大一輪復(fù)習(xí)配套講義(備考基礎(chǔ)查清+熱點(diǎn)命題悟通)：第三章三角函數(shù)、解三角形

PAGEPAGE59三角函數(shù)、解三角形第一節(jié)任意角和弧度制及任意角的三角函數(shù)1．角的概念(1)分類eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(按旋轉(zhuǎn)方向不同分為正角、負(fù)角、零角.,按終邊位置不同分為象限角和軸線角.))(2)終邊相同的角：所有與角α終邊相同的角，連同角α在內(nèi)，可構(gòu)成一個集合S＝{β|β＝α＋k·360°，k∈Z}．2．弧度的定義和公式(1)定義：長度等于半徑長的弧所對的圓心角叫做1弧度的角，弧度記作rad.(2)公式：①弧度與角度的換算：360°＝2π弧度；180°＝π弧度；②弧長公式：l＝|α|r；③扇形面積公式：S扇形＝eq\f(1,2)lr和eq\f(1,2)|α|r2.3．任意角的三角函數(shù)(1)定義：設(shè)α是一個任意角，它的終邊與單位圓交于點(diǎn)P(x，y)，則sinα＝y(tǒng)，cosα＝x，tanα＝eq\f(y,x)(x≠0)．(2)幾何表示：三角函數(shù)線可以看作是三角函數(shù)的幾何表示．正弦線的起點(diǎn)都在x軸上，余弦線的起點(diǎn)都是原點(diǎn)，正切線的起點(diǎn)都是(1,0)．如圖中有向線段MP，OM，AT分別叫做角α的正弦線，余弦線和正切線．

1．易混概念：第一象限角、銳角、小于90°的角是概念不同的三類角．第一類是象限角，第二、第三類是區(qū)間角．2．利用180°＝πrad進(jìn)行互化時，易出現(xiàn)度量單位的混用．3．三角函數(shù)的定義中，當(dāng)P(x，y)是單位圓上的點(diǎn)時有sinα＝y(tǒng)，cosα＝x，tanα＝eq\f(y,x)，但若不是單位圓時，如圓的半徑為r，則sinα＝eq\f(y,r)，cosα＝eq\f(x,r)，tanα＝eq\f(y,x).[試一試]1．若α＝k·180°＋45°(k∈Z)，則α在()A．第一或第三象限 B．第一或第二象限C．第二或第四象限D(zhuǎn)．第三或第四象限2．已知角α的終邊經(jīng)過點(diǎn)(eq\r(3)，－1)，則sinα＝________.

1．三角函數(shù)值在各象限的符號規(guī)律概括為：一全正、二正弦、三正切、四余弦；2．對于利用三角函數(shù)定義解題的題目，如果含有參數(shù)，一定要考慮運(yùn)用分類討論，而在求解簡單的三角不等式時，可利用單位圓及三角函數(shù)線，體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合的思想．[練一練]若sinα<0且tanα>0，則α是()A．第一象限角 B．第二象限角C．第三象限角 D．第四象限角考點(diǎn)一角的集合表示及象限角的判定1.給出下列四個命題：①－eq\f(3π,4)是第二象限角；②eq\f(4π,3)是第三象限角；③－400°是第四象限角；④－315°是第一象限角．其中正確的命題有()A．1個B．2個C．3個 D．4個2．設(shè)集合M＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\}(\a\vs4\al\co1(x＝\f(k,2)·180°＋45°，k∈Z))))，N＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝\f(k,4)·180°＋45°，k∈Z))))，那么()A．M＝N B．M?NC．N?M D．M∩N＝?3．終邊在直線y＝eq\r(3)x上的角的集合為________．4．在－720°～0°范圍內(nèi)找出所有與45°終邊相同的角為________．[類題通法]1．利用終邊相同角的集合可以求適合某些條件的角，方法是先寫出與這個角的終邊相同的所有角的集合，然后通過對集合中的參數(shù)k賦值來求得所需角．2．已知角α的終邊位置，確定形如kα，π±α等形式的角終邊的方法：先表示角α的范圍，再寫出kα，π±α等形式的角范圍，然后就k的可能取值討論所求角的終邊位置．考點(diǎn)二三角函數(shù)的定義[典例](1)已知角α的終邊上一點(diǎn)P的坐標(biāo)為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(sin\f(2π,3)，cos\f(2π,3)))，則角α的最小正值為()A.eq\f(5π,6) B.eq\f(2π,3)C.eq\f(5π,3) D.eq\f(11π,6)(2)(2013·臨川期末)已知α是第二象限角，其終邊上一點(diǎn)P(x，eq\r(5))，且cosα＝eq\f(\r(2),4)x，則sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α＋\f(π,2)))＝________.[類題通法]用定義法求三角函數(shù)值的兩種情況(1)已知角α終邊上一點(diǎn)P的坐標(biāo)，則可先求出點(diǎn)P到原點(diǎn)的距離r，然后用三角函數(shù)的定義求解；(2)已知角α的終邊所在的直線方程，則可先設(shè)出終邊上一點(diǎn)的坐標(biāo)，求出此點(diǎn)到原點(diǎn)的距離，然后用三角函數(shù)的定義來求相關(guān)問題．[針對訓(xùn)練]已知角α的終邊在直線y＝－3x上，求10sinα＋eq\f(3,cosα)的值．

考點(diǎn)三扇形的弧長及面積公式[典例](1)已知扇形周長為10，面積是4，求扇形的圓心角．已知扇形周長為40，當(dāng)它的半徑和圓心角取何值時，才使扇形面積最大？．若本例(1)中條件變?yōu)椋簣A弧長度等于該圓內(nèi)接正方形的邊長，則其圓心角的弧度數(shù)是________.[類題通法]弧度制應(yīng)用的關(guān)注點(diǎn)(1)弧度制下l＝|α|·r，S＝eq\f(1,2)lr，此時α為弧度．在角度制下，弧長l＝eq\f(nπr,180)，扇形面積S＝eq\f(nπr2,360)，此時n為角度，它們之間有著必然的聯(lián)系．(2)在解決弧長、面積及弓形面積時要注意合理應(yīng)用圓心角所在的三角形．[針對訓(xùn)練]已知扇形的圓心角是α＝120°，弦長AB＝12cm，求弧長l.第二節(jié)同角三角函數(shù)的基本關(guān)系與誘導(dǎo)公式1．同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式(1)平方關(guān)系：sin2α＋cos2α＝1(α∈R)．(2)商數(shù)關(guān)系：tanα＝eq\f(sinα,cosα)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α≠kπ＋\f(π,2)，k∈Z)).2．