2024屆吉林省延邊市長(zhǎng)白山第一高級(jí)中學(xué)數(shù)學(xué)高二上期末教學(xué)質(zhì)量檢測(cè)試題含解析

2024屆吉林省延邊市長(zhǎng)白山第一高級(jí)中學(xué)數(shù)學(xué)高二上期末教學(xué)質(zhì)量檢測(cè)試題請(qǐng)考生注意：1．請(qǐng)用2B鉛筆將選擇題答案涂填在答題紙相應(yīng)位置上，請(qǐng)用0．5毫米及以上黑色字跡的鋼筆或簽字筆將主觀題的答案寫在答題紙相應(yīng)的答題區(qū)內(nèi)。寫在試題卷、草稿紙上均無(wú)效。2．答題前，認(rèn)真閱讀答題紙上的《注意事項(xiàng)》，按規(guī)定答題。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．《萊茵德紙草書》（RhindPapyrus）是世界上最古老的數(shù)學(xué)著作之一．書中有這樣一道題目：把93個(gè)面包分給5個(gè)人，使每個(gè)人所得面包個(gè)數(shù)成等比數(shù)列，且使較小的兩份之和等于中間一份的四分之三，則最大的一份是（）個(gè)A.12 B.24C.36 D.482．?dāng)?shù)列1，6，15，28，45，…中的每一項(xiàng)都可用如圖所示的六邊形表示出米，故稱它們?yōu)榱呅螖?shù)，那么第11個(gè)六邊形數(shù)為（）A.153 B.190C.231 D.2763．等比數(shù)列的各項(xiàng)均為正數(shù)，且，則A. B.C. D.4．如圖，在正方體中，點(diǎn)E是上底面的中心，則異面直線與所成角的余弦值為（）A. B.C. D.5．已知雙曲線的方程為，則下列關(guān)于雙曲線說(shuō)法正確的是（）A.虛軸長(zhǎng)為4 B.焦距為C.焦點(diǎn)到漸近線的距離為4 D.漸近線方程為6．已知，是雙曲線的左、右焦點(diǎn)，點(diǎn)A是的左頂點(diǎn)，為坐標(biāo)原點(diǎn)，以為直徑的圓交的一條漸近線于、兩點(diǎn)，以為直徑的圓與軸交于兩點(diǎn)，且平分，則雙曲線的離心率為（）A. B.2C. D.37．一盒子里有黑色、紅色、綠色的球各一個(gè)，現(xiàn)從中選出一個(gè)球.事件選出的球是紅色，事件選出的球是綠色.則事件與事件（）A.是互斥事件，不是對(duì)立事件 B.是對(duì)立事件，不是互斥事件C.既是互斥事件，也是對(duì)立事件 D.既不是互斥事件也不是對(duì)立事件8．若橢圓對(duì)稱軸是坐標(biāo)軸，長(zhǎng)軸長(zhǎng)為，焦距為，則橢圓的方程（）A. B.C.或 D.以上都不對(duì)9．南宋數(shù)學(xué)家楊輝在《詳解九章算法》和《算法通變本末》中，提出了一些新的垛積公式，他所討論的高階等差數(shù)列與一般等差數(shù)列不同，前后兩項(xiàng)之差并不相等，而是逐項(xiàng)差數(shù)之差或者高次差相等.對(duì)這類高階等差數(shù)列的研究，在楊輝之后一般稱為“垛積術(shù)”.現(xiàn)有一個(gè)高階等差數(shù)列，其前6項(xiàng)分別為1，5，11，21，37，61，則該數(shù)列的第7項(xiàng)為（）A.95 B.131C.139 D.14110．曲線與曲線的A.長(zhǎng)軸長(zhǎng)相等 B.短軸長(zhǎng)相等C.離心率相等 D.焦距相等11．已知雙曲線的右焦點(diǎn)為F,雙曲線C的右支上有一點(diǎn)P滿是(點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn)),那么雙曲線C的離心率為()A. B.C. D.12．在數(shù)列中，，，則（）A.985 B.1035C.2020 D.2070二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．設(shè)命題：，，則為______.14．