安康市重點(diǎn)中學(xué)2023年高二數(shù)學(xué)第一學(xué)期期末監(jiān)測模擬試題含解析

安康市重點(diǎn)中學(xué)2023年高二數(shù)學(xué)第一學(xué)期期末監(jiān)測模擬試題注意事項(xiàng)1．考試結(jié)束后，請將本試卷和答題卡一并交回．2．答題前，請務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號用0．5毫米黑色墨水的簽字筆填寫在試卷及答題卡的規(guī)定位置．3．請認(rèn)真核對監(jiān)考員在答題卡上所粘貼的條形碼上的姓名、準(zhǔn)考證號與本人是否相符．4．作答選擇題，必須用2B鉛筆將答題卡上對應(yīng)選項(xiàng)的方框涂滿、涂黑；如需改動(dòng)，請用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案．作答非選擇題，必須用05毫米黑色墨水的簽字筆在答題卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律無效．5．如需作圖，須用2B鉛筆繪、寫清楚，線條、符號等須加黑、加粗．一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．拋物線的焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離（）A.4 B.C.2 D.2．均勻壓縮是物理學(xué)一種常見現(xiàn)象.在平面直角坐標(biāo)系中曲線均勻壓縮，可用曲線上點(diǎn)的坐標(biāo)來描述.設(shè)曲線上任意一點(diǎn)，若將曲線縱向均勻壓縮至原來的一半，則點(diǎn)的對應(yīng)點(diǎn)為.同理，若將曲線橫向均勻壓縮至原來的一半，則曲線上點(diǎn)的對應(yīng)點(diǎn)為.若將單位圓先橫向均勻壓縮至原來的一半，再縱向均勻壓縮至原來的，得到的曲線方程為（）A. B.C. D.3．函數(shù)的圖像在點(diǎn)處的切線方程為（）A. B.C. D.4．如果，那么下列不等式成立的是（）A. B.C. D.5．已知橢圓的長軸長為10，焦距為8，則該橢圓的短軸長等于（）A.3 B.6C.8 D.126．在數(shù)列中，，則的值為（）A. B.C. D.以上都不對7．已知為等差數(shù)列，且，，則（）A. B.C. D.8．已知向量，且，則的值為（）A.4 B.2C.3 D.19．《萊茵德紙草書》是世界上最古老的數(shù)學(xué)著作之一．書中有這樣一道題目：把個(gè)面包分給個(gè)人，使每個(gè)人所得成等差數(shù)列，且使較大的三份之和的是較小的兩份之和，則最小的一份為（）A. B.C. D.10．拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)A. B.C. D.11．已知向量與向量垂直，則實(shí)數(shù)x的值為（）A.﹣1 B.1C.﹣6 D.612．已知，，若，則實(shí)數(shù)的值為（）A. B.C. D.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．若方程表示焦點(diǎn)在y軸上的雙曲線，則實(shí)數(shù)k的取值范圍是______14．記為等比數(shù)列的前n項(xiàng)和，若，公比，則______15．已知函數(shù)在處有極值．則=________16．若，且，則_____________三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）如圖，四棱錐的底面是正方形，平面平面，E為的中點(diǎn)（1）若，證明：；（2）求直線與平面所成角的余弦值的取值范圍18．（12分）已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為，，離心率為，過左焦點(diǎn)的直線l與橢圓C交于A，B兩點(diǎn)，的周長為8（1）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）如圖，，是橢圓C的短軸端點(diǎn)，P是橢圓C上異于點(diǎn)，的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)Q滿足，，求證與的面積之比為定值19．（12分）已知函數(shù).（1）若，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（2）設(shè)存在兩個(gè)極值點(diǎn)，且，若，求證：.20．（12分）已知等比數(shù)列的公比，且，是的等差中項(xiàng).數(shù)列的前n項(xiàng)和為，滿足，.（1）求和的通項(xiàng)公式；（2）設(shè)，求的前2n項(xiàng)和.21．（12分）在四棱錐P﹣ABCD中，∠ABC=∠ACD=90°，∠BAC=∠CAD=60°，PA⊥平面ABCD，E為PD的中點(diǎn)，PA=2AB=2（1）求四棱錐P﹣ABCD的體積V；（2）若F為PC的中點(diǎn)，求證PC⊥平面AEF22．（10分）已知拋物線的焦點(diǎn)也是橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)，如圖，過點(diǎn)任作兩條互相垂直的直線，，分別交拋物線于，，，四點(diǎn)，，分別為，的中點(diǎn).