2024屆河南省許昌市建安區(qū)第三高中數(shù)學(xué)高二上期末綜合測(cè)試模擬試題含解析

2024屆河南省許昌市建安區(qū)第三高中數(shù)學(xué)高二上期末綜合測(cè)試模擬試題考生請(qǐng)注意：1．答題前請(qǐng)將考場(chǎng)、試室號(hào)、座位號(hào)、考生號(hào)、姓名寫在試卷密封線內(nèi)，不得在試卷上作任何標(biāo)記。2．第一部分選擇題每小題選出答案后，需將答案寫在試卷指定的括號(hào)內(nèi)，第二部分非選擇題答案寫在試卷題目指定的位置上。3．考生必須保證答題卡的整潔?？荚嚱Y(jié)束后，請(qǐng)將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．若直線與平行，則m的值為（）A.－2 B.－1或－2C.1或－2 D.12．過(guò)點(diǎn)且平行于直線的直線的方程為（）A. B.C. D.3．橢圓（）的右頂點(diǎn)是拋物線的焦點(diǎn)，且短軸長(zhǎng)為2，則該橢圓方程為（）A. B.C. D.4．已知直線是圓的對(duì)稱軸，過(guò)點(diǎn)A作圓C的一條切線，切點(diǎn)為B，則|AB|=（）A.1 B.2C.4 D.85．設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為，當(dāng)時(shí)，，，成等差數(shù)列，若，且，則的最大值為（）A. B.C. D.6．已知橢圓是橢圓上關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的兩點(diǎn)，設(shè)以為對(duì)角線的橢圓內(nèi)接平行四邊形的一組鄰邊斜率分別為，則（）A.1 B.C. D.7．有6本不同的書，按下列方式進(jìn)行分配，其中分配種數(shù)正確的是（）A.分給甲、乙、丙三人，每人各2本，有15種分法；B.分給甲、乙、丙三人中，一人4本，另兩人各1本，有180種分法；C.分給甲乙每人各2本，分給丙丁每人各1本，共有90種分法；D.分給甲乙丙丁四人，有兩人各2本，另兩人各1本，有1080種分法；8．從裝有2個(gè)紅球和2個(gè)白球的袋內(nèi)任取2個(gè)球，那么互斥而不對(duì)立的兩個(gè)事件是（）A.取出的球至少有1個(gè)紅球；取出的球都是紅球B.取出的球恰有1個(gè)紅球；取出的球恰有1個(gè)白球C.取出的球至少有1個(gè)紅球；取出的球都是白球D.取出的球恰有1個(gè)白球；取出的球恰有2個(gè)白球9．意大利數(shù)學(xué)家斐波那契，以兔子繁殖為例，引入“兔子數(shù)列”，，，，，，，，…，在實(shí)際生活中很多花朵的瓣數(shù)恰是斐波那契數(shù)列中的數(shù)，斐波那契數(shù)列在物理化學(xué)等領(lǐng)域也有著廣泛的應(yīng)用.已知斐波那契數(shù)列滿足：，，，若，則等于（）A. B.C. D.10．等比數(shù)列的公比為，則“”是“對(duì)于任意正整數(shù)n，都有”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分又不必要條件11．在平面內(nèi)，A，B是兩個(gè)定點(diǎn)，C是動(dòng)點(diǎn)，若，則點(diǎn)C的軌跡為（）A.圓 B.橢圓C.拋物線 D.直線12．如圖，修建一條公路需要一段環(huán)湖彎曲路段與兩條直道平滑連接（相切）.已知環(huán)湖彎曲路段為某三次函數(shù)圖象的一部分，則該函數(shù)的解析式為（）A.B.C.D.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．隨機(jī)抽取某社區(qū)名居民，調(diào)查他們某一天吃早餐所花的費(fèi)用（單位：元），所獲數(shù)據(jù)的莖葉圖如圖所示，則這個(gè)數(shù)據(jù)的眾數(shù)是_________14．與同一條直線都相交的兩條直線的位置關(guān)系是________15．等差數(shù)列前3項(xiàng)的和為30，前6項(xiàng)的和為100，則它的前9項(xiàng)的和為_(kāi)_____.16．若平面內(nèi)兩定點(diǎn)A，B間的距離為2，動(dòng)點(diǎn)P滿足，則的最小值為_(kāi)________.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17．