六組誘導(dǎo)公式角函數(shù)2kπ＋α(k∈Z)π＋α－απ－αeq\f(π,2)－αeq\f(π,2)＋α正弦sin_α－sin_α－sin_αsin_αcos_αcos_α余弦cos_α－cos_αcos_α－cos_αsin_α－sin_α正切tan_αtan_α－tan_α－tan_α對于角“eq\f(kπ,2)±α”(k∈Z)的三角函數(shù)記憶口訣“奇變偶不變，符號看象限”，“奇變偶不變”是指“當(dāng)k為奇數(shù)時，正弦變余弦，余弦變正弦；當(dāng)k為偶數(shù)時，函數(shù)名不變”．“符號看象限”是指“在α的三角函數(shù)值前面加上當(dāng)α為銳角時，原函數(shù)值的符號”．1．在利用同角三角函數(shù)的平方關(guān)系時，若開方，要特別注意判斷符號．2．注意求值與化簡后的結(jié)果一般要盡可能有理化、整式化．[試一試]1．(2013·全國大綱卷)已知α是第二象限角，sinα＝eq\f(5,13)，則cosα＝()A．－eq\f(12,13)B．－eq\f(5,13)C.eq\f(5,13) D.eq\f(12,13)2．(2013·洛陽統(tǒng)考)coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(20π,3)))＝()A.eq\f(1,2) B.eq\f(\r(3),2)C．－eq\f(1,2) D．－eq\f(\r(3),2)1．誘導(dǎo)公式的應(yīng)用原則負(fù)化正，大化小，化到銳角為終了．2．三角函數(shù)求值與化簡的常用方法(1)弦切互化法：主要利用公式tanα＝eq\f(sinα,cosα)化成正、余弦．(2)和積轉(zhuǎn)換法：利用(sinθ±cosθ)2＝1±2sinθcosθ的關(guān)系進(jìn)行變形、轉(zhuǎn)化．(3)巧用“1”的變換：1＝sin2θ＋cos2θ＝cos2θ(1＋tan2θ)＝taneq\f(π,4)＝….[練一練]1．已知sin(π＋θ)＝－eq\r(3)cos(2π－θ)，|θ|<eq\f(π,2)，則θ等于()A．－eq\f(π,6) B．－eq\f(π,3)C.eq\f(π,6) D.eq\f(π,3)2．(2013·蕪湖調(diào)研)若sinθ·cosθ＝eq\f(1,2)，則tanθ＋eq\f(cosθ,sinθ)的值是()A．－2 B．2C．±2 D.eq\f(1,2)考點(diǎn)一三角函數(shù)的誘導(dǎo)公式1.已知A＝eq\f(sinkπ＋α,sinα)＋eq\f(coskπ＋α,cosα)(k∈Z)，則A的值構(gòu)成的集合是()A．{1，－1,2，－2}B．{－1,1}C．{2，－2} D．{1，－1,0,2，－2}2．sin600°＋tan240°的值等于________．3．已知taneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,6)－α))＝eq\f(\r(3),3)，則taneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5,6)π＋α))＝________.4.eq\f(tanπ＋αcos2π＋αsin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α－\f(3π,2))),cos－α－3πsin－3π－α)＝________.[類題通法]誘導(dǎo)公式應(yīng)用的步驟提醒：誘導(dǎo)公式應(yīng)用時不要忽略了角的范圍和三角函數(shù)的符號． 考點(diǎn)二同角三角函數(shù)的基本關(guān)系[典例]已知α是三角形的內(nèi)角，且sinα＋cosα＝eq\f(1,5).(1)求tanα的值；(2)把eq\f(1,cos2α－sin2α)用tanα表示出來，并求其值．保持本例條件不變，求：(1)eq\f(sinα－4cosα,5sinα＋2cosα)；(2)sin2α＋2sinαcosα的值.[類題通法]1．利用sin2α＋cos2α＝1可以實(shí)現(xiàn)角α的正弦、余弦的互化，利用eq\f(sinα,cosα)＝tanα可以實(shí)現(xiàn)角α的弦切互化．2．應(yīng)用公式時注意方程思想的應(yīng)用：對于sinα＋cosα，sinαcosα，sinα－cosα這三個式子，利用(sinα±cosα)2＝1±2sinαcosα，可以知一求二．3．注意公式逆用及變形應(yīng)用：1＝sin2α＋cos2α，sin2α＝1－cos2α，cos2α＝1－sin2α.[針對訓(xùn)練]已知sinα＝2sinβ，tanα＝3tanβ，求cosα.考點(diǎn)三誘導(dǎo)公式在三角形中的應(yīng)用[典例]在△ABC中，若sin(2π－A)＝－eq\r(2)sin(π－B)，eq\r(3)cosA＝－eq\r(2)cos(π－B)，求△ABC的三個內(nèi)角．

[類題通法]1．誘導(dǎo)公式在三角形中經(jīng)常使用，常用的角的變形有：A＋B＝π－C,2A＋2B＝2π－2C，eq\f(A,2)＋eq\f(B,2)＋eq\f(C,2)＝eq\f(π,2)等，于是可得sin(A＋B)＝sinC，coseq\f(A＋B,2)＝sineq\f(C,2)等；2．求角時，通常是先求出該角的某一個三角函數(shù)值，再結(jié)合其范圍，確定該角的大?。甗針對訓(xùn)練]在△ABC中，sinA＋cosA＝eq\r(2)，eq\r(3)cosA＝－eq\r(2)cos(π－B)，求△ABC的三個內(nèi)角．第三節(jié)三角函數(shù)圖像與性質(zhì)正弦、余弦、正切函數(shù)的圖像與性質(zhì)(下表中k∈Z).函數(shù)y＝sinxy＝cosxy＝tanx圖像定義域RR{x|x∈R，且x≠kπ＋eq\f(π,2)，k∈Z}值域[－1,1][－1,1]R周期性2π2ππ奇偶性奇函數(shù)偶函數(shù)奇函數(shù)單調(diào)性eq\b\lc\[\rc\(\a\vs4\al\co1(2kπ－\f(π,2)，2kπ＋))eq\b\lc\\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,2)))為增；eq\b\lc\[\rc\(\a\vs4\al\co1(2kπ＋))eq\b\lc\\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,2)，2kπ＋\f(3π,2)))為減[2kπ，2kπ＋π]為減；[2kπ－π，2kπ]為增eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(kπ－\f(π,2)，kπ＋\f(π,2)))為增對稱中心(kπ，0)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(kπ＋\f(π,2)，0))eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(kπ,2)，0))對稱軸x＝kπ＋eq\f(π,2)x＝kπ無1．