5.4 奈奎斯特穩(wěn)定判據(jù)課件

5.4奈奎斯特穩(wěn)定判據(jù)15.4奈奎斯特穩(wěn)定判據(jù)5.４.1特征函數(shù)F(s)=1+G(s)H(s)(1)開(kāi)環(huán)頻率特性和閉環(huán)頻率特性之間的關(guān)系基本思想：利用開(kāi)環(huán)頻率特性判別閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定性。25.4奈奎斯特穩(wěn)定判據(jù)閉環(huán)傳遞函數(shù)開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)開(kāi)環(huán)系統(tǒng)的特征方程式閉環(huán)系統(tǒng)的特征方程式特征函數(shù)35.4奈奎斯特穩(wěn)定判據(jù)(２)

特征函數(shù)F(s)的特點(diǎn)：(1)F(s)的零點(diǎn)、極點(diǎn)分別為系統(tǒng)的閉環(huán)極點(diǎn)、開(kāi)環(huán)極點(diǎn)；(2)F(s)的零點(diǎn)和極點(diǎn)個(gè)數(shù)相同(均為n)；(3)F(s)平面的坐標(biāo)原點(diǎn)就是G(s)H(s)平面的點(diǎn)(-1，j0)。45.4奈奎斯特穩(wěn)定判據(jù)由復(fù)變函數(shù)可知，對(duì)S復(fù)平面上除奇點(diǎn)外的任一點(diǎn)，經(jīng)過(guò)特征函數(shù)F(s)的映射，在F(s)平面上可以找到對(duì)應(yīng)的象。設(shè)輔助函數(shù)的幅角為：

5.4.2幅角定理ImRe

0vF2F(s2)F(s1)F(s3)[F(s)]jws[s]

0s1()s2s3Γs55.4奈奎斯特穩(wěn)定判據(jù)當(dāng)s從s1開(kāi)始沿任一閉合路徑Γs

(不經(jīng)過(guò)F(s)的零點(diǎn)和極點(diǎn))順時(shí)針旋轉(zhuǎn)一圈，F(xiàn)(s)的相角變化情況如下：(1)若特征函數(shù)的零點(diǎn)zj和pi極點(diǎn)沒(méi)有被曲線Γs包圍，則有：(２)若特征函數(shù)的零點(diǎn)zj和pi極點(diǎn)被包圍在曲線Γs里，則有：(順時(shí)針)(逆時(shí)針)65.4奈奎斯特穩(wěn)定判據(jù)幅角定理：在s平面上任一封閉曲線包圍了F(s)的Z個(gè)零點(diǎn)和P個(gè)極點(diǎn)，并且不經(jīng)過(guò)F(s)的任一零點(diǎn)和極點(diǎn)，則當(dāng)s沿閉合路徑順時(shí)針?lè)较蜣D(zhuǎn)過(guò)一周時(shí)，映射到F(s)平面內(nèi)的F(s)曲線逆時(shí)針繞原點(diǎn)（P

