人教版八年級(jí)數(shù)學(xué)上冊(cè) （三角形的內(nèi)角）三角形教育課件

第十一章三角形三角形的內(nèi)角人教版八年級(jí)上冊(cè)

教學(xué)目標(biāo)1、會(huì)闡述三角形內(nèi)角和定理。2、會(huì)應(yīng)用三角形內(nèi)角和定理進(jìn)行計(jì)算(求三角形的角的度數(shù))。3、能通過(guò)動(dòng)手實(shí)踐去驗(yàn)證三角形的內(nèi)角和定理。4、了解直角三角形兩個(gè)銳角的關(guān)系。5、掌握直角三角形的判定。6、會(huì)運(yùn)用直角三角形的性質(zhì)和判定進(jìn)行相關(guān)計(jì)算。新知導(dǎo)入在小學(xué)的時(shí)候，我們就已經(jīng)知道，任意一個(gè)三角形的內(nèi)角和等于180°。在Rt△ABC中，老大∠A=90°，則∠B+∠C=90°因此老二∠B或∠C＜90°。新知講解一、三角形的內(nèi)角和任意一個(gè)三角形的內(nèi)角和一定等于

。180°驗(yàn)證三角形內(nèi)角和的三種方法：測(cè)量法折疊法剪切法新知講解測(cè)量法銳角三角形48072060060°＋48°＋72°＝180°新知講解折疊法ABC演示123CAABBCABCABBCC剪切法新知講解新知講解那么，我們?nèi)绾瓮ㄟ^(guò)“數(shù)學(xué)證明”來(lái)解釋三角形的內(nèi)角和一定是180°呢？已知：△ABC求證：∠A+∠B+∠C=180°方法一、證明：過(guò)點(diǎn)A作直線l，使l∥AB∵l∥AB∴∠2=∠4（兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等）同理∠3=∠5∵∠1、∠4、∠5組成平角∴∠1+∠2+∠3=180°（等量代換）∴∠A+∠B+∠C=180°（等量代換）三角形內(nèi)角和定理：三角形三個(gè)內(nèi)角的和為180°新知講解方法二、證明：延長(zhǎng)BC到D，過(guò)點(diǎn)C作CE∥BACBAED12∴∠A=∠1（兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等）∠B=∠2（兩直線平行，同位角相等）又∵∠1+∠2+∠ACB=180°（等量代換）∴∠A+∠B+∠ACB=180°（等量代換）∴∠A+∠B+∠C=180°（等量代換）新知講解方法三、證明：過(guò)點(diǎn)D作DE∥AC，DF∥ABCBAEDF∴∠C=∠EDB，∠B=∠FDC（兩直線平行，同位角相等）∴∠A+∠AED=180°，∠AED+∠EDF=180°（兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)）∴∠A=∠EDF∴∠EDB+∠EDF+∠FDC=180°∴∠A+∠B+∠C=180°新知講解例1如圖，在△ABC中，∠BAC=40°,∠B=75°，AD是△ABC的角平分線，求∠ADB的度數(shù)。ABCD解：由∠BAC=40°,AD是△ABC的角平分線，得∠BAD=∠BAC=20°在△ABD中，∠ADB=180°-∠B-∠BAD=180°-75°-20°=85°∴∠ABD的度數(shù)為85°。新知講解例2

如圖是A、B、C三島的平面圖，C島在A島的北偏東50°方向，B島在A島的北偏東80°方向，C島在B島的北偏西40°方向。從B島看A,C兩島的視角∠ABC是多少度？從C島看A、B兩島的視角∠ACB是多少度？分析：A、B、C三島的連線構(gòu)成△ABC，所求的∠ACB是△ABC的一個(gè)內(nèi)角，如果能求出∠CAB、∠ABC，就能求出∠ACB。解：∠CAB=∠BAD-∠CAD=80°-50°=30°由AD∥BE，得∠BAD+∠ABE=180°∴∠ABE=180°-∠ABD=180°-80°=100°