（1）求的值；（2）求證：直線過定點(diǎn)，并求出該定點(diǎn)的坐標(biāo)；（3）設(shè)直線交拋物線于，兩點(diǎn)，試求的最小值.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、A【解析】寫出拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程，即可確定焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離.【詳解】由題設(shè)，拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為，則，∴焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為4.故選：A.2、C【解析】設(shè)單位圓上一點(diǎn)為，經(jīng)過題設(shè)變換后坐標(biāo)為，則，代入圓的方程即可得曲線方程.【詳解】由題設(shè)，單位圓上一點(diǎn)坐標(biāo)為，經(jīng)過橫向均勻壓縮至原來的一半，縱向均勻壓縮至原來的，得到對應(yīng)坐標(biāo)為，∴，則，故中，可得：.故選：C.3、B【解析】求得函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，計(jì)算出和的值，可得出所求切線的點(diǎn)斜式方程，化簡即可.詳解】，，，，因此，所求切線的方程為，即.故選：B.【點(diǎn)睛】本題考查利用導(dǎo)數(shù)求解函圖象的切線方程，考查計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題4、D【解析】利用不等式的性質(zhì)分析判斷每個(gè)選項(xiàng).【詳解】由不等式的性質(zhì)可知，因?yàn)?，所以，，故A錯(cuò)誤，D正確；由，可得，，故B，C錯(cuò)誤.故選：D5、B【解析】根據(jù)橢圓中的關(guān)系即可求解.【詳解】橢圓的長軸長為10，焦距為8，所以，，可得，，所以，可得，所以該橢圓的短軸長，故選：B.6、C【解析】由數(shù)列的遞推公式可先求數(shù)列的前幾項(xiàng)，從而發(fā)現(xiàn)數(shù)列的周期性的特點(diǎn)，進(jìn)而可求.【詳解】解：，數(shù)列是以3為周期的數(shù)列故選：【點(diǎn)睛】本題主要考查了利用數(shù)列的遞推公式求解數(shù)列的項(xiàng)，解題的關(guān)鍵是由遞推關(guān)系發(fā)現(xiàn)數(shù)列的周期性的特點(diǎn)，屬于基礎(chǔ)題.7、B【解析】由已知條件求出等差數(shù)列的公差，從而可求出【詳解】設(shè)等差數(shù)列的公差為，由，，得，解得，所以，故選：B8、A【解析】由題意可得，利用空間向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示列方程，解方程即可求解.【詳解】因?yàn)?，所以，因?yàn)橄蛄浚?，所以，解得，所以的值為，故選：A.9、A【解析】設(shè)5人分到的面包數(shù)量從小到大記為，設(shè)公差為，可得，，求出，根據(jù)等差數(shù)列的通項(xiàng)公式，得到關(guān)于關(guān)系式，即可求出結(jié)論.【詳解】設(shè)5人分到的面包數(shù)量從小到大記為，設(shè)公差為，依題意可得，，，，解得，.故選:A.【點(diǎn)睛】本題以數(shù)學(xué)文化為背景，考查等差數(shù)列的前項(xiàng)和、通項(xiàng)公式基本量的計(jì)算，等差數(shù)列的性質(zhì)應(yīng)用是解題的關(guān)鍵，屬于中檔題.10、B【解析】由拋物線方程知焦點(diǎn)在x軸正半軸，且p=4，所以焦點(diǎn)坐標(biāo)為，所以選B11、B【解析】根據(jù)數(shù)量積的坐標(biāo)計(jì)算公式代入可得的值【詳解】解：向量，與向量垂直，則，由數(shù)量積的坐標(biāo)公式可得：，解得，故選：【點(diǎn)睛】本題考查空間向量的坐標(biāo)運(yùn)算，以及數(shù)量積的坐標(biāo)公式，屬于基礎(chǔ)題12、A【解析】由，得，從而可得答案.【詳解】解：因?yàn)?，所以，即，解?故選：A.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】由題可得，即求.【詳解】因?yàn)榉匠瘫硎窘裹c(diǎn)在軸上的雙曲線，則，解得.故答案為：.14、4【解析】根據(jù)給定條件列式求出數(shù)列的首項(xiàng)即可計(jì)算作答.【詳解】依題意，，解得，所以.故答案為：415、4【解析】根據(jù)極值點(diǎn)概念求解【詳解】，由題意得，，經(jīng)檢驗(yàn)滿足題意故答案為：416、【解析】由，可得，，，從而利用換底公式及對數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)即可求解.【詳解】解：因?yàn)?，所以，，，又，所以，所以，所以，故答案為?三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）證明見解析；（2）.