北京通州區(qū)2023年高二數(shù)學第一學期期末考試模擬試題含解析

北京通州區(qū)2023年高二數(shù)學第一學期期末考試模擬試題注意事項:1．答題前，考生先將自己的姓名、準考證號碼填寫清楚，將條形碼準確粘貼在條形碼區(qū)域內(nèi)。2．答題時請按要求用筆。3．請按照題號順序在答題卡各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無效；在草稿紙、試卷上答題無效。4．作圖可先使用鉛筆畫出，確定后必須用黑色字跡的簽字筆描黑。5．保持卡面清潔，不要折暴、不要弄破、弄皺，不準使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．設(shè)等差數(shù)列，前n項和分別是，若，則（）A.1 B.C. D.2．過雙曲線的左焦點作x軸的垂線交曲線C于點P，為右焦點，若，則雙曲線的離心率為（）A. B.C. D.3．已知橢圓的離心率，為橢圓上的一個動點，若定點，則的最大值為A. B.C. D.4．函數(shù)，的值域為（）A. B.C. D.5．若構(gòu)成空間向量的一組基底，則下列向量不共面的是（）A.，， B.，，C.，， D.，，6．正方體中，E、F分別是與的中點，則直線ED與所成角的余弦值是（）A. B.C. D.7．設(shè)，直線，，則“”是“”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充分必要條件 D.既不充分也不必要條件8．下列結(jié)論中正確的個數(shù)為（）①，；②；③A.0 B.1C.2 D.39．已知拋物線的焦點為，點在拋物線上，且，則的橫坐標為（）A.1 B.C.2 D.310．在等比數(shù)列中，是和的等差中項，則公比的值為（）A.－2 B.1C.2或－1 D.－2或111．設(shè)為空間中的四個不同點，則“中有三點在同一條直線上”是“在同一個平面上”的（）A.充分非必要條件 B.必要非充分條件C.充要條件 D.既非充分又非必要條件12．數(shù)列，則是這個數(shù)列的第（）A.項 B.項C.項 D.項二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知點為橢圓上的動點，為圓的任意一條直徑，則的最大值是__________14．命題“”的否定為_____________.15．已知直線與，若，則實數(shù)a的值為______16．如圖，四邊形和均為正方形，它們所在的平面互相垂直，動點在線段上，、分別為、的中點.設(shè)異面直線與所成的角為，則的最大值為____三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）如圖，在直三棱柱中，，分別是棱的中點，點在線段上.（1）當直線與平面所成角最大時，求線段的長度；（2）是否存在這樣的點，使平面與平面所成的二面角的余弦值為，若存在，試確定點的位置，若不存在，說明理由.18．（12分）如圖，在四棱錐中，平面，底面是直角梯形，其中，，，，為棱上的點，且.（1）求證：平面；（2）求二面角的正弦值；（3）設(shè)為棱上的點(不與，重合)，且直線與平面所成角的正弦值為，求的值.19．（12分）已知拋物線焦點是，斜率為的直線l經(jīng)過F且與拋物線相交于A、B兩點（1）求該拋物線的標準方程和準線方程；（2）求線段AB的長20．（12分）在數(shù)列中，，.（1）證明：數(shù)列為等比數(shù)列，并求數(shù)列的通項公式；（2）求數(shù)列的前項和.21．（12分）有兩位射擊運動員在一次射擊測試中各射靶7次，每次命中的環(huán)數(shù)如下：甲6978856乙a398964經(jīng)計算可得甲、乙兩名射擊運動員的平均成績是一樣的（1）求實數(shù)a的值；（2）請通過計算，判斷甲、乙兩名射擊運動員哪一位的成績更穩(wěn)定？22．（10分）已知橢圓的中心在原點，焦點在軸上，離心率等于，它的一個頂點恰好是拋物線的焦點.（1）求橢圓的標準方程；（2）已知直線與橢圓交于、兩點，、是橢圓上位于直線兩側(cè)的動點，且直線的斜率為，求四邊形面積的最大值.