∠ABC=∠ABE-∠EBC=100°-40°=60°在△ABC中，∠ACB=180°-∠ABC-∠CAB=180°-60°-30°=90°答：從B島看A、C兩島的視角∠ABC是60°，從C島看A、B兩島的視角∠ACB是90°。新知講解二、直角三角形的性質(zhì)和判定如圖，在直角三角形ABC中，∠C=90°由三角形內(nèi)角和定理，可得∠A+∠B+∠C=180°∴∠A+∠B+90°=180°∴∠A+∠B=90直角三角形的兩個(gè)銳角互余。新知講解直角三角形可以用符號(hào)“Rt△”表示。因此直角三角形ABC可寫(xiě)成

。Rt△ABC“直角三角形的兩個(gè)銳角互余”其幾何語(yǔ)言可表示為：在Rt△ABC中，∵∠A=90°∴∠B+∠C=90°若在三角形中，有兩個(gè)銳角互余，則該三角形是否就是直角三角形呢？新知講解已知：在△ABC中，∠A與∠B互余。求證：該三角形為直角三角形證明：∵∠A與∠B互余∴∠A+∠B=90°由三角形內(nèi)角和定理，可得∠A+∠B+∠C=180°∴90°+∠C=180°∴∠C=90°∴△ABC為直角三角形有兩個(gè)角互余的三角形為直角三角形。新知講解例3、如圖，∠C=∠D=90°，AD、BC相交于點(diǎn)E?！螩AE與∠DBE有什么關(guān)系？為什么？解：∠CAE=∠DBE在Rt△ACE中，∠CAE=90°-∠AEC在Rt△BDE中，∠DBE=90°-∠BED∵∠AEC=∠BED∴∠CAE=∠DBE課堂練習(xí)1、（2022·河南周口·八年級(jí)期末）若一個(gè)三角形的三個(gè)內(nèi)角度數(shù)之比1:3:4，則這個(gè)三角形是（

）A．銳角三角形 B．直角三角形 C．鈍角三角形 D．等腰三角形【解析】∵三角形三個(gè)內(nèi)角度數(shù)的比為1：3：4，∴三個(gè)內(nèi)角分別是∴該三角形是直角三角形故選答案選BB課堂練習(xí)2、（2022·湖南邵陽(yáng)·八年級(jí)期中）在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝42°，則∠B＝（

）A．48° B．58° C．62° D．68°【解析】∵∠C=90°∴∠A+∠B=90°∵∠A=42°∴∠B=48°故答案選AA課堂練習(xí)3、（2022·廣西欽州·八年級(jí)期末）如圖，把一副三角板疊放在一起。則∠1的大小為（

）A．105° B．115° C．120° D．125°

∴【解析】如圖∵圖中是一副直角三角板，∴∠A＝45°，∠E＝30°∵∴∴∵故答案選AA課堂練習(xí)4、（2022·安徽滁州·八年級(jí)期末）如圖，△ABC中，AD是BC邊上的高，AE是∠BAC的平分線，∠BAC＝50°，∠ABC＝60°，則∠DAE＝（

）A．5° B．4° C．8° D．6°【解析】△ABC中，∠BAC＝50°，∠ABC＝60°∴∠C=180°-∠BAC-∠ABC=70°∵AD是BC邊上的高∴∠ADC=90°∴∠DAC=90°-∠C=20°∵AE是∠BAC的平分線，∠BAC=50°∴∠EAC=∠BAC=25°∴∠DAE=∠EAC-∠DAC=25°-20°=5°A課堂練習(xí)5、（2022·湖南長(zhǎng)沙·八年級(jí)期末）已知在△ABC中，∠A＝108°，∠B＝2∠C，則∠B＝________?！窘馕觥俊摺螦=108°，∠B=2∠C∴108°十2∠C+∠C=180°∴∠C=24°∴∠B=2∠C=2×24°=48°48°課堂練習(xí)6、（2022·山東臨沂·八年級(jí)期末）在△ABC中，∠A=40°，∠B=20°，點(diǎn)D在AB邊上，連接CD，若△ACD為直角三角形，則∠BCD的度數(shù)為_(kāi)_______?！窘馕觥竣佼?dāng)∠ADC=90°時(shí)，如圖所示：∠BCD=90°-∠B

