電大高等數(shù)學基礎形成性考核冊答案

高等數(shù)學基礎作業(yè)1第2章極限與連續(xù)（一）單項選擇題⒈下列各函數(shù)對中C）中的兩個函數(shù)相等.A.f(x)=()2，g(x)=xB.f(x)=，g(x)=xC.f(x)=lnx3，g(x)=3lnxD.f(x)=x+1，g(x)=EQ\*jc3\*hps13\o\al(\s\up9(x2),x)一11分析：判斷函數(shù)相等的兩個條件（1）對應法則相同（2）定義域相同A、f(x)=()2=x，定義域{x|x>0}；g(x)=x，定義域為R定義域不同，所以函數(shù)不相等；B、f(x)==x，g(x)=x對應法則不同，所以函數(shù)不相等；C、f(x)=lnx3=3lnx，定義域為{x|x>0}，g(x)=3lnx，定義域為{x|x>0}所以兩個函數(shù)相等EQ\*jc3\*hps13\o\al(\s\up10(x2),x)定義域不同，所以兩函數(shù)不等。故選C⒉設函數(shù)f(x)的定義域為(一父,+父)，則函數(shù)f(x)+f(一x)的圖形關于（C）對稱.A.坐標原點B.x軸C.y軸D.y=x分析：奇函數(shù)，f(一x)=一f(x)，關于原點對稱偶函數(shù)，f(一x)=f(x)，關于y軸對稱y=f(x)與它的反函數(shù)y=f一1(x)關于y=x對稱，奇函數(shù)與偶函數(shù)的前提是定義域關于原點對稱所以g(x)=f(x)+f(一x)為偶函數(shù)，即圖形關于y軸對稱故選C⒊下列函數(shù)中為奇函數(shù)是（B）.B.y=xcosx2)2或者x為奇函數(shù)，cosx為偶函數(shù)，奇偶函數(shù)乘積仍為奇函數(shù)D、y(x)=ln(1x)，非奇非偶函數(shù)故選Bxx⒋下列函數(shù)中為基本初等函數(shù)是（C）. 分析：六種基本初等函數(shù)（1）y=c（常值）———常值函數(shù)（2）y=xa,a為常數(shù)——冪函數(shù))———指數(shù)函數(shù))———對數(shù)函數(shù)（5）y=sinx,y=cosx,y=tanx,y=cotx——三角函數(shù)],——反三角函數(shù)y=arctanx,y=arccotx分段函數(shù)不是基本初等函數(shù)，故D選項不對對照比較選C⒌下列極限存計算不正確的是（D）.x喻mx+2x喻0x喻mx+2x喻0x喻mxx喻mxx喻mx2xx2211x喻mx2+2x喻mx22x喻m21+0x喻0初等函數(shù)在期定義域內是連續(xù)的x喻mxx喻mxx喻m時，1是無窮小量，sinx是有界函數(shù)，x無窮小量×有界函數(shù)仍是無窮小量x喻mxx喻m1x,t喻0tx故選D⒍當x喻0時，變量（C）是無窮小量.sinx1A.B.分析；limf(x)=0，則稱f(x)為x喻a時的無窮小量xaEQ\*jc3\*hps23\o\al(\s\up0(lim),x喻0)x喻0xC、limxsin1=0，無窮小量x×有界函數(shù)sin1仍為無窮小量x喻0xxEQ\*jc3\*hps23\o\al(\s\up0(lim),x喻0)故選C⒎若函數(shù)f(x)在點x0滿足（A），則f(x)在點x0連續(xù)。