2024版新教材高中數(shù)學(xué)第三章函數(shù)的概念與性質(zhì)3.2函數(shù)的基本性質(zhì)3.2.2奇偶性習(xí)題課函數(shù)性質(zhì)的綜合問題導(dǎo)學(xué)案新人教A版必修第一冊

習(xí)題課函數(shù)性質(zhì)的綜合問題【學(xué)習(xí)目標(biāo)】(1)理解對稱軸和對稱中心滿足的條件．(2)掌握函數(shù)性質(zhì)的綜合應(yīng)用．(3)理解抽象函數(shù)的單調(diào)性、奇偶性的判斷和應(yīng)用．題型1函數(shù)圖象的對稱性【問題探究】(1)函數(shù)y＝f(x)的圖象關(guān)于直線對稱會(huì)滿足怎樣的條件？(2)函數(shù)y＝f(x)的圖象關(guān)于點(diǎn)對稱會(huì)滿足怎樣的條件？例1(1)奇函數(shù)f(x)的定義域?yàn)镽，若f(x＋2)為偶函數(shù)，且f(1)＝1，則f(4)＋f(5)＝()A．－2B．－1C．0D．1(2)已知f(x)是定義在R上的函數(shù)且f(x)＋1為奇函數(shù)，則下列說法不正確的是()A．函數(shù)f(x)不是奇函數(shù)B．f(x)＋f(－x)＋2＝0C．函數(shù)f(x)的圖象關(guān)于點(diǎn)(0，－1)對稱D．函數(shù)f(x)的圖象關(guān)于點(diǎn)(0，1)對稱學(xué)霸筆記：解決對稱性、單調(diào)性和奇偶性綜合問題的方法(1)圖象法，根據(jù)題意，作出符合要求的草圖，便可得出結(jié)論．(2)性質(zhì)法，根據(jù)對稱性、單調(diào)性和奇偶性的性質(zhì)，逐步推導(dǎo)解決求值和比較大小的問題．跟蹤訓(xùn)練1(1)若函數(shù)y＝f(x)在(0，2)上單調(diào)遞增，函數(shù)y＝f(x＋2)是偶函數(shù)，則下列結(jié)論正確的是()A．f(1)＜f(52)＜f(7B．f(72)＜f(1)＜f(5C．f(72)＜f(52)＜D．f(52)＜f(1)＜f(7(2)定義在R上的偶函數(shù)y＝f(x)，其圖象關(guān)于點(diǎn)(12，0)對稱，且x∈[0，1]時(shí)，f(x)＝－x＋12，則f(32)＝A．－1B．0C．1D．3題型2函數(shù)性質(zhì)的綜合應(yīng)用例2我們知道，函數(shù)y＝f(x)的圖象關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)成中心對稱圖形的充要條件是函數(shù)y＝f(x)為奇函數(shù)，有同學(xué)發(fā)現(xiàn)可以將其推廣為：函數(shù)y＝f(x)的圖象關(guān)于點(diǎn)P(a，b)成中心對稱圖形的充要條件是函數(shù)y＝f(x＋a)－b為奇函數(shù)．(1)求函數(shù)f(x)＝xx(2)已知f(x)＝xx-1，g(x)＝mx＋1－2m，若對任意的x1∈[2，3]，總存在x2∈[2，3]，使f(x1)＝g(x2)學(xué)霸筆記：奇偶性、單調(diào)性和對稱性的綜合應(yīng)用熟練掌握奇偶性、單調(diào)性和對稱性的性質(zhì)及其變形，適當(dāng)應(yīng)用解題技巧，化簡求值，一定要特別注意函數(shù)的定義域．跟蹤訓(xùn)練2已知函數(shù)f(x＋1)是定義在R上的偶函數(shù)，并且對任意x1，x2∈(－∞，1)，都有fx1-fx2x1-題型3抽象函數(shù)的奇偶性、單調(diào)性例3函數(shù)f(x)對任意x，y∈R，總有f(x＋y)＝f(x)＋f(y)，當(dāng)x<0時(shí)，f(x)<0，且f(1)＝13(1)證明f(x)是奇函數(shù)；(2)證明f(x)在R上是增函數(shù)；(3)若f(x)＋f(x－3)≥－1，求實(shí)數(shù)x的取值范圍．