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、B【解析】根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)和求和公式變形求解即可【詳解】因為等差數(shù)列，的前n項和分別是，所以，故選：B2、D【解析】由題知是等腰直角三角形，，又根據(jù)通徑的結(jié)論知，結(jié)合可列出關(guān)于的二次齊次式，即可求解離心率.【詳解】由題知是等腰直角三角形，且，，又，，即，，，即，解得，，.故選：D.3、C【解析】首先求得橢圓方程，然后確定的最大值即可.【詳解】由題意可得：，據(jù)此可得：，橢圓方程為，設(shè)橢圓上點的坐標為，則，故：，當時，.本題選擇C選項.【點睛】本題主要考查橢圓方程問題，橢圓中的最值問題等知識，意在考查學生的轉(zhuǎn)化能力和計算求解能力.4、A【解析】利用基本不等式可得，進而可得，即求.【詳解】∵，∴，當且僅當，即時取等號，∴，，∴.故選：A.5、C【解析】根據(jù)空間向量共面的條件即可解答.【詳解】對于A，由，所以，，共面；對于B，由，所以，，共面；對于D，，所以，，共面，故選：C.6、A【解析】以A為原點建立空間直角坐標系，求出E,F,D,D1點的坐標，利用向量求法求解【詳解】如圖，以A為原點建立空間直角坐標系，設(shè)正方體的邊長為2，則，,，,,直線與所成角的余弦值為：.故選:A【點睛】本題考查異面直線所成角的求法，屬于基礎(chǔ)題.7、A【解析】由可求得實數(shù)的值，再利用充分條件、必要條件的定義判斷可得出結(jié)論.【詳解】若，則，解得或，因此，“”是“”的充分不必要條件.故選：A.8、C【解析】構(gòu)造函數(shù)利用導數(shù)說明函數(shù)的單調(diào)性，即可判斷大小，從而得解；【詳解】解：令，，則，所以在上單調(diào)遞增，所以，即，即，，故①正確；令，，則，所以當時，，當時，，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以，即恒成立，所以，故②正確；令，，當時，當時，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以，即，所以，當且僅當時取等號，故③錯誤；故選：C9、C【解析】利用拋物線的定義轉(zhuǎn)化為到準線的距離，即可求得.【詳解】拋物線的焦點坐標為,準線方程為,,∴，故選：C.10、D【解析】由題可得，即求.【詳解】由題意，得，所以，因為，所以，解得或.故選：D.11、A【解析】由公理2的推論即可得到答案.【詳解】由公理2的推論:過一條直線和直線外一點,有且只有一個平面,可得在同一平面,故充分條件成立;由公理2的推論：過兩條平行直線,有且只有一個平面,可得,當時,同一個平面上,但中無三點共線,故必要條件不成立;故選:A【點睛】本題考查點線面的位置關(guān)系和充分必要條件的判斷,重點考查公理2及其推論;屬于中檔題;公理2的三個推論：經(jīng)過一條直線和直線外一點,有且只有一個平面;經(jīng)過兩條平行直線,有且只有一個平面;經(jīng)過兩條相交直線,有且只有一個平面;12、A【解析】根據(jù)數(shù)列的規(guī)律，求出通項公式，進而求出是這個數(shù)列的第幾項【詳解】數(shù)列為，故通項公式為，是這個數(shù)列的第項.故選：A.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】設(shè)點，則且，計算得出，再利用二次函數(shù)的基本性質(zhì)即可求得的最大值.【詳解】解：圓的圓心為，半徑長為，設(shè)點，由點為橢圓上的動點，可得：且，由為圓的任意一條直徑可得：，，，，，當時，取得最大值，即.故答案為：.14、【解析】根據(jù)特稱命題的否定是全稱命題，可得結(jié)果.