新教材2023-2024學(xué)年高中數(shù)學(xué)第7章隨機(jī)變量及其分布7.2離散型隨機(jī)變量及其分布列課件新人教A版選擇性必修第三冊

第七章7.2離散型隨機(jī)變量及其分布列基礎(chǔ)落實·必備知識全過關(guān)重難探究·能力素養(yǎng)全提升成果驗收·課堂達(dá)標(biāo)檢測目錄索引

課程標(biāo)準(zhǔn)1.借助教材實例,了解離散型隨機(jī)變量及其分布列.2.了解離散型隨機(jī)變量的性質(zhì)、兩點分布的概念.3.會求簡單的離散型隨機(jī)變量的分布列.基礎(chǔ)落實·必備知識全過關(guān)知識點1

離散型隨機(jī)變量1.定義:一般地,對于隨機(jī)試驗樣本空間Ω中的每個樣本點ω,都有唯一的實數(shù)X(ω)與之對應(yīng),我們稱X為

.可能取值為有限個或可以一一列舉的隨機(jī)變量,我們稱之為離散型隨機(jī)變量.

取值個數(shù)可能是無限的,但是能一一列舉2.表示:通常用大寫英文字母表示隨機(jī)變量,例如X,Y,Z;用小寫英文字母表示隨機(jī)變量的取值,例如x,y,z.隨機(jī)變量名師點睛1.所謂隨機(jī)變量,就是隨機(jī)試驗的試驗結(jié)果與實數(shù)之間的一種對應(yīng)關(guān)系,這種對應(yīng)關(guān)系是人為建立起來,但又是客觀存在的.2.隨機(jī)試驗的結(jié)果可用數(shù)量來表示,有些隨機(jī)試驗的結(jié)果雖然不是數(shù)量,但可以將它數(shù)量化,如拋一枚硬幣,所有可能的結(jié)果是“正面向上”“反面向上”,在數(shù)學(xué)中可以用“1”代表正面向上,用“0”代表反面向上.過關(guān)自診1.隨機(jī)變量和函數(shù)有類似的地方嗎?提示

隨機(jī)變量和函數(shù)都是一種對應(yīng)關(guān)系,隨機(jī)變量把樣本點與實數(shù)對應(yīng),函數(shù)把實數(shù)與實數(shù)對應(yīng),由隨機(jī)變量的定義知,樣本點ω相當(dāng)于函數(shù)定義中的自變量,樣本空間Ω相當(dāng)于函數(shù)的定義域.2.[北師大版教材例題]連續(xù)拋擲一枚均勻的硬幣2次,用X表示這2次拋擲中出現(xiàn)正面的次數(shù),則X是一個隨機(jī)變量,分別說明下列集合所代表的隨機(jī)事件:(1){X=0};(2){X=1};(3){X≤1};(4){X>0}.解

(1){X=0}表示使得隨機(jī)變量對應(yīng)于0的那些結(jié)果組成的事件,即2次都是出現(xiàn)反面.所以{X=0}表示“2次都是出現(xiàn)反面”.(2){X=1}表示“恰有1次出現(xiàn)正面”.(3){X≤1}表示“至多1次出現(xiàn)正面”.(4){X>0}表示“至少1次出現(xiàn)正面”.知識點2

概率分布列1.分布列一般地,設(shè)離散型隨機(jī)變量X的可能取值為x1,x2,…,xn,我們稱X取每一個值xi的概率

,i=1,2,…,n為X的概率分布列,簡稱

,分布列的表格表示如下:

Xx1x2…xnPp1p2…pnP(X=xi)=pi分布列

名師點睛對分布列的理解應(yīng)注意的問題(1)離散型隨機(jī)變量的分布列描述了由這個隨機(jī)變量所刻畫的隨機(jī)現(xiàn)象,與函數(shù)的表示法一樣,離散型隨機(jī)變量的分布列也可以用表格、等式P(X=xi)=pi和圖象表示.(2)離散型隨機(jī)變量的分布列不僅能清楚地反映其所取的一切可能的值,而且也能清楚地看到取每一個值的概率的大小,從而反映了隨機(jī)變量在隨機(jī)試驗中取值的分布狀況,是進(jìn)一步研究隨機(jī)變量數(shù)字特征的基礎(chǔ).2.離散型隨機(jī)變量分布列的性質(zhì)(1)pi

0,i=1,2,…,n;

(2)p1+p2+…+pn=1.