三角函數(shù)存在多個單調(diào)區(qū)間時易錯用“∪”聯(lián)結(jié)．2．研究三角函數(shù)單調(diào)性、對稱中心、奇偶性及對稱軸時易忽視“k∈Z”這一條件．[試一試]1．函數(shù)y＝taneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)－x))的定義域是()A.eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(x≠\f(π,4)))，x∈R))B.eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(x≠－\f(π,4)))，x∈R))C.eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(x≠kπ－\f(3π,4)))，k∈Z，x∈R))D.eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(x≠kπ＋\f(3π,4)))，k∈Z，x∈R))2．若函數(shù)f(x)＝－cos2x，則f(x)的一個遞增區(qū)間為()A.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,4)，0))B.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))C.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)，\f(3π,4))) D.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3π,4)，π))1．三角函數(shù)單調(diào)區(qū)間的求法先把函數(shù)式化成形如y＝Asin(ωx＋φ)(ω>0)的形式，再根據(jù)基本三角函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，求出x所在的區(qū)間．應(yīng)特別注意，考慮問題應(yīng)在函數(shù)的定義域內(nèi)考慮．注意區(qū)分下列兩題的單調(diào)增區(qū)間的不同：(1)y＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x－\f(π,4)))；(2)y＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)－2x)).2．求三角函數(shù)值域(最值)的兩種方法(1)將所給函數(shù)化為y＝Asin(ωx＋φ)的形式，通過分析ωx＋φ的范圍，結(jié)合圖像寫出函數(shù)的值域；(2)換元法：把sinx(cosx)看作一個整體，化為二次函數(shù)來解決．[練一練]1．函數(shù)y＝|sinx|的一個單調(diào)增區(qū)間是()A.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,4)，\f(π,4))) B.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)，\f(3π,4)))C.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(π，\f(3π,2))) D.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3π,2)，2π))2．(2013·天津高考)函數(shù)f(x)＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x－\f(π,4)))在區(qū)間eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))上的最小值為()A．－1 B．－eq\f(\r(2),2)C.eq\f(\r(2),2) D．0考點(diǎn)一三角函數(shù)的定義域與值域1.函數(shù)f(x)＝3sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x－\f(π,6)))在區(qū)間eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))上的值域?yàn)?)A.eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(3,2)，\f(3,2)))B.eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(3,2)，3))C.eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(3\r(3),2)，\f(3\r(3),2))) D.eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(3\r(3),2)，3))2．(2014·湛江調(diào)研)函數(shù)y＝lg(sinx)＋eq\r(cosx－\f(1,2))的定義域?yàn)開_______．3．當(dāng)x∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,6)，\f(7π,6)))時，函數(shù)y＝3－sinx－2cos2x的最小值是________，最大值是________．[類題通法]1．三角函數(shù)定義域的求法求三角函數(shù)定義域?qū)嶋H上是構(gòu)造簡單的三角不等式(組)，常借助三角函數(shù)線或三角函數(shù)圖像來求解．2．三角函數(shù)值域的不同求法(1)利用sinx和cosx的值域直接求；(2)把所給的三角函數(shù)式變換成y＝Asin(ωx＋φ)的形式求值域；(3)把sinx或cosx看作一個整體，轉(zhuǎn)換成二次函數(shù)求值域；(4)利用sinx±cosx和sinxcosx的關(guān)系轉(zhuǎn)換成二次函數(shù)求值域．考點(diǎn)二三角函數(shù)的單調(diào)性[典例]求下列函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間：(1)y＝2sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(π,4)))；(2)y＝taneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,3)－2x)).