=90°-20°=70°②當(dāng)∠ACD=90°時(shí)，如圖所示：∵∠ACB=180°-∠A-∠B

=120°∴∠BCD=∠ACB-∠ACD

=120°-90°=30°70°或30°課堂練習(xí)7、如圖，AB∥CD，AD與BC交于點(diǎn)O，∠C=40°，∠AOB=80°，求∠A的度數(shù)。解：∵AB∥CD，∠C=40°∴∠B=∠C=40°∵∠A+∠B+∠AOB=180°∴∠A=180°-∠AOB-∠B=180°-80°-40°=60°∴∠A的度數(shù)為60°課堂練習(xí)8、（2022·重慶長(zhǎng)壽·八年級(jí)期末）如圖，在△ABC中，∠B＝40°，∠C＝70°，AD為∠BAC的平分線，AE為BC邊上的高，求∠DAE的度數(shù)。解：∵∠B＝40°，∠C＝70°∴∠BAC＝180°－40°－70°＝70°又∵AD為∠BAC的平分線∴∠DAC＝35°∵AE⊥BC∴∠EAC＝90°－∠C＝20°∴∠DAE＝∠DAC－∠EAC

＝35°－20°

＝15°∴∠DAE的度數(shù)為15°課堂總結(jié)三角形的內(nèi)角三角形的內(nèi)角和三角形內(nèi)角和的應(yīng)用直角三角形的性質(zhì)和判定直角三角形的兩個(gè)銳角互余兩個(gè)角互余的三角形為直角三角形直角三角形性質(zhì)和判定的應(yīng)用在Rt△ABC中，∵∠A=90°∴∠B+∠C=90°在△ABC中，∵∠A+∠B=90°∴△ABC為直角三角形作業(yè)布置1、如圖，在△ABC中，∠C=56°，點(diǎn)D在線段BA的延長(zhǎng)線上，過(guò)點(diǎn)D作DF⊥BC于點(diǎn)F，若∠FDB=20°，則∠CAB的度數(shù)為（）A．76° B．65° C．56° D．54°【解析】∵DF⊥BC∴∠DFB=90°在△BDE中，∠FDB=20°∴∠B=180°-90°-20°=70°在△ABC中，∠C=56°∴∠CAB=180°-70°-56°=54°故答案選DD作業(yè)布置2、（2021·河南商丘·八年級(jí)期末）在直角三角形ABC中，∠A：∠B：∠C=1：m：3，則m的值是（

