dāng)最小時，則值最大，所以當(dāng)直線PA與拋物線相切時，θ最大，即最小，由題意可得，設(shè)切線PA的方程為：，，整理可得，，可得，將代入，可得，所以，即P的橫坐標(biāo)為1，即P的坐標(biāo)，所以，，所以的最大值為：，故選：B【點睛】關(guān)鍵點睛：本題主要考查了拋物線的簡單性質(zhì)．解題的關(guān)鍵是利用了拋物線的定義．一般和拋物線有關(guān)的小題，很多時可以應(yīng)用結(jié)論來處理的；平時練習(xí)時應(yīng)多注意拋物線的結(jié)論的總結(jié)和應(yīng)用．尤其和焦半徑聯(lián)系的題目，一般都和定義有關(guān)，實現(xiàn)點點距和點線距的轉(zhuǎn)化3、A【解析】由得，為邊的中點得，設(shè)，所以，根據(jù)向量相等可判斷A選項；由得是公比為的等比數(shù)列，可判斷B選項；代入可判斷C選項；當(dāng)時可判斷D選項.【詳解】由得，因為為邊的中點，所以，所以設(shè)，所以，所以，當(dāng)時，A選項正確；，由得，是公比為的等比數(shù)列，所以，所以，所以，不是常數(shù)，故B選項錯誤；所以，由得，故C選項錯誤；當(dāng)時，，所以，此時為的中點，與重合，即，，故D錯誤.故選：A.4、C【解析】作出圖形，過點作拋物線準(zhǔn)線的垂線，由拋物線的定義得，從而得出，再由、、三點共線時，取最小值得解.【詳解】，所以在拋物線的內(nèi)部，過點作拋物線準(zhǔn)線的垂線，由拋物線的定義得，，當(dāng)且僅當(dāng)、、三點共線時，等號成立，因此，的最小值為.故選：C.5、A【解析】設(shè)橢圓的長半軸長為，雙曲線的實半軸長為，由定義可得，，在中利用余弦定理可得，即可求出結(jié)果.【詳解】設(shè)橢圓的長半軸長為，雙曲線的實半軸長為，不妨設(shè)在第一象限，根據(jù)橢圓和雙曲線定義，得，，，由可得，又，在中，，即，化簡得，兩邊同除以，得.故選：A.【點睛】關(guān)鍵點睛：本題考查共焦點的橢圓與雙曲線的離心率問題，解題的關(guān)鍵是利用定義以及焦點三角形的關(guān)系列出齊次方程式進行求解.6、B【解析】取的中點，以為原點，所在直線分別為x軸、y軸、z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，即可根據(jù)線面角的向量公式求出【詳解】如圖所示，取的中點，以為原點，所在直線分別為x軸、y軸、z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，不妨設(shè)，則，所以，平面的一個法向量為設(shè)AM與平面所成角為，向量與所成的角為，所以，即AM與平面所成角的正弦值為故選：B7、D【解析】根據(jù)含有量詞的命題的否定即可得出結(jié)論.【詳解】命題為全稱命題，則命題的否定為：，.故選：D.8、B【解析】根據(jù)異面直線的定義找出角即為所求，再利用余弦定理解三角形即可得出.【詳解】分別取BC，PB的中點F，G，連接DF，F(xiàn)G，DG，如圖，因為E為AD的中點，四邊形ABCD是菱形，所以，所以（其補角）是異面直線PC與BE所成的角因為底面ABCD是邊長為4菱形，且，，由余弦定理可知，所以，所以，所以異面直線PC與BE所成角的余弦值為，故選：B9、A【解析】如圖建立空間直角坐標(biāo)系，先由，且點P到底面的距離為3，確定點P的位置，然后利用空間向量求解即可【詳解】如圖，以為坐標(biāo)原點，以所在的直線分別為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，則，所以，所以，所以，因為,所以平面，因為平面平面，點P在側(cè)面（不含邊界）內(nèi)運動，，所以，因為點P到底面的距離為3，所以，所以，因為，所以異面直線與所成角的余弦值為，故選：A10、A【解析】先根據(jù)前三項的系數(shù)成等差數(shù)列求，再根據(jù)古典概型概率公式求結(jié)果【詳解】因為前三項的系數(shù)為，，，當(dāng)時，為有理項，從而概率為.故選：A.11、B【解析】取中點為T，以及的外心為，的外心為，依據(jù)平面平面可知為正方形，然后計算外接球半徑，最后根據(jù)球表面積公式計算.【詳解】設(shè)中點為T，的外心為，的外心為，如圖由和均為邊長為的正三角形則和的外接圓半徑為，又因為平面PBC平面ABC，所以平面，可知且，過分別作平面、平面的垂線相交于點即為三棱錐的外接球的球心，且四邊形是邊長為的正方形，所以外接球半徑，則球的表面積為，故選：B12、C【解析】根據(jù)連續(xù)函數(shù)的極值和最值的關(guān)系即可判斷【詳解】根據(jù)函數(shù)的極值與最值的概念知，的極值點不一定是最值點，的最值點不一定是極值點．可能是區(qū)間的端點，連續(xù)可導(dǎo)函數(shù)在閉區(qū)間上一定有最值，所以選項A，B，D都不正確，若函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)，則函數(shù)在區(qū)間上沒有極值點，所以C正確故選：C.