已知拋物線C：y2＝2px（p＞0）上的點(diǎn)P（1，y0）（y0＞0）到焦點(diǎn)的距離為2，則p＝__15．已知p：x＞a是q：2＜x＜3的必要不充分條件，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是______.16．在空間直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)為點(diǎn)，則___________.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17．（12分）已知圓，點(diǎn)，點(diǎn)是圓上任意一點(diǎn)，線段的垂直平分線交直線于點(diǎn)，點(diǎn)的軌跡記為曲線.（1）求曲線的方程；（2）已知曲線上一點(diǎn)，動(dòng)圓，且點(diǎn)在圓外，過(guò)點(diǎn)作圓的兩條切線分別交曲線于點(diǎn)，.（i）求證：直線的斜率為定值；（ii）若直線與交于點(diǎn)，且時(shí)，求直線的方程.18．（12分）已知等比數(shù)列滿足，（1）求數(shù)列通項(xiàng)公式；（2）記，求數(shù)列的前n項(xiàng)和19．（12分）已知橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為：，若右焦點(diǎn)為且離心率為（1）求橢圓的方程；（2）設(shè)，是上的兩點(diǎn)，直線與曲線相切且，，三點(diǎn)共線，求線段的長(zhǎng)20．（12分）設(shè)命題p：實(shí)數(shù)x滿足x≤2，或x＞6，命題q：實(shí)數(shù)x滿足x2﹣3ax+2a2＜0（其中a＞0）（1）若a＝2，且為真命題，求實(shí)數(shù)x的取值范圍；（2）若q是的充分不必要條件，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.21．（12分）如圖，在三棱柱中，＝2，且，⊥底面ABC．E為AB中點(diǎn)（1）求證：平面；（2）求平面與平面CEB夾角的余弦值22．（10分）已知命題：，在下面①②中任選一個(gè)作為：，使為真命題，求出實(shí)數(shù)a的取值范圍.①關(guān)于x的方程有兩個(gè)不等正根；②.（若選①、選②都給出解答，只按第一個(gè)解答計(jì)分.）

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、D【解析】設(shè)等比數(shù)列的首項(xiàng)為，公比，根據(jù)題意，由求解.【詳解】設(shè)等比數(shù)列的首項(xiàng)為，公比，由題意得：，即，解得，所以，故選：D2、C【解析】細(xì)心觀察，尋求相鄰項(xiàng)及項(xiàng)與序號(hào)之間的關(guān)系，同時(shí)聯(lián)系相關(guān)知識(shí),如等差數(shù)列、等比數(shù)列等，結(jié)合圖形即可求解.【詳解】由題意知，數(shù)列的各項(xiàng)為1，6，15，28，45，...所以，，，，，，所以.故選：C3、B【解析】根據(jù)等比數(shù)列的性質(zhì)，結(jié)合已知條件，求得，進(jìn)而求得的值.【詳解】由于數(shù)列是等比數(shù)列，故，所以，故.故選B.【點(diǎn)睛】本小題主要考查等比數(shù)列的性質(zhì)，考查對(duì)數(shù)運(yùn)算，屬于基礎(chǔ)題.4、B【解析】建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量夾角求解.【詳解】以為原點(diǎn)，為軸正方向建立空間直角坐標(biāo)系如圖所示，設(shè)正方體棱長(zhǎng)為2，所以，所以異面直線與所成角的余弦值為.故選：B5、D【解析】根據(jù)雙曲線的性質(zhì)逐一判斷即可.