【詳解】由特稱命題否定是全稱命題，故條件不變，否定結(jié)論所以“”的否定為“”故答案為：【點睛】本題主要考查特稱命題的否定是全稱命題，屬基礎(chǔ)題.15、【解析】由可得，從而可求出實數(shù)a的值【詳解】因為直線與，且，所以，解得，故答案：16、【解析】如圖所示，建立空間直角坐標系，設(shè)，，，，，由向量法可得，令，，，利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性即可求得的最大值，從而可得答案【詳解】解：由題意，根據(jù)已知條件，直線AB，AD，AQ兩兩互相垂直，所以建立如圖所示空間直角坐標系不妨設(shè)，則，0，，，0，，，1，，設(shè)，，，，，，，，，，，令，，則，函數(shù)在上單調(diào)遞減，時，函數(shù)取得最大值，的最大值為故答案為：三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）（2）存在，A1P=【解析】（1）作出線面角，因為對邊為定值，所以鄰邊最小時線面角最大；（2）建立空間直角坐標系，由向量法求二面角列方程可得.【小問1詳解】直線PN與平面A1B1C1所成的角即為直線PN與平面ABC所成角，過P作,即PN與面ABC所成的角，因為PH為定值，所以當NH最小時線面角最大，因為當P為中點時，,此時NH最小，即PN與平面ABC所成角最大，此時.【小問2詳解】以AB,AC,AA1為x,y,z軸建立空間坐標系，則：A（0,0,0),B(1,0,0),C(0,1,0),A1(0,0,1)設(shè)=，，，設(shè)平面PMN的法向量為，則，即，解得，平面AC1C的法向量為,.所以P點為A1B1的四等分點，且A1P=.18、（1）證明見解析；（2）；（3）.【解析】（1）由已知證得，，，以為坐標原點，建立如圖所示的空間直角坐標系，根據(jù)向量垂直的坐標表示和線面垂直的判定定理可得證；（2）根據(jù)二面角的空間向量求解方法可得答案；（3）設(shè)，表示點Q，再利用線面角的空間向量求解方法，建立方程解得，可得答案.【詳解】（1）因為平面，平面，平面，所以，，又因為，則以為坐標原點，建立如圖所示的空間直角坐標系，由已知可得，，，，，，所以，，，因為，，所以，，又，平面，平面，所以平面.（2）由（1）可知平面，可作為平面的法向量，設(shè)平面的法向量因為，.所以，即，不妨設(shè)，得.，又由圖示知二面角為銳角，所以二面角的正弦值為.（3）設(shè)，即，，所以，即，因為直線與平面所成角的正弦值為，所以，即，解得，即.【點睛】本題考查利用空間向量求線面垂直、線面角、二面角的求法，向量法求二面角的步驟：建、設(shè)、求、算、?。?、建：建立空間直角坐標系，以三條互相垂直的垂線的交點為原點；2、設(shè)：設(shè)所需點的坐標，并得出所需向量的坐標；3、求：求出兩個面的法向量；4、算：運用向量的數(shù)量積運算，求兩個法向量的夾角的余弦值；5、?。焊鶕?jù)二面角的范圍和圖示得出的二面角是銳角還是鈍角，再取值.19、（1）拋物線的方程為，其準線方程為，（2）【解析】（1）根據(jù)焦點可求出的值，從而求出拋物線的方程，即可得到準線方程；（2）設(shè)，，，，將直線的方程與拋物線方程聯(lián)立消去，整理得，得到根與系數(shù)的關(guān)系，由拋物線的定義可知，代入即可求出所求【小問1詳解】解：由焦點，得，解得所以拋物線的方程為，其準線方程為，【小問2詳解】解：設(shè)，，，直線的方程為.與拋物線方程聯(lián)立，得，消去，整理得，由拋物線定義可知，所以線段的長為20、（1）證明見解析，；（2）.【解析】（1）利用等比數(shù)列的定義結(jié)合已知條件即可得到證明.（2）運用分組求和的方法，利用等比數(shù)列和等差數(shù)列前項和公式求解即可.【詳解】（1）證明：∵，∴數(shù)列為首項是2，公比是2的等比數(shù)列.∴，∴.（2）由（1）知，，【點睛】本題考查等比數(shù)列的定義，通項公式的應(yīng)用，考查等差數(shù)列和等比數(shù)列前項和公式的應(yīng)用，考查分組求和的方法，屬于基礎(chǔ)題.21、（1）10；（2）甲的成績比乙更穩(wěn)定.【解析】（1）根據(jù)甲乙成績求他們的平均成績，由平均成績相等列方程求參數(shù)a的值.（2）由已知數(shù)據(jù)及（1）的結(jié)果，求甲乙的方差并比較大小，即可知哪位運動員成績更穩(wěn)定.【小問1詳解】由題意，甲的平均成績?yōu)?，乙的平均成績?yōu)椋旨?、乙兩名射擊運動員的平均成績是一樣的，有，解得，故實數(shù)a為10；【小問2詳解】甲的方差，乙的方差，由，知：甲的成績比乙更穩(wěn)定.22、（1）（2）【解析】（1）根據(jù)離心率的定義以及橢圓與拋物線焦點的關(guān)系，可以求出橢圓方程；（2）