學(xué)霸筆記：判斷抽象函數(shù)的奇偶性、單調(diào)性，主要是利用定義判定：(1)找準(zhǔn)方向，巧妙賦值，合理、靈活地變形配湊，找出f(－x)與f(x)的關(guān)系．(2)賦值代換，至于如何賦值，要根據(jù)解題目標(biāo)來確定，一般可通過賦值－1或0或1來達(dá)到解題目的．跟蹤訓(xùn)練3若函數(shù)f(x)滿足f(ab)＝－f(a)f(b)，且f(x)的定義域?yàn)?－∞，0)∪0，+∞，已知f(－1)＝1，當(dāng)x>1時(shí)，f((1)f(x)的奇偶性；(2)f(x)的單調(diào)性．隨堂練習(xí)1.二次函數(shù)f(x)＝4x2－mx＋5，對稱軸x＝－2，則f(1)值為()A．－7B．17C．1D．252．已知定義域?yàn)镽的函數(shù)f(x)在(4，＋∞)上單調(diào)遞減，且對稱軸為x＝4，則()A．f(2)>f(3)B．f(2)>f(5)C．f(3)>f(5)D．f(3)>f(6)3．奇函數(shù)f(x)是定義域?yàn)?－2，2)上的增函數(shù)，且f(3a－1)＋f(a－1)>0，則a的取值范圍是()A．(－1，32)B．(－2C．(12，1)D．(24．偶函數(shù)f(x)的圖象關(guān)于點(diǎn)(1，0)對稱，f(4)＝2，則f(2)＝________．課堂小結(jié)1.函數(shù)對稱軸和對稱中心的判斷及應(yīng)用．2．函數(shù)奇偶性、單調(diào)性和對稱性的綜合應(yīng)用．3．抽象函數(shù)的奇偶性和單調(diào)性的判斷方法．習(xí)題課函數(shù)性質(zhì)的綜合問題問題探究提示：(1)函數(shù)y＝f(x)的圖象關(guān)于直線x＝a對稱?f(x)＝f(2a－x)?f(a－x)＝f(a＋x)；一般的結(jié)論：若函數(shù)y＝f(x)滿足f(a＋x)＝f(b－x)，則y＝f(x)的圖象關(guān)于直線x＝a+b2(2)一般的中心對稱：①函數(shù)y＝f(x)的圖象關(guān)于點(diǎn)(a，b)對稱?f(a＋x)＋f(a－x)＝2b?2b－f(x)＝f(2a－x)．②若函數(shù)y＝f(x)滿足f(a＋x)＋f(b－x)＝c，則y＝f(x)的圖象關(guān)于點(diǎn)(a+b2，例1解析：(1)依題意，f(x)是定義在R上的奇函數(shù)，所以f(0)＝0，由于f(x＋2)是偶函數(shù)，圖象關(guān)于y軸對稱，所以f(x)的圖象關(guān)于直線x＝2對稱，所以f(4)＝f(2＋2)＝f(2－2)＝f(0)＝0，f(5)＝f(2＋3)＝f(2－3)＝f(－1)＝－f(1)＝－1，所以f(4)＋f(5)＝－1.故選B.(2)對A、B：∵f(x)＋1是奇函數(shù)，x∈R，∴f(－x)＋1＝－f(x)－1，∴f(x)＋f(－x)＋2＝0，∴f(x)不是奇函數(shù)，A正確、B正確；對C、D：∵f(x)＋1是奇函數(shù)，x∈R，∴f(x)＋f(－x)＝－2，∴y＝f(x)關(guān)于(0，－1)對稱，C正確，D不正確．故選D.答案：(1)B(2)D跟蹤訓(xùn)練1解析：(1)函數(shù)y＝f(x)在(0，2)上單調(diào)遞增，又函數(shù)y＝f(x＋2)為偶函數(shù)，可得f(x)的圖象關(guān)于直線x＝2對稱，可得函數(shù)y＝f(x)在(2，4)上單調(diào)遞減，所以f(52)＞f(1)＝f(3)＞f(72)(2)∵f(x)關(guān)于(12，0)對稱，∴f(x)＋f(1－x)＝0，∴f32＝－f-12＝－f12＝－(－1答案：(1)B(2)B例2解析：(1)因?yàn)閥＝f(x＋1)－1＝x+1x－1＝1x，而y＝所以y＝f(x)的圖象是關(guān)于點(diǎn)(1，1)成中心對稱．(2)若對任意的x1∈[2，3]，總存在x2∈[2，3]，使f(x1)＝g(x2)成立，只需函數(shù)y＝f(x)的值域?yàn)楹瘮?shù)y＝g(x)的值域的子集．