【詳解】在雙曲線中，焦點(diǎn)在軸上，，，，所以虛軸長(zhǎng)為6，故A錯(cuò)誤；焦距為，故B錯(cuò)誤；漸近線方程為，故D正確；焦點(diǎn)到漸近線的距離為，故C錯(cuò)誤；故選：D.6、B【解析】由直徑所對(duì)圓周角是直角，結(jié)合雙曲線的幾何性質(zhì)和角平分線定義可解.【詳解】由圓的性質(zhì)可知，，，所以，因?yàn)?，所以又因?yàn)槠椒?，所以，由，得，所以，即所以故選：B7、A【解析】根據(jù)事件的關(guān)系進(jìn)行判斷即可.【詳解】由題意可知，事件與為互斥事件，但事件不是必然事件，所以，事件與事件是互斥事件，不是對(duì)立事件.故選：A.【點(diǎn)睛】本題考查事件關(guān)系的判斷，考查互斥事件和對(duì)立事件概率的理解，屬于基礎(chǔ)題.8、C【解析】求得、、的值，由此可得出所求橢圓的方程.【詳解】由題意可得，解得，，由于橢圓的對(duì)稱軸是坐標(biāo)軸，則該橢圓的方程為或.故選：C.9、A【解析】利用已知條件，推出數(shù)列的差數(shù)的差組成的數(shù)列是等差數(shù)列，轉(zhuǎn)化求解即可【詳解】由題意可知，1，5，11，21，37，61，……，的差的數(shù)列為4，6，10，16，24，……，則這個(gè)數(shù)列的差組成的數(shù)列為：2，4，6，8，……，是一個(gè)等差數(shù)列，設(shè)原數(shù)列的第7項(xiàng)為，則，解得，所以原數(shù)列的第7項(xiàng)為95，故選：A10、D【解析】分別求出兩橢圓的長(zhǎng)軸長(zhǎng)、短軸長(zhǎng)、離心率、焦距，即可判斷【詳解】解：曲線表示焦點(diǎn)在軸上，長(zhǎng)軸長(zhǎng)10，短軸長(zhǎng)為6，離心率為，焦距為8曲線表示焦點(diǎn)在軸上，長(zhǎng)軸長(zhǎng)為，短軸長(zhǎng)為，離心率為，焦距為8對(duì)照選項(xiàng)，則正確故選：【點(diǎn)睛】本題考查橢圓的方程和性質(zhì)，考查運(yùn)算能力，屬于基礎(chǔ)題11、D【解析】分析焦點(diǎn)三角形即可【詳解】如圖,設(shè)左焦點(diǎn)為,因?yàn)?所以不妨設(shè),則離心率故選:D12、A【解析】根據(jù)累加法得，，進(jìn)而得.【詳解】解：因?yàn)樗?，?dāng)時(shí)，，，……，，所以，將以上式子相加得，所以，，.當(dāng)時(shí)，，滿足；所以，.所以.故選：A二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、，【解析】由全稱命題的否定即可得到答案【詳解】根據(jù)全稱命題的否定，可得為，【點(diǎn)睛】本題考查了含有量詞的命題否定，屬于基礎(chǔ)題14、2【解析】根據(jù)已知條件，結(jié)合拋物線的定義，即可求解【詳解】解：∵拋物線C：y2＝2px（p＞0）上的點(diǎn)P（1，y0）（y0＞0）到焦點(diǎn)的距離為2，∴由拋物線的定義可得，，解得p＝2故答案為：215、【解析】根據(jù)充分性和必要性，求得參數(shù)取值范圍，即可求得結(jié)果.【詳解】因?yàn)閜：x＞a是q：2＜x＜3的必要不充分條件，故集合為集合的真子集，故只需.故答案為：.16、【解析】先利用關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)特征求出點(diǎn)，再利用空間兩點(diǎn)間的距離公式即可求.【詳解】因?yàn)锽與關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，故，所以.故答案為：.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17、（1）（2）（i）答案見解析（ii）或【解析】（1）通過(guò)幾何關(guān)系可知，且,由此可知點(diǎn)的軌跡是以點(diǎn)、為焦點(diǎn)，且實(shí)軸長(zhǎng)為的雙曲線，通過(guò)雙曲線的定義即可求解；（2）（i）設(shè)點(diǎn)，，直線的方程為，將直線方程與雙曲線方程聯(lián)立利用韋達(dá)定理及求出，即得到直線的斜率為定值；（ii）由（i）可知，由已知可得，聯(lián)立方程即可求出，的值，代入即可求出的值，即可得到直線方程.