–Z）圈。即

R=P-Z75.4奈奎斯特穩(wěn)定判據(jù)+j∞0+0--j∞0[s]［ＧＨ］０－１０［Ｆ］１R→∞5.4.3奈奎斯特穩(wěn)定性判據(jù)85.4奈奎斯特穩(wěn)定判據(jù)(1)幅角原理在閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定性分析中的應(yīng)用特征函數(shù)０［Ｆ］１［ＧＨ］０－１用曲線補(bǔ)足開(kāi)環(huán)幅相頻率曲線，形成的奈奎斯特圍線，則有：Ｚ＝Ｐ－Ｒ閉環(huán)右極點(diǎn)個(gè)數(shù)開(kāi)環(huán)右極點(diǎn)個(gè)數(shù)奈氏曲線圍繞(-1,j0)點(diǎn)的次數(shù)95.4奈奎斯特穩(wěn)定判據(jù)a.若P=0，且Ｒ=0，即GH曲線不包圍（-1，j0）點(diǎn)，則閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定；b.若P≠0，且Ｒ=P，即GH曲線逆時(shí)針繞（-1，j0）點(diǎn)P圈，則閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定，否則是不穩(wěn)定系統(tǒng)。不穩(wěn)定系統(tǒng)分布在s右半平面極點(diǎn)的個(gè)數(shù)可按下式求?。篫=P-Ｒc.若GH曲線通過(guò)（-1，j0）點(diǎn)L次，則說(shuō)明閉環(huán)系統(tǒng)有L個(gè)極點(diǎn)分布在s平面的虛軸上。(2)奈奎斯特穩(wěn)定判據(jù)閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定的充要條件是：當(dāng)w由－∞→＋∞變化時(shí)，G(jω)H(jω)曲線逆時(shí)針包圍[GH]平面上(-1，j0)點(diǎn)的次數(shù)R等于開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)右極點(diǎn)個(gè)數(shù)P。Ｚ＝Ｐ－Ｒ105.4奈奎斯特穩(wěn)定判據(jù)w2-1-0w=-￥w=￥wReIm解：本系統(tǒng)的開(kāi)環(huán)頻率特性例:一系統(tǒng)開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)為：試判別系統(tǒng)的穩(wěn)定性。因?yàn)橄到y(tǒng)有一個(gè)開(kāi)環(huán)極點(diǎn)位于s的右半平面，即：P=1。圖中奈氏曲線是逆時(shí)針?lè)较蚶@（-1，j0）點(diǎn)的1圈，即N=1。根據(jù)奈氏判據(jù),閉環(huán)系統(tǒng)在s右半平面極點(diǎn)數(shù)Z=P-N=1-1=0，所以系統(tǒng)穩(wěn)定。當(dāng)變化時(shí)，系統(tǒng)的幅相曲線如圖所示。115.4奈奎斯特穩(wěn)定判據(jù)+j∞0+0--j∞0[s]［ＧＨ］０－１０［Ｆ］１R→∞125.4奈奎斯特穩(wěn)定判據(jù)0[s]+j∞0+0--j∞R→∞e→00[GH]0+w=+∞0-w=-∞135.4奈奎斯特穩(wěn)定判據(jù)在極坐標(biāo)圖中，閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定的充要條件是：當(dāng)w由０→＋∞變化時(shí)，G(jω)H(jω)曲線逆時(shí)針包圍[GH]平面上(-1，j0)點(diǎn)的次數(shù)Ｎ＝Ｐ／２；否則，閉環(huán)系統(tǒng)不穩(wěn)定，且有Ｚ＝Ｐ－２Ｎ個(gè)右極點(diǎn)。145.4奈奎斯特穩(wěn)定判據(jù)(2)由“正負(fù)穿越次數(shù)之差”來(lái)判斷G(jω)H(jω)曲線對(duì)稱實(shí)軸。應(yīng)用中只畫(huà)0→+∞部分。所謂“穿越”是指軌跡穿過(guò)(-1,-∞)段。正穿越：從上而下穿過(guò)該段一次（相角增加），用N(+)表示。負(fù)穿越：由下而上穿過(guò)該段一次（相角減少），用N(-)表示。半次穿越：起始于或終止于(-1,-∞)段的負(fù)實(shí)軸的正、負(fù)穿越稱為正負(fù)半次穿越。ImRe0(-1,j0)半次穿越負(fù)穿越正穿越155.4奈奎斯特穩(wěn)定判據(jù)在極坐標(biāo)圖中，閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定的充要條件是：當(dāng)w由０→＋∞變化時(shí)，G(jω)H(jω)曲線對(duì)(-1，-∞)實(shí)軸段的正負(fù)穿越次數(shù)之差為N(+)-N(-)=Ｐ／２；否則，閉環(huán)系統(tǒng)不穩(wěn)定，且有Ｚ＝Ｐ－２[N(+)-N(-)]個(gè)右極點(diǎn)。165.4奈奎斯特穩(wěn)定判據(jù)175.4奈奎斯特穩(wěn)定判據(jù)5.4.4對(duì)數(shù)幅頻特性上的奈奎斯特判據(jù)

極坐標(biāo)圖

伯德圖

(-1,j0)點(diǎn) 0db線和-180相角線

(-1,-∞)段 0db線以上區(qū)域 因此，奈氏曲線自上而下（或自下而上）地穿越（-1，j0）點(diǎn)左邊的負(fù)實(shí)軸(-1,-∞)段，相當(dāng)于在伯德圖中當(dāng)L(ω)>0db時(shí)相頻特性曲線自下而上（或自上而下）地穿越-180°線。185.4奈奎斯特穩(wěn)定判據(jù)在對(duì)數(shù)頻率特性圖中，閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定的充要條件是：當(dāng)w由０→＋∞變化時(shí)，在開(kāi)環(huán)對(duì)數(shù)幅頻特性L(ω)>0db的所有頻段內(nèi)，對(duì)數(shù)相頻特性j(w)曲線對(duì)-1800線的正負(fù)穿越次數(shù)之差為N(+)-N(-)=Ｐ／２；否則，閉環(huán)系統(tǒng)不穩(wěn)定，且有Ｚ＝Ｐ－２[N(+)-N(-)]個(gè)