（12分）如圖，四棱錐P－ABCD中，PA平面ABCD，，∠BAD=120o，AB＝AD＝2，點(diǎn)M在線段PD上，且DM＝2MP，平面（1）求證：平面MAC平面PAD；（2）若PA＝6，求平面PAB和平面MAC所成銳二面角的余弦值18．（12分）已知數(shù)列的前n項(xiàng)和為，且.（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）令，求數(shù)列的前n項(xiàng)和.19．（12分）中國(guó)共產(chǎn)黨建黨100周年華誕之際，某高校積極響應(yīng)黨和國(guó)家的號(hào)召，通過(guò)“增強(qiáng)防疫意識(shí)，激發(fā)愛(ài)國(guó)情懷”知識(shí)競(jìng)賽活動(dòng)，來(lái)回顧中國(guó)共產(chǎn)黨從成立到發(fā)展壯大的心路歷程，表達(dá)對(duì)建黨100周年以來(lái)的豐功偉績(jī)的傳頌．教務(wù)處為了解學(xué)生對(duì)相關(guān)知識(shí)的掌握情況，隨機(jī)抽取了100名學(xué)生的競(jìng)賽成績(jī)，并以此為樣本繪制了如下樣本頻率分布直方圖（1）求值并估計(jì)中位數(shù)所在區(qū)間（2）需要從參賽選手中選出6人代表學(xué)校參與省里的此類比賽，你認(rèn)為怎么選最合理，并說(shuō)明理由20．（12分）已知拋物線的焦點(diǎn)，點(diǎn)在拋物線上.（1）求；（2）過(guò)點(diǎn)向軸作垂線，垂足為，過(guò)點(diǎn)的直線與拋物線交于兩點(diǎn)，證明：為直角三角形（為坐標(biāo)原點(diǎn)）.21．（12分）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知點(diǎn)、，點(diǎn)M滿足，記點(diǎn)M的軌跡為C（1）求C的方程；（2）若直線l過(guò)圓圓心D且與圓交于A，B兩點(diǎn)，點(diǎn)P為C上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，求的最小值22．（10分）已知定圓，過(guò)的一條動(dòng)直線與圓相交于、兩點(diǎn)，（1）當(dāng)與定直線垂直時(shí)，求出與的交點(diǎn)的坐標(biāo)，并證明過(guò)圓心；（2）當(dāng)時(shí)，求直線的方程

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、C【解析】利用兩直線平行的判定有，即可求參數(shù)值.【詳解】由題設(shè)，，可得或.經(jīng)驗(yàn)證不重合，滿足題意，故選：C.2、B【解析】根據(jù)平行設(shè)直線方程，代入點(diǎn)計(jì)算得到答案.【詳解】設(shè)直線方程為，將點(diǎn)代入直線方程得到，解得.故直線方程為：.故選：B.3、A【解析】求得拋物線的焦點(diǎn)從而求得，再結(jié)合題意求得，即可寫出橢圓方程.【詳解】因?yàn)閽佄锞€的焦點(diǎn)坐標(biāo)為，故可得；又短軸長(zhǎng)為2，故可得，即；故橢圓方程為：.故選：.4、C【解析】首先將圓心坐標(biāo)代入直線方程求出參數(shù)a，求得點(diǎn)A的坐標(biāo)，由切線與圓的位置關(guān)系構(gòu)造直角三角形從而求得.【詳解】圓即，圓心為，半徑為r=3，由題意可知過(guò)圓的圓心，則，解得，點(diǎn)A坐標(biāo)為，，切點(diǎn)為B則，故選:C【點(diǎn)睛】本題考查直線與圓的位置關(guān)系，屬于基礎(chǔ)題.5、A【解析】根據(jù)等差中項(xiàng)寫出式子，由遞推式及求和公式寫出和，進(jìn)而得出結(jié)果.【詳解】解：由，，成等差數(shù)列，可得，則，，，可得數(shù)列中，每隔兩項(xiàng)求和是首項(xiàng)為，公差為的等差數(shù)列.則，，則的最大值可能為.由，，可得.因?yàn)椋?，，即，所以，則，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，，符合題意，故的最大值為.故選：A.【點(diǎn)睛】本題考查等差數(shù)列的性質(zhì)和遞推式的應(yīng)用，考查分析問(wèn)題能力，屬于難題.6、C【解析】根據(jù)橢圓的對(duì)稱性和平行四邊形的性質(zhì)進(jìn)行求解即可.