A.limf(x)=f(x0)B.f(x)在點x0的某個鄰域內有定義x喻x0C.x)=f(x0)D.x)=lim-f(x)x喻x0x喻x0x喻x0分析：連續(xù)的定義：極限存在且等于此點的函數(shù)值，則在此點連續(xù)即limf(x)=f(x0)x喻x0連續(xù)的充分必要條件limf(x)=f(x0)常limf(x)=limf(x)=f(x0)000xxxxxx000故選A（二）填空題分析：求定義域一般遵循的原則（1）偶次根號下的量>0（2）分母的值不等于0（3）對數(shù)符號下量（真值）為正（4）反三角中反正弦、反余弦符號內的量，絕對值小于等于1然后求滿足上述條件的集合的交集，即為定義域f(x)=+ln(1+x)要求EQ\*jc3\*hps23\o\al(\s\up10(x),x)2--EQ\*jc3\*hps23\o\al(\s\up10(x),x)EQ\*jc3\*hps23\o\al(\s\up10(>),牛)EQ\*jc3\*hps23\o\al(\s\up10(3),3)⒉已知函數(shù)f(x+1)=x2+x，則f(x)=x2-x.分析：法一，令t=x+1得x=t-1則f(t)=(t-1)2+(t-1)=t2-t則f(x)=x2-x法二，f(x+1)=x(x+1)=(x+1-1xx喻偽2xxEQ\*jc3\*hps23\o\al(\s\up0(lim),x喻0)1limf(x)=0則lim(1+f(x))f(x)=ex喻偽2xx喻偽2x12=e分析：分段函數(shù)在分段點x0處連續(xù)常limf(x)=limf(x)=f(x0)0000x喻0+x喻0+x喻0+x喻0+lsinlsinx,分析：間斷點即定義域不存在的點或不連續(xù)的點初等函數(shù)在其定義域范圍內都是連續(xù)的分段函數(shù)主要考慮分段點的連續(xù)性（利用連續(xù)的充分必要條件）x喻0+x喻0+x喻0+x喻0+x喻0-x喻0-x喻0-x喻0-不等，所以x=0為其間斷點⒍若limf(x)=A，則當x喻x0時，f(x)-A稱為x喻x0時的無窮小量.x喻x0分析：lim(f(x)-A)=limf(x)-limA=A-A=0x喻x0x喻x0x喻x0所以f(x)-A為x喻x0時的無窮小量（二）計算題lx,求：f(-2),f(0),f(1).(2x-1|x有意義，要求〈l0⒊在半徑為R的半圓內內接一梯形，梯形的一個底邊與半圓的直徑重合，另一底邊的兩個端點在半圓上，試將梯形的面積表示成其高的函數(shù).解：DDOBREhAC設梯形ABCD即為題中要求的梯形，設高為h，即OE=h，下底CD＝2R直角三角形AOE中，利用勾股定理得則上底＝2AE=2R2-h2EQ\*jc3\*hps23\o\al(\s\up0(im),喻0)EQ\*jc3\*hps23\o\al(\s\up8(sin3x),sin2x)sin3x sin3x3xsin3x3xsin3xx喻0sin2x21222x解：喻喻喻EQ\*jc3\*hps23\o\al(\s\up2147483647(im),喻0)EQ\*jc3\*hps23\o\al(\s\up0(lim),x喻0)EQ\*jc3\*hps23\o\al(\s\up0(lim),x喻0)EQ\*jc3\*hps23\o\al(\s\up7(1),s)EQ\*jc3\*hps23\o\al(\s\up0(lim),x喻0) -1⒎求lim.x喻0sinxEQ\*jc3\*hps26\o\al(\s\up2(lim),x喻0)EQ\*jc3\*hps26\o\al(\s\up10(x),n)EQ\*jc3\*hps26\o\al(\s\up2(lim),x喻0)EQ\*jc3\*hps26\o\al(\s\up10(x),n)EQ\*jc3\*hps26\o\al(\s\up2(lim),x喻0)EQ\*jc3\*hps23\o\al(\s\up8(lim),x喻0)EQ\*jc3\*hps23\o\al(\s\up16(0),1)⒏求lim(x-1)x.x喻偽x解：lim(x-1)x1-1xx1-x-11-x-1 x 