【點睛】本題主要考查函數(shù)的極值與最值的概念辨析，屬于容易題二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】利用古典概型的概率計算公式即得.【詳解】依題意，記拋擲兩顆骰子向上的點數(shù)分別為，，則可得到數(shù)組共有組，其中滿足的組數(shù)共有6組，分別為，，，，，，因此所求的概率等于.故答案為：.14、77【解析】依題意利用等差中項求得，進而求得.【詳解】依題意可得，則，故故答案為：77.15、##【解析】利用雙曲線定義，將的最小值問題轉(zhuǎn)化為的最小值問題，然后結(jié)合圖形可解.【詳解】由題設(shè)知，，，，圓的半徑由點為雙曲線右支上的動點知∴∴.故答案為：16、【解析】求導(dǎo)易得函數(shù)有兩個極值點和，根據(jù)題意，由求解.【詳解】由，可得函數(shù)有兩個極值點和，，，若函數(shù)有三個零點，必有解得或故答案為：三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）；（2）.【解析】（1）根據(jù)橢圓的焦點、離心率求橢圓參數(shù)，寫出橢圓方程即可.（2）由（1）知曲線為，討論直線的存在性，設(shè)直線方程聯(lián)立橢圓方程并應(yīng)用韋達定理求弦長即可.【詳解】（1）由題意，橢圓半焦距且，則，又，∴橢圓方程為；（2）由（1）得，曲線為當(dāng)直線的斜率不存在時，直線，不合題意：當(dāng)直線的斜率存在時，設(shè)，又，，三點共線，可設(shè)直線，即，由直線與曲線相切可得，解得，聯(lián)立，得，則，，∴.18、（1）或；（2）【解析】(1)根據(jù)題意,由橢圓的幾何性質(zhì)可得a、c的值,計算可得b的值,討論橢圓焦點的位置,求出橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程,即可得答案；(2)根據(jù)題意,求出橢圓的焦點坐標(biāo),進而可以設(shè)雙曲線的方程為,分析可得和,解可得a、b的值,即可得答案【詳解】解：（1）根據(jù)題意,要求橢圓的長軸長為6,離心率為,則,,解可得：,；則,若橢圓的焦點在x軸上,其方程為,若橢圓的焦點在y軸上,其方程為,綜合可得：橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為或；（2）根據(jù)題意,橢圓的焦點為和,故要求雙曲線的方程為,且,則有,又由雙曲線經(jīng)過經(jīng)過點,則有,,聯(lián)立可得：,故雙曲線方程為：【點睛】本題考查橢圓、雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程的求法,涉及橢圓、雙曲線的幾何性質(zhì),屬于基礎(chǔ)題19、（1）（2）周長是定值，且定值為4【解析】（1）首先求出直線與軸的交點，即可求出，再根據(jù)離心率求出，最后根據(jù)求出，即可得解；（2）：設(shè)直線的方程為、、，聯(lián)立直線與橢圓方程，消元列出韋達定理，即可表示出弦的長，再根據(jù)直線與圓相切，則圓心到直線的距離等于半徑，即可得到，再求出、，最后根據(jù)計算即可得解；【小問1詳解】解：因為經(jīng)過橢圓的右焦點，令，則，所以橢圓的右焦點為，可得：，又，可得：，由，所以，∴橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為；【小問2詳解】解：設(shè)直線的方程為，由得：，所以，設(shè)，，則：，所以.因為直線與圓相切，所以，即，所以，因為，又，所以，同理.所以，即的周長是定值，且定值為420、（1）（2）存在，1【解析】（1）由題意建立空間直角坐標(biāo)系，求得平面向量的法向量和相應(yīng)點的坐標(biāo)，利用點面距離公式即可求得點面距離（2）假設(shè)滿足題意的點存在且滿足，由題意得到關(guān)于的方程，解方程即可確定滿足題意的點是否存在【小問1詳解】解：如圖所示，取中點，連結(jié)，，因為三角形是等腰直角三角形，所以，因為面面，面面面，所以平面，又因為，所以四邊形是矩形，可得，則，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則：據(jù)此可得，設(shè)平面的一個法向量為，則，令可得，從而，又，故求點到平面的距離【小問2詳解】解：假設(shè)存在點，，滿足題意，點在線段上，則，即：，，，，，據(jù)此可得：，，從而，，，，設(shè)與平面所成角所成的角為，則，整理可得：，解得：或（舍去）據(jù)此可知，存在滿足題意的點，點為的中點，即21、（1）；（2）.【解析】（1）本題可根據(jù)橢圓的定義求出點的軌跡；（2）本題首先可設(shè)、，然后聯(lián)立橢圓與直線方程，通過韋達定理得出、，最后通過得出，代入、的值并計算，即可得出結(jié)果.【詳解】（1）因為點到兩點、的距離之和等于，所以結(jié)合橢圓定義易知，點的軌跡是以點、為焦點且的橢圓，則，，，點的軌跡.（2）設(shè)，，聯(lián)立，整理得，則，，因為，所以，即，整理得，則，整理得，解得.【點睛】關(guān)鍵點點睛：本題考查根據(jù)橢圓定義求動點軌跡以及直線與拋物線