【小問(wèn)1詳解】由題意可知,∵,且,∴根據(jù)雙曲線的定義可知，點(diǎn)的軌跡是以點(diǎn)、為焦點(diǎn)，且實(shí)軸長(zhǎng)為的雙曲線，即，，，則點(diǎn)的軌跡方程為；【小問(wèn)2詳解】（i）設(shè)點(diǎn)，，直線的方程為，聯(lián)立得，其中，且，，，∵曲線上一點(diǎn)，∴，由已知條件得直線和直線關(guān)于對(duì)稱，則，即，整理得，，，，即，則或，當(dāng)，直線方程為，此直線過(guò)定點(diǎn)，應(yīng)舍去，故直線的斜率為定值.（ii）由（i）可知，由已知得，即，當(dāng)時(shí)，，，即，，，解得或，但是當(dāng)時(shí)，，故應(yīng)舍去，當(dāng)時(shí)，直線方程為，當(dāng)時(shí)，，即，，，解得（舍去）或，當(dāng)時(shí)，直線方程為,故直線的方程為或.18、（1）（2）【解析】（1）通過(guò)基本量列方程組可得；（2）由裂項(xiàng)相消法可解【小問(wèn)1詳解】由題意得解得，所以數(shù)列的通項(xiàng)公式為【小問(wèn)2詳解】由（1）知，則所以19、（1）；（2）.【解析】（1）根據(jù)橢圓的焦點(diǎn)、離心率求橢圓參數(shù)，寫出橢圓方程即可.（2）由（1）知曲線為，討論直線的存在性，設(shè)直線方程聯(lián)立橢圓方程并應(yīng)用韋達(dá)定理求弦長(zhǎng)即可.【詳解】（1）由題意，橢圓半焦距且，則，又，∴橢圓方程為；（2）由（1）得，曲線為當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)，直線，不合題意：當(dāng)直線的斜率存在時(shí)，設(shè)，又，，三點(diǎn)共線，可設(shè)直線，即，由直線與曲線相切可得，解得，聯(lián)立，得，則，，∴.20、（1）{x|2＜x＜4}；（2）.【解析】（1）分別求出命題和為真時(shí)對(duì)應(yīng)的取值范圍，即可求出；（2）由題可知，列出不等式組即可求解.【詳解】解：（1）當(dāng)a＝2時(shí)，命題q：2＜x＜4，∵命題p：x≤2或x＞6，，又為真命題，∴x滿足，∴2＜x＜4，∴實(shí)數(shù)x的取值范圍{x|2＜x＜4}；（2）由題意得：命題q：a＜x＜2a；∵q是的充分不必要條件，，，解得，∴實(shí)數(shù)a的取值范圍.【點(diǎn)睛】結(jié)論點(diǎn)睛：本題考查根據(jù)充分不必要條件求參數(shù)，一般可根據(jù)如下規(guī)則判斷：（1）若是的必要不充分條件，則對(duì)應(yīng)集合是對(duì)應(yīng)集合的真子集；（2）若是的充分不必要條件，則對(duì)應(yīng)集合是對(duì)應(yīng)集合的真子集；（3）若是的充分必要條件，則對(duì)應(yīng)集合與對(duì)應(yīng)集合相等；（4）若是的既不充分又不必要條件，則對(duì)應(yīng)的集合與對(duì)應(yīng)集合互不包含21、（1）證明見解析；（2）.【解析】（1）連接與交于點(diǎn)O，連接OE，得到，再利用線面平行的判定定理證明即可；（2）根據(jù)，底面，建立空間直角坐標(biāo)系，求得平面的一個(gè)法向量，再根據(jù)底面，得到平面一個(gè)法向量，然后由夾角公式求解.【小問(wèn)1詳解】如圖所示：連接與交于點(diǎn)O，連接OE，如圖，由分別為的中點(diǎn)所以，又平面，平面，所以平面；【小問(wèn)2詳解】由，底面，故底面建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系：