3-1e-4x2-6x+8EQ\*jc3\*hps23\o\al(\s\up4(im),喻4)EQ\*jc3\*hps23\o\al(\s\up1(lim),x喻4)EQ\*jc3\*hps13\o\al(\s\up10(x2),x2)EQ\*jc3\*hps23\o\al(\s\up8(6),5)EQ\*jc3\*hps23\o\al(\s\up8(x),x)EQ\*jc3\*hps23\o\al(\s\up8(8),4)EQ\*jc3\*hps23\o\al(\s\up1(lim),x喻4)EQ\*jc3\*hps23\o\al(\s\up9(x),x)EQ\*jc3\*hps23\o\al(\s\up9(4),4)EQ\*jc3\*hps23\o\al(\s\up9(x),x)EQ\*jc3\*hps23\o\al(\s\up9(2),1)EQ\*jc3\*hps23\o\al(\s\up1(lim),x喻4)⒑設函數(shù)((x-2)2x-24-22 x-14-13,,討論f(x)的連續(xù)性，并寫出其連續(xù)區(qū)間.解：分別對分段點x=-1,x=1處討論連續(xù)性x喻-1+xlimf(x)x喻-1+xx喻-1-x喻-1-x喻-1-x喻-1-x1f(x)，即f(x)在x=-1處不連續(xù)x喻1-x喻1-x喻1-x喻1-f(x)=f(1)即f(x)在x=1處連續(xù)由（12）得f(x)在除點x=-1外均連續(xù)第3章導數(shù)與微分（一）單項選擇題⒈設f(0)=0且極限EQ\*jc3\*hps23\o\al(\s\up2147483646(im),喻0)存在，則EQ\*jc3\*hps23\o\al(\s\up2147483646(im),喻0)=（C）.A.f(0)B.f,(0)C.f,(x)D.0cvx⒉設f(x)在x0可導，則EQ\*jc3\*hps23\o\al(\s\up2147483646(l),h)EQ\*jc3\*hps23\o\al(\s\up2147483646(im),喻0)f(x0一2EQ\*jc3\*hps23\o\al(\s\up5(h),2)一f(x0)=（D）.A.2f,(x0)B.f,(x0)C.2f,(x0)D.一f,(x0)⒊設f(x)=ex，則EQ\*jc3\*hps23\o\al(\s\up2147483646(l),Δ)EQ\*jc3\*hps23\o\al(\s\up2147483646(m),喻0)f(1+一f(1)=（A）.A.eB.2eC.eD.e⒋設f(x)=x(x一1)(x2)(x99)，則f,(0)=（D）.A.99B.99C.99!D.99!⒌下列結論中正確的是（C）.A.若f(x)在點x0有極限，則在點x0可導.B.若f(x)在點x0連續(xù)，則在點x0可導.C.若f(x)在點x0可導，則在點x0有極限.D.若f(x)在點x0有極限，則在點x0連續(xù).（二）填空題2sin,x⒉設f(ex)=e2x+5ex，則dfEQ\*jc3\*hps23\o\al(\s\up5(ln),x)x)=2lEQ\*jc3\*hps20\o\al(\s\up2(n),x)x+EQ\*jc3\*hps20\o\al(\s\up2(5),x).⒋曲線f(x)=sinx在(,1)處的切線方程是y=x=(1一)2x，則y,=2x2x(1+lnx)（三）計算題⒈求下列函數(shù)的導數(shù)y,：y322x x2x2x2lnxx3,x(sinx+2xln2)34xlnxx2sinxy= sinx(2x)(lnxx2)cosx sin2x⑹4sinxlnxy,=4x3sinxxcosxlnxsinx+x23xy=3x(cosx+2x)(sinx+x2)3xln332x⒉求下列函數(shù)的導數(shù)y,：⑴y=e1x2x2,1x2x ⑵y=lncosx3,sinx3223y=cosx33x=3xtanx⑶y=xxx8,88,88⑸y=cos2exy,=exsin(2ex)2x⑹y22y,=2xexsinex⑺y=sinnxcosnxy,=nsinn1xcosxcosnxnsinnxsin(nx)⑻ysinx2y,=2xln5cosx25sinx2sin2x⑼y22xx⑽y⑾y=xxx+eeexe(xexx⒊在下列方程中，y=y(x)是由方程確定的函數(shù)，求y,：⑴ycosx=e2yy,cosxysinx=2e2yy,,ysinxy=cosx2e2y⑵y=cosylnxy,=siny.y,lnx+cosy.,cosyx(1+sinylnx)2xcosy.y,+2siny=2yx2x2y,y,(2xcosy+)=一2siny,2xy2ysiny222xycosy+xy1+eyy,=2yy,x(2yey)xsiny2yy,=excosy.y,+siny.ex⑺ey exsiny2yexcosyx3eyy,=ex3y2y,212yln2⒋求下列函數(shù)的微分dy：dy=(cEQ\*jc3\*hps23\o\al(\s\up8(一),os)EQ\*jc3\*hps23\o\al(\s\up8(1),2)xEQ\*jc3\*hps23\o\al(\s\up8(co),sin)EQ\*jc3\*hps23\o\al(\s\up8(s),2)EQ\*jc3\*hps23\o\al(\s\up8(x),x))dx 1sinxlnxcosxEQ\*jc3\*hps23\o\al(\s\up8(1),1)EQ\*jc3\*hps23\o\al(\s\up8(x),x) 22xx23兩邊對數(shù)得：lny= EQ\*jc3\*hps23\o\al(\s\up9(1),x) ⑸y=sin2exdy=2sinexex3exdx=sin(2ex)exdx3⑹y=tanexdy=sec2ex33x2dx=3x2ex3sec2xdx⒌求下列函數(shù)的二階導數(shù)：⑴y=xlnx1y=x⑶y=arctanx122x2)222（四）證明題設f(x)是可導的奇函數(shù)，試證f,(x)是偶函數(shù).證：因為f(x)是奇函數(shù)所以f(一x)=一f(x)兩邊導數(shù)得：f,(一x)(一1)=一f,(x)牽f,(一x)=f(x)所以f,(x)是偶函數(shù)。第4章導數(shù)的應用（一）單項選擇題⒈若函數(shù)f(x)滿足條件（D），則存在ξE(a,b)，使得f,(ξ)=f(b一(a).A.在(a,b)內連續(xù)B.在(a,b)內可導C.在(a,b)內連續(xù)且可導D.在[a,b]內連續(xù)，在(a,b)內可導⒉函數(shù)f(x)=x2+4x一1的單調增加區(qū)間是（D）.+4x5在區(qū)間(6,6)內滿足（A）.A.先單調下降再單調上升B.單調下降C.先單調上升再單調下降D.單調上升⒋函數(shù)f(x)滿足f,(x)=0的點，一定是f(x)的（C）.A.間斷點B.極值點C.駐點D.拐點⒌設f(x)在(a,b)內有連續(xù)的二階導數(shù)，x0E(a,b)，若f(x)滿足（C），則f(x)在x0取到極小值.A.f,(x0)>0,f,,(x0)=0B.f,(x0)<0,f,,(x0)=0C.f,(x0)=0,f,,(x0)>0D.f,(x0)=0,f,,(x0)<0⒍設f(x)在(a,b)內有連續(xù)的二階導數(shù)，且f,(x)<0,f,,(x)<0，則f(x)在此區(qū)間內A.單調減少且是凸的B.單調減少且是凹的C.單調增加且是凸的D.單調增加且是凹的（二）填空題⒈設f(x)在(a,b)內可導，x0E(a,b)，且當x<x0時f,(x)<0，當x>x0時f,(x)>0，則x0是f(x)的極小值點.⒉若函數(shù)f(x)在點x0可導，且x0是f(x)的極值點，則f,(x0)=0.⒋函數(shù)f(x)=ex2的單調增加區(qū)間是(0,+偽)⒌若函數(shù)f(x)在[a,b]內恒有f,(x)<0，則f(x)在[a,b]上的最大值是f(a).