若將本例(1)改為“y＝2eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(π,4)))))”，如何求解？解：畫出函數(shù)y＝2eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(π,4)))))的圖像，易知其單調(diào)遞減區(qū)間為eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(kπ＋\f(3π,4)，kπ＋\f(5π,4)))(k∈Z)．[類題通法]三角函數(shù)的單調(diào)區(qū)間的求法(1)代換法：所謂代換法，就是將比較復(fù)雜的三角函數(shù)整理后的整體當(dāng)作一個角u(或t)，利用基本三角函數(shù)的單調(diào)性來求所要求的三角函數(shù)的單調(diào)區(qū)間．(2)圖像法：函數(shù)的單調(diào)性表現(xiàn)在圖像上是：從左到右，圖像上升趨勢的區(qū)間為單調(diào)遞增區(qū)間，圖像下降趨勢的區(qū)間為單調(diào)遞減區(qū)間，畫出三角函數(shù)的圖像，結(jié)合圖像易求它的單調(diào)區(qū)間．提醒：求解三角函數(shù)的單調(diào)區(qū)間時若x的系數(shù)為負(fù)應(yīng)先化為正，同時切莫漏掉考慮函數(shù)自身的定義域．[針對訓(xùn)練]1．(2013·安徽師大附中3月月考)設(shè)ω>0，若函數(shù)f(x)＝sineq\f(ωx,2)coseq\f(ωx,2)在區(qū)間eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(π,3)，\f(π,3)))上單調(diào)遞增，則ω的取值范圍是()A.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(2,3))) B.eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(3,2)))C.eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)，＋∞)) D．[1，＋∞)2．函數(shù)y＝coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π,6)))的單調(diào)遞增區(qū)間為________．考點(diǎn)三三角函數(shù)的對稱性與奇偶性正、余弦函數(shù)的圖像既是中心對稱圖形，又是軸對稱圖形.正切函數(shù)的圖像只是中心對稱圖形，應(yīng)把三角函數(shù)的對稱性與奇偶性結(jié)合，體會二者的統(tǒng)一.歸納起來常見的命題角度有：1求三角函數(shù)的對稱軸或?qū)ΨQ中心；2由三角函數(shù)的對稱性求參數(shù)值；3三角函數(shù)對稱性的應(yīng)用.角度一求三角函數(shù)的對稱軸或?qū)ΨQ中心1．(2014·揭陽一模)當(dāng)x＝eq\f(π,4)時，函數(shù)f(x)＝Asin(x＋φ)(A>0)取得最小值，則函數(shù)y＝feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3π,4)－x))()A．是奇函數(shù)且圖像關(guān)于點(diǎn)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)，0))對稱B．是偶函數(shù)且圖像關(guān)于點(diǎn)(π，0)對稱C．是奇函數(shù)且圖像關(guān)于直線x＝eq\f(π,2)對稱D．是偶函數(shù)且圖像關(guān)于直線x＝π對稱角度二由三角函數(shù)的對稱性求參數(shù)值2．(1)(2013·哈爾濱二模)若f(x)＝2sin(ωx＋φ)＋m，對任意實(shí)數(shù)t都有feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,8)＋t))＝feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,8)－t))，且feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,8)))＝－3，則實(shí)數(shù)m的值等于()A．－1 B．±5C．－5或－1 D．5或1(2)(2014·遼寧六校聯(lián)考)已知ω>0，函數(shù)f(x)＝coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(ωx＋\f(π,3)))的一條對稱軸為x＝eq\f(π,3)，一個對稱中心為點(diǎn)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,12)，0))，則ω有()A．最小值2 B．最大值2C．最小值1 D．最大值1角度三三角函數(shù)對稱性的應(yīng)用3.(2013·遼寧五校聯(lián)考)設(shè)偶函數(shù)f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0,0<φ<π)的部分圖像如圖所示，△KLM為等腰直角三角形，∠KML＝90°，KL＝1，則feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,6)))的值為()A．－eq\f(\r(3),4) B．－eq\f(1,4)C．－eq\f(1,2) D.eq\f(\r(3),4)[類題通法]1．若f(x)＝Asin(ωx＋φ)為偶函數(shù)，則當(dāng)x＝0時，f(x)取得最大或最小值．若f(x)＝Asin(ωx＋φ)為奇函數(shù)，則當(dāng)x＝0時，f(x)＝0.對于函數(shù)y＝Asin(ωx＋φ)，其對稱軸一定經(jīng)過圖像的最高點(diǎn)或最低點(diǎn)，對稱中心一定是函數(shù)的零點(diǎn)，因此在判斷直線x＝x0或點(diǎn)(x0,0)是否是函數(shù)的對稱軸或?qū)ΨQ中心時，可通過檢驗(yàn)f(x0)的值進(jìn)行判斷．第四節(jié)函數(shù)y＝Asin(ωx＋φ)的圖像及三角函數(shù)模型的簡單應(yīng)用1．y＝Asin(ωx＋φ)的有關(guān)概念y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)，x∈[0，＋∞)表示一個振動量時振幅周期頻率相位初相AT＝eq\f(2π,ω)f＝eq\f(1,T)＝eq\f(ω,2π)ωx＋φφ2．用五點(diǎn)法畫y＝Asin(ωx＋φ)一個周期內(nèi)的簡圖用五點(diǎn)法畫y＝Asin(ωx＋φ)一個周期內(nèi)的簡圖時，要找五個關(guān)鍵點(diǎn)，如下表所示：x－eq\f(φ,ω)－eq\f(φ,ω)＋eq\f(π,2ω)eq\f(π－φ,ω)eq\f(3π,2ω)－eq\f(φ,ω)eq\f(2π－φ,ω)ωx＋φ0eq\f(π,2)πeq\f(3π,2)2πy＝Asin(ωx＋φ)0A0－A01．函數(shù)圖像變換要明確，要弄清楚是平移哪個函數(shù)的圖像，得到哪個函數(shù)的圖像；2．