∵函數(shù)f(x)＝1＋1x-1，易得函數(shù)f(x)在[2，3]上單調(diào)遞減，求出函數(shù)f(x)的值域?yàn)閇32，2]，討論g(x)＝mx＋1①當(dāng)m＝0時(shí)，g(x)為常數(shù)，不符合題意舍去；②當(dāng)m>0時(shí)，g(x)的值域?yàn)閇1，m＋1]，只需m＋1≥2，解得m≥1；③當(dāng)m<0時(shí)，g(x)的值域?yàn)閇m＋1，1]，不符合題意舍去，綜上，m的取值范圍為m≥1.跟蹤訓(xùn)練2解析：函數(shù)f(x＋1)是定義在R上的偶函數(shù)，則f(x＋1)＝f(－x＋1)，所以f(x)關(guān)于直線x＝1對稱，f(0)＝f(2)，對任意x1，x2∈(－∞，1)，都有fx1-fx2x1-x2<0，可得f(x)在(－∞，1)所以，由不等式f(x)>f(2)得x<0或x>2，即不等式f(x)>f(2)的解集為(－∞，0)∪例3解析：(1)令x＝y(tǒng)＝0，則f(0)＝f(0)＋f(0)，解得f(0)＝0，令y＝－x，則f(0)＝f(x)＋f(－x)，即f(x)＋f(－x)＝0，即f(－x)＝－f(x)，易知f(x)的定義域?yàn)镽，關(guān)于原點(diǎn)對稱，所以函數(shù)f(x)是奇函數(shù)．(2)任取x1，x2∈R，且x1<x2，則x1－x2<0，因?yàn)楫?dāng)x<0時(shí)，f(x)<0，所以f(x1－x2)<0，則f(x1)－f(x2)＝f(x1)＋f(－x2)＝f(x1－x2)<0，即f(x1)<f(x2)，所以函數(shù)f(x)是R上的增函數(shù)．(3)由f(1)＝13，得f(2)＝23，f(3)＝1，又由f(x)是奇函數(shù)得f(－3)由f(x)＋f(x－3)≥－1，得f(2x－3)≥f(－3)，因?yàn)楹瘮?shù)f(x)是R上的增函數(shù)，所以2x－3≥－3，解得x≥0，故實(shí)數(shù)x的取值范圍為[0，＋∞)．跟蹤訓(xùn)練3解析：(1)令a＝x，b＝－1，則有f(－x)＝－f(x)f(－1)，因?yàn)閒(－1)＝1，所以f(－x)＝－f(x)，且函數(shù)的定義域?yàn)?－∞，0)∪0，+∞，所以(2)因?yàn)閒(－1)＝1且由(1)知f(x)為奇函數(shù)，所以f(1)＝－1，當(dāng)x>1時(shí)，f(x)>－1，即f(x)>f(1)，先證明f(x)在(0，＋∞)的單調(diào)性，由題可知f(x2)＝－f(x)f(x)＝－f2(x)≤0，即當(dāng)0<x<1時(shí)，1x>1根據(jù)題意有f(x·1x)＝－f(x)f(1x)，即f(x)f(1x)＝－f(1)所以當(dāng)0<x<1或x>1時(shí)f(x)≠0恒成立，且f(1)＝－1≠0，所以當(dāng)x>0時(shí)，f(x)<0，?x1，x2∈(0，＋∞)，x1>x2，則x1x2>1，所以f(x1f(x1)－f(x2)＝f(x2·x1x2)－f(x2)＝－f(x2)f(x1x2)－f(x2)＝－f(x2)[f因?yàn)閤2>0，所以f(x2)<0，且f(x1x2)>－1，則f(x1所以－f(x2)[f(x1x2)＋1]>0，即f(x1)>f(x所以f(x)在(0，＋∞)單調(diào)遞增，又因?yàn)楹瘮?shù)為奇函數(shù)，所以f(x)在(－∞，0)單調(diào)遞增．所以f(x)在(－∞，0)，(0，＋∞)單調(diào)遞增．[隨堂練習(xí)]1．解析：函數(shù)f(x)＝4x2－mx＋5的圖象的對稱軸為x＝－2，可得m8＝－2，解得m＝－16則f(1)＝4＋16＋5＝25.故選D.答案：D2．解析：因?yàn)閒(x)對稱軸為x＝4，則f(2)＝f(6)，f(3)＝f(5)，C錯(cuò)誤．又因?yàn)槎x域?yàn)镽的函數(shù)f(x)在(4，＋∞)上單調(diào)遞減，所以f(2)＝f(6)<f(3)＝f(5)，A、B錯(cuò)誤，D正確．故選D.答案：D3．解析：因?yàn)閒(x)是定義域?yàn)?－