可通過此條性質(zhì)檢驗求出的分布列是否正確名師點睛對分布列性質(zhì)的理解(1)離散型隨機(jī)變量的兩條性質(zhì)是檢驗一個分布列是否正確的重要依據(jù),尤其是要看它們的概率之和是否等于1.可利用這兩條性質(zhì)求出分布列中的未知數(shù).(2)離散型隨機(jī)變量各個可能的取值表示的事件是互斥的,故離散型隨機(jī)變量在某一范圍內(nèi)取值的概率等于它取這個范圍內(nèi)各個值的概率之和.≥過關(guān)自診1.[北師大版教材習(xí)題]已知隨機(jī)變量X的分布列如下表:則實數(shù)m的值為(

)C2.已知離散型隨機(jī)變量X的分布列為P(X=k)=,k=1,2,…,則P(2<X≤4)=

.

知識點3

兩點分布X01P1-pp我們稱X服從

或

.

1-p兩點分布

0—1分布

過關(guān)自診若離散型隨機(jī)變量X的分布列如表所示,則a的值為(

)X-11P4a-13a2+aA重難探究·能力素養(yǎng)全提升探究點一離散型隨機(jī)變量的概念【例1】

下列變量是離散型隨機(jī)變量的是

.(填序號)

①下期某闖關(guān)節(jié)目中過關(guān)的人數(shù);②某加工廠加工的一批某種鋼管的外徑與規(guī)定的外徑尺寸之差;③在鄭州至武漢的電氣化鐵道線上,每隔50m有一電線鐵塔,從鄭州至武漢的電氣化鐵道線上將電線鐵塔進(jìn)行編號,其中某一電線鐵塔的編號;④水位監(jiān)測站所測水位在(0,29]這一范圍內(nèi)變化,該水位站所測水位.①③

解析

①是離散型隨機(jī)變量.因為過關(guān)人數(shù)可以一一列出.②不是離散型隨機(jī)變量.因為實際測量值與規(guī)定值之間的差值無法一一列出.③是離散型隨機(jī)變量.因為電線鐵塔為有限個,其編號可以一一列出.④不是離散型隨機(jī)變量.因為水位在(0,29]這一范圍內(nèi)變化,水位值不能按一定次序一一列出.變式探究

將本例的④改為:若用X=0表示監(jiān)測站所測水位沒有超過警戒線,X=1表示監(jiān)測站所測水位超過警戒線,x表示所測水位(警戒水位是29m),X是離散型隨機(jī)變量嗎?解

X是離散型隨機(jī)變量.規(guī)律方法

“三步法”判定離散型隨機(jī)變量(1)依據(jù)具體情境分析變量是不是隨機(jī)變量.(2)由條件求解隨機(jī)變量的值域.(3)判斷變量的取值是不是有限個或能否一一列舉出來.若能,則是離散型隨機(jī)變量;否則,不是離散型隨機(jī)變量.變式訓(xùn)練1寫出下列隨機(jī)變量可能的取值,并說明隨機(jī)變量所取的值表示的隨機(jī)試驗的結(jié)果.(1)某學(xué)生從學(xué)校回家要經(jīng)過3個紅綠燈路口,他可能遇到紅燈的次數(shù)Y;(2)從含有10件次品的100件產(chǎn)品中任取4件,取到次品的件數(shù)X.解

(1)Y可能的取值為0,1,2,3,Y=0表示遇到紅燈的次數(shù)為0;Y=1表示遇到紅燈的次數(shù)為1;Y=2表示遇到紅燈的次數(shù)為2;Y=3表示遇到紅燈的次數(shù)為3.(2)X可能的取值為0,1,2,3,4.X=0表示取出0件次品;X=1表示取出1件次品;X=2表示取出2件次品;X=3表示取出3件次品;X=4表示取出4件次品.探究點二離散型隨機(jī)變量的分布列與性質(zhì)【例2】

[2023四川綿陽質(zhì)檢]某大廈的一部電梯從底層出發(fā)后只能在第18、19、20層可以?？?若該電梯在底層載有5位乘客,且每位乘客在這三層的每一層下電梯的概率為,用X表示這5位乘客在第20層下電梯的人數(shù),求隨機(jī)變量X的分布列.解