要注意平移前后兩個函數(shù)的名稱是否一致，若不一致，應(yīng)先利用誘導(dǎo)公式化為同名函數(shù)；3．由y＝Asinωx的圖像得到y(tǒng)＝Asin(ωx＋φ)的圖像時，需平移的單位數(shù)應(yīng)為eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\f(φ,ω)))，而不是|φ|.[試一試]1．y＝2sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x－\f(π,4)))的振幅、頻率和初相分別為()A．2，eq\f(1,π)，－eq\f(π,4) B．2，eq\f(1,2π)，－eq\f(π,4)C．2，eq\f(1,π)，－eq\f(π,8) D．2，eq\f(1,2π)，－eq\f(π,8)2．把y＝sineq\f(1,2)x的圖像上點(diǎn)的橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼?倍得到y(tǒng)＝sinωx的圖像，則ω的值為()A．1 B．4C.eq\f(1,4) D．21．由函數(shù)y＝sinx的圖像變換得到y(tǒng)＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)的圖像的兩種方法2．學(xué)會列表技巧表中“五點(diǎn)”相鄰兩點(diǎn)的橫向距離均為eq\f(T,4)，利用這一結(jié)論可以較快地寫出“五點(diǎn)”的坐標(biāo)．[練一練]1．要得到函數(shù)y＝cos(2x＋1)的圖像，只要將函數(shù)y＝cos2x的圖像()A．向左平移1個單位 B．向右平移1個單位C．向左平移eq\f(1,2)個單位D．向右平移eq\f(1,2)個單位2．用五點(diǎn)法作函數(shù)y＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(π,6)))在一個周期內(nèi)的圖像時，主要確定的五個點(diǎn)是________、________、________、________、________.考點(diǎn)一求函數(shù)y＝Asin(ωx＋φ)的解析式1.(2013·四川高考)函數(shù)f(x)＝2sin(ωx＋φ)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(ω＞0，－\f(π,2)＜φ＜\f(π,2)))的部分圖像如圖所示，則ω，φ的值分別是()A．2，－eq\f(π,3) B．2，－eq\f(π,6)C．4，－eq\f(π,6) D．4，eq\f(π,3)2．(2014·東北三校聯(lián)考)已知函數(shù)y＝Asin(ωx＋φ)＋k(A>0，ω>0)的最大值為4，最小值為0，最小正周期為eq\f(π,2)，直線x＝eq\f(π,3)是其圖像的一條對稱軸，則下面各式中符合條件的解析式為A．y＝4sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(4x＋\f(π,6)))B．y＝2sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π,3)))＋2C．y＝2sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(4x＋\f(π,3)))＋2D．y＝2sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(4x＋\f(π,6)))＋2[類題通法]確定y＝Asin(ωx＋φ)＋b(A>0，ω>0)的步驟和方法(1)求A，b，確定函數(shù)的最大值M和最小值m，則A＝eq\f(M－m,2)，b＝eq\f(M＋m,2)；(2)求ω，確定函數(shù)的周期T，則可得ω＝eq\f(2π,T)；(3)求φ，常用的方法有：①代入法：把圖像上的一個已知點(diǎn)代入(此時A，ω，b已知)或代入圖像與直線y＝b的交點(diǎn)求解(此時要注意交點(diǎn)在上升區(qū)間上還是在下降區(qū)間上)．②五點(diǎn)法：確定φ值時，往往以尋找“五點(diǎn)法”中的某一個點(diǎn)為突破口．具體如下：“第一點(diǎn)”(即圖像上升時與x軸的交點(diǎn))時ωx＋φ＝0；“第二點(diǎn)”(即圖像的“峰點(diǎn)”)時ωx＋φ＝eq\f(π,2)；“第三點(diǎn)”(即圖像下降時與x軸的交點(diǎn))時ωx＋φ＝π；“第四點(diǎn)”(即圖像的“谷點(diǎn)”)時ωx＋φ＝eq\f(3π,2)；“第五點(diǎn)”時ωx＋φ＝2π.考點(diǎn)二函數(shù)y＝Asin(ωx＋φ)的圖像[典例]已知函數(shù)f(x)＝3sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)x－\f(π,4)))，x∈R.(1)畫出函數(shù)f(x)在長度為一個周期的閉區(qū)間上的簡圖；(2)將函數(shù)y＝sinx的圖像作怎樣的變換可得到f(x)的圖像？本例第(2)問變?yōu)椋河珊瘮?shù)y＝sinx的圖像作怎樣的變換可得到y(tǒng)＝2sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π,3)))的圖像？[類題通法]函數(shù)y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)的圖像的兩種作法(1)五點(diǎn)法：用“五點(diǎn)法”作y＝Asin(ωx＋φ)的簡圖，主要是通過變量代換，設(shè)z＝ωx＋φ，由z取0，eq\f(π,2)，π，eq\f(3,2)π，2π來求出相應(yīng)的x，通過列表，計(jì)算得出五點(diǎn)坐標(biāo)，描點(diǎn)后得出圖像．(2)圖像變換法：由函數(shù)y＝sinx的圖像通過變換得到y(tǒng)＝Asin(ωx＋φ)的圖像，有兩種主要途徑“先平移后伸縮”與“先伸縮后平移”．提醒：五點(diǎn)作圖取值要準(zhǔn)確，一般取一個周期之內(nèi)的；函數(shù)圖像變換要注意順序，平移時兩種平移的長度不同．[針對訓(xùn)練]1．(2013·全國卷Ⅱ)函數(shù)y＝cos(2x＋φ)(－π≤φ<π)的圖像向右平移eq\f(π,2)個單位后，與函數(shù)y＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π,3)))的圖像重合，則φ＝________.2．(2014·合肥模擬)設(shè)函數(shù)f(x)＝cos(ωx＋φ)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(ω>0，－\f(π,2)<φ<0))的最小正周期為π，且feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)))＝eq\f(\r(3),2).(1)求ω和φ的值；(2)在給定坐標(biāo)系中作出函數(shù)f(x)在[0，π]上的圖像．