）A．3 B．4 C．1或3 D．2或4【解析】設(shè)∠A=x°，則∠C=3x°①當(dāng)∠C=90°時(shí)，3x°=90°解得x=30∴∠A=30°，∠B=90°-30°=60°∴∠A:∠B=30°:60°=1:2∴m=2②當(dāng)∠B=90°時(shí)，∠A+∠C=90°即x°+3x°=90°解得x=22.5∴∠A=22.5°，∠C=67.5°∴∠A:∠B=22.5°:90°=1:4∴m=4綜上，m的值為2或4D作業(yè)布置3、（2022·內(nèi)蒙古鄂爾多斯·八年級(jí)期末）如圖，B處在A處的南偏西45°方向，C處在A處的南偏東15°方向，C處在B處的北偏東80°方向，則∠ACB的度數(shù)是______?！窘馕觥扛鶕?jù)方向角的定義可得，∠BAE=45°，∠CAE=15°，∠DBC=80°∵∠BAE=45°，∠EAC=15°∴∠BAC=∠BAE+∠EAC=45°+15°=60°∵AE、DB是正南正北方向∴BD∥AE∵∠DBE=∠BAE=45°又∵∠DBC=80°∴∠ABC=80°-45°=35°∴∠ACB=180°-∠ABC-∠BAC=180°-60°-35°=85°85°作業(yè)布置4、（2022·重慶巴南·八年級(jí)期末）如圖，將一張三角形紙片ABC的一角(∠A)折疊，使得點(diǎn)A落在四邊形BCDE的外部點(diǎn)A′的位置，且點(diǎn)A′與點(diǎn)C在直線AB的異側(cè)，折痕為DE。已知∠C=90°，∠B=60°，若△A′DE的一邊與BC平行，且∠ADE=m°，則m=_________。【解析】①如圖，當(dāng)A′D∥BC時(shí)∵A′D∥BC∴∠A′DA=∠C=90°∴由翻折可知∠A′DE=∠ADE=45°∴m=45②如圖，當(dāng)A′E∥BC時(shí)∵A′E∥BC∴∠A′EF=∠B=60°∵∠A=90°-∠B=30°∴由折疊可知∠A=30°∴∠A′FE=∠DFE=90°∴∠A′DA=90°-∠A=60°∴∠A′DE=∠A′DA=30°∴m=30③當(dāng)DE∥BC時(shí)，點(diǎn)A′與點(diǎn)C在直線AB的同側(cè)，不符合題意綜上可知m的值為45或3045或30作業(yè)布置5、（2022·黑龍江牡丹江·八年級(jí)期末）在△ABC中，AB＝AC，將△ABC折疊，使A，B兩點(diǎn)重合，折痕所在直線與AC邊所在直線的夾角為50°，則∠A的度數(shù)為_(kāi)____________。【解析】①如圖：由翻折的性質(zhì)可知：EF⊥AB，∴∠A+∠AFE＝90°．∵∠AFE＝50°，∴∠A＝90°﹣50°＝40°②如圖：由翻折的性質(zhì)可知：EF⊥AB∴∠D+∠DAE＝90°∵折痕所在直線與AC邊所在直線的夾角為50°∴∠EDA＝50°∴∠DAE＝90°﹣50°＝40°∴∠BAC＝140°綜上，∠A的度數(shù)為40°或140°40°或140°作業(yè)布置6、（2021·河北·石家莊市藁城區(qū)第一中學(xué)八年級(jí)階段練習(xí)）如圖，在△ABC中，AD⊥BC，AE平分∠BAC，若∠1=40°，∠2=20°，求∠B的度數(shù)。解：∵AE平分∠BAC∴∠1=∠EAC=∠EAD+∠2∴∠EAD=∠1-∠2=40°-20°=20°在Rt△ABD中∠B=90°-∠BAD=90°-40°-20°=30°∴∠B的度數(shù)為30°作業(yè)布置7、（2022·河南商丘·八年級(jí)期末）如圖，AD平分∠BAC，∠EAD＝∠EDA，∠B＝54°。(1)求∠EAC的度數(shù)；(2)若∠CAD：∠E＝2：5；求∠E的度數(shù)．解：(1)∵∠EAD＝∠EDA∴∠EAC＋∠CAD＝∠B＋∠BAD∵AD平分∠BAC∴∠CAD＝∠BAD∴∠EAC＝∠B∵∠B＝54°∴∠EAC＝54°∴∠EAC的度數(shù)為54°(2)設(shè)∠CAD＝2x，則∠E＝5x，∠DAB＝2x∵∠B＝54°∴∠EDA＝∠EAD＝2x＋54°∵∠EDA＋∠EAD＋∠E＝180°∴2x＋54°＋2x＋54°＋5x＝180°解得x＝8°∴∠E＝5x＝40°∴∠E的度數(shù)為40°作業(yè)布置8、（2022·湖北荊門(mén)·八年級(jí)期末）如圖，△ABC中，AF、BE是角平分線，它們相交于點(diǎn)O，AD是高，∠C=50°，求∠DAC及∠BOA的度數(shù)。解：∵AD是高，∠C=50°∴∠ADC=90°∴∠DAC=90°-50°=40°∵∠C=50°∴∠CAB+∠ABC=130°∵AF、BE是角平分線∴∠BAO+∠ABO=

(∠CAB+∠ABC)=×(180°-50°)=×130°=65°∴∠BOA=180°-65°=115°∴∠DAC的度數(shù)為40°，∠BOA的度數(shù)為65°作業(yè)布置9、（2021·全國(guó)·八年級(jí)單元測(cè)試）如圖，在△ABC中，∠B＝2∠C，AE平分∠BAC交BC于E。（1）若AD⊥BC于D，∠C＝40°，求∠DAE的度數(shù)；（1）解：∵∠C＝40°，∠B＝2∠C∴∠B＝80°∴∠BAC＝60°∵AE平分∠BAC∴∠EAC＝30°∵AD⊥BC∴∠ADC＝90°∴∠DAC＝50°∴∠DAE＝50°﹣30°＝20°∴∠DAE的度數(shù)為20°作業(yè)布置9、（2021·全國(guó)·八年級(jí)單元測(cè)試）如圖，在△ABC中，∠B＝2∠C，AE平分∠BAC交BC于E。（2）若EF⊥AE交AC于F，求證：∠C＝2∠FEC。（2）證明：