⒍函數(shù)f(x)=2+5x一3x3（三）計算題2的單調區(qū)間和極值.2列表：極大值：f(2)=27極小值：f(5)=0X2(2,5)5y+極大-極小+y上升27下降0上升⒉求函數(shù)y=x22x+3在區(qū)間[0,3]內的極值點，并求最大值和最小值.f(0)=3f(3)=6f(1)=2牽最大值牽最小值f(3)=6f(1)=2x3⒊試確定函數(shù)y=ax3+bx2+cx+d中的a,b,c,d，使函數(shù)圖形過點(一23EQ\*jc3\*hps23\o\al(\s\up5(a),6)EQ\*jc3\*hps23\o\al(\s\up5(b),2)EQ\*jc3\*hps23\o\al(\s\up12(6),2)⒋求曲線y2=2x上的點，使其到點A(2,0)的距離最短.解：設p(x,y)是y2=2x上的點，d為p到A點的距離，則：EQ\*jc3\*hps23\o\al(\s\up10(1),2):y2=2x上點(1,2)到點A(2,0)的距離最短。⒌圓柱體上底的中心到下底的邊沿的距離為L，問當?shù)装霃脚c高分別為多少時，圓柱體的體積最大？設園柱體半徑為R，高為h，則體積2h=π(L2h2)h :當h=,:當h=,R=L時其體積最大。⒍一體積為V的圓柱體，問底半徑與高各為多少時表面積最小？設園柱體半徑為R，高為h，則體積R22 4V3π牽R=V⒎欲做一個底為正方形，容積為62.5立方米的長方體開口容器，怎樣做法用料最省？解：設底連長為x，高為h。則：答：當?shù)走B長為5米，高為2.5米時用料最省。（四）證明題xxln(1+x)-ln111+ξ(ξ>0)設f(x)=ex-(x+1)f,(x)=ex-1>0(當x>0時）牽當x>0時f(x)單調上升且f(0)=0（一）單項選擇題⒈若f(x)的一個原函數(shù)是，則f,(x)=（D）.A.lnxB.-C.D.⒉下列等式成立的是（D）.Af,(x)dx=f(x)B.∫df(x)=f(x)C.d∫f(x)dx=f(x)D.f(x)dx=f(x)⒊若f(x)=cosx，則∫f,(x)dx=（B）.2f(x3)dx=（B）.A.f(x3)B.x2f(x3)C.f(x)D.f(x3)∫f(x)dx=F(x)+c，則f()dx=（B）.A.F()+cB.2F()+cC.F(2)+cD.F()+c⒍由區(qū)間[a,b]上的兩條光滑曲線y=f(x)和y=g(x)以及兩條直線x=a和x=b所圍成的平面區(qū)域的面積是（C）.A.[f(x)-g(x)]dxB.∫[g(x)-f(x)]dxC.∫f(x)-g(x)dxD.∫[f(x)-g(x)]dx（二）填空題⒈函數(shù)f(x)的不定積分是∫f(x)dx.sin2x+csin2x+cF(x)G(x)=c(常數(shù)）.ex2dx=ex2∫f(x)dx=cos3x+c，則f,(x)=9cos(3x)dx收斂，則p>0（三）計算題xcos2x+xcos2x+EQ\*jc3\*hps13\o\al(\s\up6(e),1)EQ\*jc3\*hps13\o\al(\s\up8(1),0)xe2xdx=e2xxEQ\*jc3\*hps13\o\al(\s\up10(1),0)+e2xdx=e2e2xEQ\*jc3\*hps13\o\al(\s\up4(1),0)=e2+EQ\*jc3\*hps13\o\al(\s\up9(e),1)EQ\*jc3\*hps13\o\al(\s\up9(e),1)EQ\*jc3\*hps13\o\al(\s\up9(e),1)（四）證明題EQ\*jc3\*hps13\o\al(\s\up9(a),a)f(x)dx=0.af(x)dx=af(t)dt=∫aaf(t)dt=∫aaf(t)dtaf(x)dx