考點(diǎn)三函數(shù)y＝Asin(ωx＋φ)的圖像與性質(zhì)的綜合應(yīng)用[典例](2013·安徽望江中學(xué)模擬)如圖是函數(shù)f(x)＝Asin(ωx＋φ)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(A>0，ω>0，0<φ<\f(π,2)))的部分圖像，M，N是它與x軸的兩個交點(diǎn)，D，C分別為它的最高點(diǎn)和最低點(diǎn)，點(diǎn)F(0,1)是線段MD的中點(diǎn),·＝eq\f(π2,18).(1)求函數(shù)f(x)的解析式；(2)求函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間．[類題通法]函數(shù)y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)的性質(zhì)(1)奇偶性：φ＝kπ時，函數(shù)y＝Asin(ωx＋φ)為奇函數(shù)；φ＝kπ＋eq\f(π,2)(k∈Z)時，函數(shù)y＝Asin(ωx＋φ)為偶函數(shù)．(2)周期性：y＝Asin(ωx＋φ)存在周期性，其最小周期為T＝eq\f(2π,ω).(3)單調(diào)性：根據(jù)y＝sint和t＝ωx＋φ的單調(diào)性來研究，由－eq\f(π,2)＋2kπ≤ωx＋φ≤eq\f(π,2)＋2kπ，k∈Z得單調(diào)增區(qū)間；由eq\f(π,2)＋2kπ≤ωx＋φ≤eq\f(3π,2)＋2kπ，k∈Z得單調(diào)減區(qū)間．(4)對稱性：利用y＝sinx的對稱中心為(kπ，0)(k∈Z)求解，令ωx＋φ＝kπ(k∈Z)，求得x.利用y＝sinx的對稱軸為x＝kπ＋eq\f(π,2)(k∈Z)求解，令ωx＋φ＝kπ＋eq\f(π,2)(k∈Z)得其對稱軸．[針對訓(xùn)練](2013·安徽江南十校聯(lián)考)將函數(shù)y＝sinx的圖像向右平移eq\f(π,3)個單位，再將所得的圖像上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)不變，縱坐標(biāo)伸長到原來的4倍．這樣得到函數(shù)f(x)的圖像．若g(x)＝f(x)cosx＋eq\r(3).(1)將函數(shù)g(x)化成g(x)＝Asin(ωx＋φ)＋Beq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(其中A，ω>0，φ∈\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(π,2)，\f(π,2)))))的形式；(2)若函數(shù)g(x)在區(qū)間eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(π,12)，θ0))上的最大值為2，試求θ0的最小值．

第五節(jié)兩角和與差的正弦、余弦和正切公式1．兩角和與差的正弦、余弦和正切公式sin(α±β)＝sin_αcos_β±cos_αsin_β；cos(α?β)＝cos_αcos_β±sin_αsin_β；tan(α±β)＝eq\f(tanα±tanβ,1?tanαtanβ).2．二倍角的正弦、余弦、正切公式sin2α＝2sin_αcos_α；cos2α＝cos2α－sin2α＝2cos2α－1＝1－2sin2α；tan2α＝eq\f(2tanα,1－tan2α).1．在使用兩角和與差的余弦或正切公式時運(yùn)算符號易錯．2．在(0，π)范圍內(nèi)，sin(α＋β)＝eq\f(\r(2),2)所對應(yīng)的角α＋β不是唯一的．[試一試]1．sin68°sin67°－sin23°cos68°的值為()A．－eq\f(\r(2),2) B.eq\f(\r(2),2)C.eq\f(\r(3),2) D．12．(2013·江西高考)若sineq\f(α,2)＝eq\f(\r(3),3)，則cosα＝()A．－eq\f(2,3) B．－eq\f(1,3)C.eq\f(1,3) D.eq\f(2,3)1．公式的常用變形(1)tanα±tanβ＝tan(α±β)(1?tanαtanβ)；(2)cos2α＝eq\f(1＋cos2α,2)，sin2α＝eq\f(1－cos2α,2)；(3)1＋sin2α＝(sinα＋cosα)2，1－sin2α＝(sinα－cosα)2，sinα±cosα＝eq\r(2)sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α±\f(π,4))).2．角的變換技巧2α＝(α＋β)＋(α－β)；α＝(α＋β)－β；β＝eq\f(α＋β,2)－eq\f(α－β,2)；eq\f(α－β,2)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α＋\f(β,2)))－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(α,2)＋β)).3．三角公式關(guān)系[練一練]1．已知taneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α－\f(π,6)))＝eq\f(3,7)，taneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,6)＋β))＝eq\f(2,5)，則tan(α＋β)的值為()A.eq\f(29,41)B.eq\f(1,29)C.eq\f(1,41)D．12．(2013·全國卷Ⅱ)已知sin2α＝eq\f(2,3)，則cos2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α＋\f(π,4)))＝()A.eq\f(1,6) B.eq\f(1,3)C.eq\f(1,2) D.eq\f(2,3)考點(diǎn)一三角函數(shù)公式的基本應(yīng)用1.已知sinα＝eq\f(3,5)，α∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)，π))，則eq\f(cos2α,\r(2)sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α＋\f(π,4))))＝________.2．(2013·四川高考)設(shè)sin2α＝－sinα，α∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)，π))，則tan2α的值是________．3．已知函數(shù)f(x)＝2sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)x－\f(π,6)))，x∈R.(1)求feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5π,4)))的值；(2)設(shè)α，β∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))，feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(3α＋\f(π,2)))＝eq\f(10,13)，f(3β＋2π)＝eq\f(6,5)，求cos(α＋β)的值．