由題意知,X表示這5位乘客在第20層下電梯的人數(shù),則X的可能取值為0,1,2,3,4,5.由古典概型的概率公式得∴X的分布列為

規(guī)律方法

求離散型隨機(jī)變量的分布列的步驟(1)找出隨機(jī)變量X的所有可能的取值xi(i=1,2,…,n),并確定X=xi的意義;(2)借助概率知識求出隨機(jī)變量X取每一個值時的概率P(X=xi)=pi(i=1,2,…,n);(3)列成表格的形式.變式訓(xùn)練2袋中有1個白球和4個黑球,每次從中任取一個球,每次取出的黑球不再放回,第一次取出白球后停止,求取球次數(shù)X的分布列.【例3】

設(shè)離散型隨機(jī)變量X的分布列為

X01234P0.20.10.10.3m求2X+1的分布列.解

由分布列的性質(zhì)知,0.2+0.1+0.1+0.3+m=1,解得m=0.3.當(dāng)X=0,1,2,3,4時,2X+1=1,3,5,7,9,故2X+1的分布列為2X+113579P0.20.10.10.30.3變式探究

若例3的條件不變,求隨機(jī)變量Y=|X-1|的分布列.解

由例3,知m=0.3.列表為

X01234|X-1|10123故P(Y=1)=P(X=0)+P(X=2)=0.2+0.1=0.3,P(Y=0)=P(X=1)=0.1,P(Y=2)=P(X=3)=0.3,P(Y=3)=P(X=4)=0.3.故Y=|X-1|的分布列為Y0123P0.10.30.30.3規(guī)律方法

1.利用分布列中各概率之和為1可求參數(shù)的值,此時要注意檢驗,以保證每個概率值均為非負(fù)數(shù).2.求隨機(jī)變量在某個范圍內(nèi)的概率時,根據(jù)分布列,將所求范圍內(nèi)各隨機(jī)變量對應(yīng)的概率相加即可,其依據(jù)是互斥事件的概率加法公式.探究點三兩點分布【例4】

一個袋中裝有除顏色外其他都相同的3個白球和4個紅球.(1)從中任意摸出1個球,用0表示摸出白球,用1表示摸出紅球,即(2)從中任意摸出兩個球,用Y=0表示“兩個球全是白球”,用Y=1表示“兩個球不全是白球”,求Y的分布列.規(guī)律方法

1.兩點分布的特點(1)兩點分布中只有兩個對應(yīng)結(jié)果,且兩個結(jié)果是對立的.(2)由對立事件的概率求法可知P(X=0)+P(X=1)=1.2.解答此類問題時要充分利用兩點分布的特點,并對應(yīng)其性質(zhì)特點對問題的結(jié)果進(jìn)行檢驗.變式訓(xùn)練3已知一批200件的待出廠產(chǎn)品中,有1件不合格品,現(xiàn)從中任意抽取2件進(jìn)行檢查,若用隨機(jī)變量X表示抽取的2件產(chǎn)品中的次品數(shù),求X的分布列.本節(jié)要點歸納1.知識清單:(1)隨機(jī)變量的概念、分類;(2)離散型隨機(jī)變量的概念;(3)離散型隨機(jī)變量的分布列的概念及其性質(zhì);(4)兩點分布.2.方法歸納:轉(zhuǎn)化與化歸.3.常見誤區(qū):(1)隨機(jī)變量的取值不明確導(dǎo)致分布列求解錯誤;(2)易忘記結(jié)合分布列的性質(zhì)進(jìn)行檢驗.成果驗收·課堂達(dá)標(biāo)檢測123451.已知下列隨機(jī)變量:①10件產(chǎn)品中有2件次品,從中任選3件,取到次品的件數(shù)X;②某道路斑馬線一天經(jīng)過的人數(shù)X;③某運動員在一次110米跨欄比賽中的成績X;④在體育彩票的抽獎中,下一次搖號產(chǎn)生的號碼數(shù)X.其中X是離散型隨機(jī)變量的是(

)A.①②③ B.②③④

C.①②④ D.僅③④6C1234562.已知離散型隨機(jī)變量X的分布列如下:則P(X=10)=(

)C1234563.在8件產(chǎn)品中,有3件次品,5件正品,從中任取3件,記次品的件數(shù)為Y,則Y<2表示的試驗結(jié)果是

.

取到1件次品、2件正品或取到3件正品

解析

應(yīng)分Y=0和Y=1兩類.Y=0表示取到3件正品;Y=1表示取到1件次品、2件正品.故Y<2表示的試驗結(jié)果為取到1件次品、2件正品或取到3件正品.1234564.若隨機(jī)變量X服從兩點分布,且P(X=0)=0.8,P(X=1)=0.2.令Y=3X-2,則P(Y=-2)=

.

0.