【解析】（1）取的中點(diǎn)F，連接．先證明，，即證平面，原題即得證；（2）分別取的中點(diǎn)G，H，連接，證明為直線與平面所成的角，設(shè)正方形的邊長為1，，在中，，即得解.【小問1詳解】解：取的中點(diǎn)F，連接因?yàn)?，則為正三角形，所以因?yàn)槠矫嫫矫?，則平面因?yàn)槠矫?，則．①因?yàn)樗倪呅螢檎叫?，E為的中點(diǎn)，則，所以，從而，所以．②又平面,結(jié)合①②知，平面，所以【小問2詳解】解：分別取的中點(diǎn)G，H，則，又,，則，所以四邊形為平行四邊形，從而.因?yàn)?，則因?yàn)槠矫嫫矫?，，則平面，從而，因?yàn)槠矫?，所以平面，從而平面連接，則為直線與平面所成的角.設(shè)正方形的邊長為1，，則從而，.在中，因?yàn)楫?dāng)時(shí)，單調(diào)遞增，則，所以直線與平面所成角的余弦值的取值范圍是.18、（1）（2）證明見解析【解析】（1）根據(jù)周長為8，求得a，再根據(jù)離心率求解；（2）方法一：設(shè)，，得到直線和直線的方程，聯(lián)立求得Q的橫坐標(biāo)，根據(jù)在橢圓上，得到，然后代入Q的橫坐標(biāo)求解；方法二：設(shè)直線，的斜率分別為k，，點(diǎn)，，直線的方程為，與橢圓方程聯(lián)立，求得點(diǎn)P橫坐標(biāo)，再由的直線方程聯(lián)立，得到P，Q的橫坐標(biāo)的關(guān)系求解.【小問1詳解】解：∵的周長為8，∴，即，∵離心率，∴，，∴橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為【小問2詳解】方法一：設(shè)，則直線斜率，∵，∴直線斜率，∴直線的方程為：，同理直線的方程為：，聯(lián)立上面兩直線方程，消去y，得，∵在橢圓上，∴，即，∴，∴所以與的面積之比為定值4方法二：設(shè)直線，的斜率分別為k，，點(diǎn)，，則直線的方程為，∵，∴直線的方程為，將代入，得，∵P是橢圓上異于點(diǎn)，的點(diǎn)，∴，又∵，即，∴，即，由，得直線的方程為，聯(lián)立得，∴所以與的面積之比為定值419、（1）在和上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減；（2）證明見解析【解析】（1）首先求出函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，再令、，分別求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（2）先求出，構(gòu)造函數(shù)，求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，得到函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，求出函數(shù)的最小值，從而證明結(jié)論【小問1詳解】解：當(dāng)時(shí)，，所以，令，解得或，令，解得，所以函數(shù)在和上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減；【小問2詳解】解：，，，因?yàn)榇嬖趦蓚€(gè)極值點(diǎn)，，所以存在兩個(gè)互異的正實(shí)數(shù)根，，所以，，則，所以，所以，令，則，，，在上單調(diào)遞減，，而，即，20、（1），（）（2）【解析】（1）等差數(shù)列和等比數(shù)列的基本量的計(jì)算，根據(jù)條件列出方程，并解方程即可；（2）數(shù)列根據(jù)的奇偶分段表示，奇數(shù)項(xiàng)通過乘公比錯(cuò)位相減法克求得前項(xiàng)和，偶數(shù)項(xiàng)則是通過裂項(xiàng)求和.【小問1詳解】由得，.又，，所以，即，解得或（舍去）.所以（），當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，經(jīng)檢驗(yàn)，時(shí)，適合上式，故（）.綜上可得：，【小問2詳解】由（1）可知，當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，，當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，，由題意，有①②①-②得：，則有：..故.21、(1)(2)見解析.【解析】（1）在中，，求得，由此能求出四棱錐的體積；（2）由平面，證得和，由此利用線面垂直的判定定理，即可證得平面.試題解析：（1）在中，.在中,.則.（2），為的中點(diǎn)，.平面.平面.為中點(diǎn)，為為中點(diǎn)，，則.平面.考點(diǎn)：四棱錐的體積公式；直線與平面垂直的判定與證明.22、（1）（2）證明見解析，（3,0）（3）【解析】（1）求出橢圓的焦點(diǎn)坐標(biāo)，從而可知拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)，進(jìn)而可得的值；（2）首先設(shè)出直線的方程，聯(lián)立直線與拋物線的方程，得到，坐標(biāo)，令，可得直線過點(diǎn)，再證明當(dāng)，，，三點(diǎn)共線即可；（3）設(shè)出的直線方程，聯(lián)立直線與拋物線的方程，利用韋達(dá)定理找出根的關(guān)系，再利用