[類題通法]兩角和與差的三角函數(shù)公式可看作是誘導(dǎo)公式的推廣，可用α、β的三角函數(shù)表示α±β的三角函數(shù)，在使用兩角和與差的三角函數(shù)公式時，特別要注意角與角之間的關(guān)系，完成統(tǒng)一角和角與角轉(zhuǎn)換的目的．考點(diǎn)二三角函數(shù)公式的逆用與變形應(yīng)用[典例](1)(2013·長春二模)在△ABC中，若tanA·tanB＝tanA＋tanB＋1，則cosC的值是()A．－eq\f(\r(2),2)B.eq\f(\r(2),2)C.eq\f(1,2) D．－eq\f(1,2)(2)eq\f(sin110°sin20°,cos2155°－sin2155°)的值為()A．－eq\f(1,2) B.eq\f(1,2)C.eq\f(\r(3),2) D．－eq\f(\r(3),2)[類題通法]運(yùn)用兩角和與差的三角函數(shù)公式時，不但要熟練、準(zhǔn)確，而且要熟悉公式的逆用及變形，如tanα＋tanβ＝tan(α＋β)·(1－tanαtanβ)和二倍角的余弦公式的多種變形等．[針對訓(xùn)練]1．(2014·贛州模擬)已知sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α＋\f(π,6)))＋cosα＝eq\f(4\r(3),5)，則sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α＋\f(π,3)))的值為()A.eq\f(4,5) B.eq\f(3,5)C.eq\f(\r(3),2) D.eq\f(\r(3),5)2．若α＋β＝eq\f(3π,4)，則(1－tanα)(1－tanβ)的值是________．考點(diǎn)三角的變換[典例](2014·常州一模)已知α，β均為銳角，且sinα＝eq\f(3,5)，tan(α－β)＝－eq\f(1,3).(1)求sin(α－β)的值；(2)求cosβ的值．在本例條件下，求sin(α－2β)的值.[類題通法]1．當(dāng)“已知角”有兩個時，一般把“所求角”表示為兩個“已知角”的和或差的形式；2．當(dāng)“已知角”有一個時，此時應(yīng)著眼于“所求角”與“已知角”的和或差的關(guān)系，然后應(yīng)用誘導(dǎo)公式把“所求角”變成“已知角”；3．注意角變換技巧．[針對訓(xùn)練]1．設(shè)taneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α＋β))＝eq\f(2,5)，taneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(β－\f(π,4)))＝eq\f(1,4)，則taneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α＋\f(π,4)))＝()A.eq\f(13,18) B.eq\f(13,22)C.eq\f(3,22) D.eq\f(1,6)2．設(shè)α為銳角，若coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α＋\f(π,6)))＝eq\f(4,5)，則sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2α＋\f(π,12)))的值為________．第六節(jié)簡單的三角恒等變換考點(diǎn)一三角函數(shù)式的化簡1.化簡：eq\f(sin2α－2cos2α,sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α－\f(π,4))))＝________.2．化簡：eq\f(2cos4x－2cos2x＋\f(1,2),2tan\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)－x))sin2\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)＋x))).3．化簡：eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,tan\f(α,2))－tan\f(α,2)))·(1＋tanα·taneq\f(α,2))．[類題通法]三角函數(shù)式的化簡要遵循“三看”原則(1)一看“角”，這是最重要的一環(huán)，通過看角之間的差別與聯(lián)系，把角進(jìn)行合理的拆分，從而正確使用公式；(2)二看“函數(shù)名稱”，看函數(shù)名稱之間的差異，從而確定使用的公式，常見的有“切化弦”；(3)三看“結(jié)構(gòu)特征”，分析結(jié)構(gòu)特征，可以幫助我們找到變形的方向，如“遇到分式要通分”等．考點(diǎn)二三角函數(shù)式的求值研究三角函數(shù)式的求值，解題的關(guān)鍵都是找出條件中的角與結(jié)論中的角的聯(lián)系，依據(jù)函數(shù)名稱的變換特點(diǎn)，選擇合適的公式求解.歸納起來常見的命題角度有：1給值求值；2給角求值；3給值求角.角度一給值求值1．(2013·廣東高考)已知函數(shù)f(x)＝eq\r(2)coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(π,12)))，x∈R.(1)求feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,3)))的值；(2)若cosθ＝eq\f(3,5)，θ∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3π,2)，2π))，求feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(θ－\f(π,6))).角度二給角求值2．(1)(2013·重慶高考)4cos50°－tan40°＝()A.eq\r(2)B.eq\f(\r(2)＋\r(3),2)C.eq\r(3) D．2eq\r(2)－1(2)化簡：sin50°(1＋eq\r(3)tan10°)＝________.角度三給值求角3．已知α，β為銳角，sinα＝eq\f(3,5)，coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α＋β))＝－eq\f(4,5)，求2α＋β.4．已知α，β∈(0，π)，且tan(α－β)＝eq\f(1,2)，tanβ＝－eq\f(1,7)，求2α－β的值．