【詳解】是橢圓上關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱兩點(diǎn)，所以不妨設(shè)，即，因?yàn)槠叫兴倪呅我彩侵行膶?duì)稱圖形，所以也是橢圓上關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的兩點(diǎn)，所以不妨設(shè)，即，，得：，即，故選：C7、D【解析】根據(jù)題意，分別按照選項(xiàng)說(shuō)法列式計(jì)算驗(yàn)證即可做出判斷.【詳解】選項(xiàng)A，6本不同的書分給甲、乙、丙三人，每人各2本，有種分配方法，故該選項(xiàng)錯(cuò)誤；選項(xiàng)B，6本不同的書分給甲、乙、丙三人，一人4本，另兩人各1本，先將6本書分成4-1-1的3組，再將三組分給甲乙丙三人，有種分配方法，故該選項(xiàng)錯(cuò)誤；選項(xiàng)C，6本不同的書分給甲乙每人各2本，有種方法，其余分給丙丁每人各1本，有種方法，所以不同的分配方法有種，故該選項(xiàng)錯(cuò)誤；選項(xiàng)D，先將6本書分為2-2-1-14組，再將4組分給甲乙丙丁4人，有種方法，故該選項(xiàng)正確.故選：D.8、D【解析】利用互斥事件、對(duì)立事件的定義逐一判斷即可.【詳解】A答案中的兩個(gè)事件可以同時(shí)發(fā)生，不是互斥事件B答案中的兩個(gè)事件可以同時(shí)發(fā)生，不是互斥事件C答案中的兩個(gè)事件不能同時(shí)發(fā)生，但必有一個(gè)發(fā)生，既是互斥事件又是對(duì)立事件D答案中的兩個(gè)事件不能同時(shí)發(fā)生，也可以都不發(fā)生，故是互斥而不對(duì)立事件故選：D【點(diǎn)睛】本題考查的是互斥事件和對(duì)立事件的概念，較簡(jiǎn)單.9、A【解析】利用可化簡(jiǎn)得，由此可得.【詳解】由得：，，即.故選：A.10、D【解析】結(jié)合等比數(shù)列的單調(diào)性，根據(jù)充分必要條件的定義判斷【詳解】若，，則，，充分性不成立；反過(guò)來(lái)，若，，則時(shí)，必要性不成立；因此“”是“對(duì)于任意正整數(shù)n，都有”的既不充分也不必要條件.故選：D11、A【解析】首先建立平面直角坐標(biāo)系，然后結(jié)合數(shù)量積定義求解其軌跡方程即可.【詳解】設(shè)，以AB中點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系，則：，設(shè)，可得：，從而：，結(jié)合題意可得：，整理可得：，即點(diǎn)C的軌跡是以AB中點(diǎn)為圓心，為半徑的圓.故選：A.【點(diǎn)睛】本題主要考查平面向量及其數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算，軌跡方程的求解等知識(shí)，意在考查學(xué)生的轉(zhuǎn)化能力和計(jì)算求解能力.12、D【解析】由題設(shè)，“需要一段環(huán)湖彎曲路段與兩條直道平滑連接（相切）“可得出此兩點(diǎn)處的切線正是兩條直道所在直線，由此規(guī)律驗(yàn)證四個(gè)選項(xiàng)即可得出答案【詳解】由函數(shù)圖象知，此三次函數(shù)在上處與直線相切，在點(diǎn)處與相切，下研究四個(gè)選項(xiàng)中函數(shù)在兩點(diǎn)處的切線A：，將0代入，此時(shí)導(dǎo)數(shù)為，與點(diǎn)處切線斜率為矛盾，故A錯(cuò)誤B：，將0代入，此時(shí)導(dǎo)數(shù)為，不為，故B錯(cuò)誤；C：，將2代入，此時(shí)導(dǎo)數(shù)為，與點(diǎn)處切線斜率為3矛盾，故C錯(cuò)誤；D：，將0，2代入，解得此時(shí)切線的斜率分別是，3，符合題意，故D正確；故選：D.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】將個(gè)數(shù)據(jù)寫出來(lái)，可得出這組數(shù)據(jù)的眾數(shù).【詳解】這個(gè)數(shù)據(jù)分別為、、、、、、、、、、、、、、，該組數(shù)據(jù)的眾數(shù)為.故答案為：.14、平行，相交或者異面【解析】由空間中兩直線的位置關(guān)系求解即可【詳解】由題意與同一條直線都相交的兩條直線的位置關(guān)系可能是：平行，相交或者異面，故答案為：平行，相交或者異面，15、210【解析】依題意，、、成等差數(shù)列，從而可求得答案【詳解】∵等差數(shù)列{an}的前3項(xiàng)和為30，前6項(xiàng)和為100，即S3＝30，S6＝100，又S3、S6﹣S3、S9﹣S6成等差數(shù)列，∴2（S6﹣S3）＝（S9﹣S6）+S3，即140＝S9﹣100+30，解得S9＝210.故答案：210【點(diǎn)睛】本題考查等差數(shù)列的性質(zhì)，熟練利用、、成等差數(shù)列是關(guān)鍵，屬于中檔題16、【解析】建立直角坐標(biāo)系，設(shè)出P的坐標(biāo)，求出軌跡方程，然后推出的表達(dá)式，轉(zhuǎn)化求解最小值即可.【詳解】以經(jīng)過(guò)A，B的直線為x軸，線段AB的垂直平分線為y軸建立直角坐標(biāo)系.則設(shè)，由，則，所以兩邊平方并整理得，所以P點(diǎn)的軌跡是以(3，0)為圓心，為半徑的圓，所以，，則有，則的最小值為.故答案為：.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17、（1）證明見(jiàn)解析（2）【解析】(1)連接BD交AC于點(diǎn)E，連接ME，由所給條件推理出CA⊥AD，進(jìn)而得CA⊥平面PAD，證得結(jié)論(2)首先以A為原點(diǎn)，射線AC，AD，AP分別為x，y，z軸非負(fù)半軸建立空間直角坐標(biāo)系，再利用向量法求解二面角即可【小問(wèn)1詳解】(1)連接BD交AC于點(diǎn)E，連接ME，如圖所示：∵平面MAC，PB平面PBD，平面PBD平面MAC=ME，∴，，則BC=1，而AB=2，，，∴AC2+BC2=4=AB2，∠ACB=90o，∠CAD=90o，即CA⊥AD，又PA⊥平面ABCD，CA平面ABCD，∴PA⊥CA，又PAAD=A，∴CA⊥平面PAD，而CA平面MAC，∴平面MAC⊥平面PAD【小問(wèn)2詳解】（2）如圖所示：以A為原點(diǎn)，射線AC，AD，AP分別為x，y，z軸非負(fù)半軸建立空間直角坐標(biāo)系，則，∴，設(shè)平面PAB和平面MAC的一個(gè)法向量分別為，平面PAB和平面MAC所成銳二面角為，∴，，∴.18、（1）（2）【解析】（1）根據(jù)與的關(guān)系，分和兩種情況，求出，再判斷是否合并；（2）利用錯(cuò)位相減法求出數(shù)列的前n項(xiàng)和.【小問(wèn)1詳解】，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，也滿足上式，數(shù)列的通項(xiàng)公式為：.【小問(wèn)2詳解】由（1）可得，①②①②得，19、（1）；中位數(shù)所在區(qū)間（2）選90分以上的人去參賽；答案見(jiàn)解析【解析】（1）根據(jù)頻率分布直方圖中，所有小矩形面積和為1，即可求得a值，根據(jù)各組的頻率，即可分析中位數(shù)所在區(qū)間.（2）計(jì)算可得之間共有6人，滿足題意，分析即可得答案.【小問(wèn)1詳解】，解得成績(jī)?cè)趨^(qū)間上的頻率為，，所以中位數(shù)所在區(qū)間，【小問(wèn)2詳解】選成績(jī)最好的同學(xué)去參賽，分?jǐn)?shù)在之間共有人，所以選90分以上的人去參賽．（其它方案如果合理也可以給分）20、（1）（2）證明見(jiàn)解析【解析】（1）點(diǎn)代入即可得出拋物線方程，根據(jù)拋物線的定義即可求得.（2）由題，設(shè)直線的方程為：，與拋物線方程聯(lián)立，可得，利用韋達(dá)定理證得即可得出結(jié)論.【小問(wèn)1詳解】點(diǎn)在拋物線上.，則，所以.【小問(wèn)2詳解】證明：由題，設(shè)直線的方程為：，點(diǎn)聯(lián)立方程，消得：，由韋達(dá)定理有，由，所以，所以，所以，所以為直角三角形.21、（1）（2）23【解析】（1）根據(jù)雙曲線的定義判斷軌跡，直接寫出軌跡方程即可；（2）設(shè)，利用向量坐標(biāo)運(yùn)算計(jì)算，再由二次函數(shù)求最值即可.【小問(wèn)1詳解】由，則軌跡C是以點(diǎn)、為左、右焦點(diǎn)的雙曲線的右支，設(shè)軌跡C的方程為，則，可得，，所以C的方程為；【小問(wèn)2詳解】設(shè)，則，且，圓心，則因?yàn)?，則當(dāng)時(shí)，取最小值23.22、（1），證明見(jiàn)解析；（2）或.【解析】（1）根據(jù)題意可設(shè)直線的方程為，將點(diǎn)的坐標(biāo)代入直線的方程，可求得的值，再將直線、的方程聯(lián)立，可得出這兩條直線的交點(diǎn)的坐標(biāo)，將圓心的坐