[類題通法]三角函數(shù)求值有三類(1)“給角求值”：一般所給出的角都是非特殊角，從表面上來看是很難的，但仔細(xì)觀察非特殊角與特殊角總有一定關(guān)系，解題時，要利用觀察得到的關(guān)系，結(jié)合公式轉(zhuǎn)化為特殊角并且消除非特殊角的三角函數(shù)而得解．(2)“給值求值”：給出某些角的三角函數(shù)式的值，求另外一些角的三角函數(shù)值，解題關(guān)鍵在于“變角”，使其角相同或具有某種關(guān)系．(3)“給值求角”：實(shí)質(zhì)是轉(zhuǎn)化為“給值求值”，先求角的某一函數(shù)值，再求角的范圍，確定角．考點(diǎn)三三角恒等變換的綜合應(yīng)用[典例](2013·湖南高考)已知函數(shù)f(x)＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(π,6)))＋coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(π,3)))，g(x)＝2sin2eq\f(x,2).(1)若α是第一象限角，且f(α)＝eq\f(3\r(3),5)，求g(α)的值；(2)求使f(x)≥g(x)成立的x的取值集合．[類題通法]三角變換的綜合應(yīng)用主要是將三角變換與三角函數(shù)的性質(zhì)相結(jié)合，通過變換把函數(shù)化為y＝Asin(ωx＋φ)的形式再研究性質(zhì)，解題時注意觀察角、名、結(jié)構(gòu)等特征，注意利用整體思想解決相關(guān)問題．[針對訓(xùn)練](2014·安徽示范高中聯(lián)考)設(shè)函數(shù)f(x)＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π,3)))＋eq\f(\r(3),3)sin2x－eq\f(\r(3),3)cos2x.(1)求f(x)的最小正周期及其圖像的對稱軸方程；(2)將函數(shù)f(x)的圖像向右平移eq\f(π,3)個單位長度，得到函數(shù)g(x)的圖像，求g(x)在區(qū)間eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(π,6)，\f(π,3)))上的值域．第七節(jié)正弦定理和余弦定理1．正弦定理eq\f(a,sinA)＝eq\f(b,sinB)＝eq\f(c,sinC)＝2R，其中R是三角形外接圓的半徑．由正弦定理可以變形：(1)a∶b∶c＝sin_A∶sin_B∶sin_C；(2)a＝2Rsin_A，b＝2Rsin_B，c＝2Rsin_C.2．余弦定理a2＝b2＋c2－2bccos_A，b2＝a2＋c2－2accos_B，c2＝a2＋b2－2abcos_C．余弦定理可以變形：cosA＝eq\f(b2＋c2－a2,2bc)，cosB＝eq\f(a2＋c2－b2,2ac)，cosC＝eq\f(a2＋b2－c2,2ab).3．三角形中常用的面積公式(1)S＝eq\f(1,2)ah(h表示邊a上的高)；(2)S＝eq\f(1,2)bcsinA＝eq\f(1,2)acsinB＝eq\f(1,2)absinC；(3)S＝eq\f(1,2)r(a＋b＋c)(r為三角形的內(nèi)切圓半徑)．1．由正弦定理解已知三角形的兩邊和其中一邊的對角求另一邊的對角時易忽視解的判斷．2．在判斷三角形形狀時，等式兩邊一般不要約去公因式，應(yīng)移項(xiàng)提取公因式，以免漏解．[試一試]1.如圖，在△ABC中，D是邊AC上的點(diǎn)，且AB＝AD,2AB＝eq\r(3)BD，BC＝2BD，則sinC的值為()A.eq\f(\r(3),3) B.eq\f(\r(3),6)C.eq\f(\r(6),3) D.eq\f(\r(6),6)2．在△ABC中，若a＝18，b＝24，A＝45°，則此三角形有()A．無解 B．兩解C．一解 D．解的個數(shù)不確定1．把握三角形中的邊角關(guān)系在三角形中，大角對大邊，大邊對大角；大角的正弦值也較大，正弦值較大的角也較大，即在△ABC中，A＞B?a＞b?sinA＞sinB.2．選用正弦定理或余弦定理的原則如果式子中含有角的余弦或邊的二次式，要考慮用余弦定理；如果遇到的式子中含有角的正弦或邊的一次式時，則考慮用正弦定理；以上特征都不明顯時，則要考慮兩個定理都有可能用到．[練一練]1．在△ABC中，a＝3eq\r(2)，b＝2eq\r(3)，cosC＝eq\f(1,3)，則△ABC的面積為()A．3eq\r(3) B．2eq\r(3)C．4eq\r(3) D.eq\r(3)2．(2013·安徽高考)設(shè)△ABC的內(nèi)角A，B，C所對邊的長分別為a，b，c.若b＋c＝2a，3sinA＝5sinB，則角C＝________.考點(diǎn)一利用正弦、余弦定理解三角形[典例](2013·山東高考)設(shè)△ABC的內(nèi)角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，且a＋c＝6，b＝2，cosB＝eq\f(7,9).(1)求a，c的值；(2)求sin(A－B)的值．

[類題通法]1．應(yīng)熟練掌握正、余弦定理及其變形．解三角形時，有時可用正弦定理，有時也可用余弦定理，應(yīng)注意用哪一個定理更方便、簡捷．2．已知兩角和一邊，該三角形是確定的，其解是唯一的；已知兩邊和一邊的對角，該三角形具有不唯一性，通常根據(jù)三角函數(shù)值的有界性和大邊對大角定理進(jìn)行判斷．[針對訓(xùn)練](2014·豫東、豫北十校聯(lián)考)在△ABC中，角A，B，C的對邊分別是a，b，c，點(diǎn)(a，b)在直線4xcosB－ycosC＝ccosB上．(1)求cosB的值；(2)若·＝3，b＝3eq\r(2)，求a和c.考點(diǎn)二利用正弦、余弦定理判定三角形的形狀[典例]在△ABC中，a，b，c分別為內(nèi)角A，B，C的對邊，且2asinA＝(2b－c)sinB＋(2c－b)sinC.(1)求角A的大??；(2)若sinB＋sinC＝eq\r(3)，試判斷△ABC的形狀．在本例條件下，若sinB·sinC＝sin2A，試判斷△ABC的形狀.[類題通法]判定三角形形狀的兩種常用途徑(1)通過正弦定理和余弦定理，化邊為角，利用三角變換得出三角形內(nèi)角之間的關(guān)系進(jìn)行判斷．(2)利用正弦定理、余弦定理，化角為邊，通過代數(shù)恒等變換，求出邊與邊之間的關(guān)系進(jìn)行判斷．提醒：在判斷三角形形狀時一定要注意解是否唯一，并注重挖掘隱含條件．另外，在變形過程中要注意角A，B，C的范圍對三角函數(shù)值的影響．[針對訓(xùn)練](2013·陜西高考)設(shè)△ABC的內(nèi)角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，若bcosC＋ccosB＝asinA，則△ABC的形狀為()A．銳角三角形B．直角三角形C．鈍角三角形 D．不確定考點(diǎn)三與三角形面積有關(guān)的問題[典例](2013·北京海淀模擬)在△ABC中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，A＝2B，sinB＝eq\f(\r(3),3).(1)求cosA及sinC的值；(2)若b＝2，求△ABC的面積．[類題通法]三角形面積公式的應(yīng)用原則(1)對于面積公式S＝eq\f(1,2)absinC＝eq\f(1,2)acsinB＝eq\f(1,2)bcsinA，一般是已知哪一個角就使用哪一個公式．(2)與面積有關(guān)的問題，一般要用到正弦定理或余弦定理進(jìn)行邊和角的轉(zhuǎn)化．[針對訓(xùn)練]在△ABC中，設(shè)內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(C＋\f(π,4)))＋coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(C－\f(π,4)))＝eq\f(\r