高二上學(xué)期數(shù)學(xué)周測試卷

試卷第=page11頁，共=sectionpages44頁試卷第=page22頁，共=sectionpages44頁第一學(xué)期高二數(shù)學(xué)周測（2）一、單選題1．如圖，在四面體中，，，.點在上，且，為中點，則等于（

）

A． B．C． D．2．在空間直角坐標(biāo)系中，點在坐標(biāo)平面內(nèi)的射影為點B，則B的坐標(biāo)為（

）．A． B． C． D．3．已知正方形的邊長為4，平面，，E是中點，F(xiàn)是靠近A的四等分點，則點B到平面的距離為（

）A． B． C． D．4．棱長為1的正方體中，點P在棱CD上運動，點Q在側(cè)面上運動，滿足平面，則線段PQ的最小值為（

）

A． B．1 C． D．5．已知向量，，若，則（

）A． B． C． D．76．如圖，在棱長為1的正方體中，點分別在線段和上．給出下列四個結(jié)論中所有正確結(jié)論的個數(shù)有（

）個

①的最小值為1②四面體的體積為③存在無數(shù)條直線與垂直④點為所在邊中點時，四面體的外接球半徑為A．1 B．2 C．3 D．47．如圖，在棱長為1的正方體中，E為線段的中點，F(xiàn)為線段的中點．直線到平面的距離為（

）．

A． B． C． D．8．如圖，二面角等于，是棱上兩點，分別在半平面內(nèi)，，，且，則的長等于（

）

A． B． C．4 D．2二、多選題9．已知空間中三點，，，則下列結(jié)論錯誤的是（

）A．與是共線向量 B．與同向的單位向量是C．與夾角的余弦值是 D．平面的一個法向量是10．已知正方體的棱長為4，為上靠近的四等分點，為上靠近的四等分點，為四邊形內(nèi)一點（包含邊界），若平面，則下列結(jié)論正確的是（

）A．線段長度的最小值為 B．三棱錐的體積為定值C．平面 D．直線與平面所成角的正弦值為11．如圖，在棱長為2的正方體中，E，F(xiàn)，G分別為棱，，CD的中點，則（

）

A． B．平面BEFC．直線AB交平面EFC于點P，則 D．點到平面BEF的距離為12．若正方體的棱長為，是中點，則下列說法正確的是（

）

A．平面B．到平面的距離為C．平面和底面所成角的余弦值為D．若此正方體每條棱所在直線與平面所成的角都相等，則截此正方體所得截面只能是三角形和六邊形三、填空題13．設(shè)，是兩個不共線的空間向量，若，，，且，，三點共線，則實數(shù)的值為.14．已知空間向量，，則向量在向量上投影向量的坐標(biāo)是.15．已知直線l的一個方向向量為，若點為直線l外一點，為直線l上一點，則點P到直線l的距離為.16．如圖，在三棱錐中，平面，，，，則平面與平面所成銳二面角的余弦值為.答案第=page1313頁，共=sectionpages1414頁答案第=page1414頁，共=sectionpages1414頁參考答案：1．B【分析】根據(jù)空間向量線性運算直接求解即可.【詳解】連接，

.故選：B.2．B【分析】利用空間直角坐標(biāo)系定義即可求得點在坐標(biāo)平面內(nèi)的射影點的坐標(biāo).【詳解】在空間直角坐標(biāo)系中，點在坐標(biāo)平面內(nèi)的射影為點故選：B3．C【分析】建立空間直角坐標(biāo)系，利用坐標(biāo)法求點到平面的距離.【詳解】建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示，依題意，則有，，，，，故，，.設(shè)平面的一個法向量為，則，，所以，取，得，，于是，所以點到平面的距離為.故選：C.4．A【分析】建立空間直角坐標(biāo)系，求出點的坐標(biāo)，設(shè)，，根據(jù)線面垂直得到方程組，求出，，從而求出，得到線段PQ的最小值.【詳解】以為坐標(biāo)原點，分別為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，則，設(shè)，，所以，，因為平面，所以，故，，故，其中，故，故當(dāng)時，，此時滿足要求，所以線段PQ的最小值為.

故選：A5．A【分析】根據(jù)，設(shè)，結(jié)合空間向量的坐標(biāo)運算，求得，從而得到答案.【詳解】由，設(shè)，則，解得：，，，所以，故選：A.6．B【分析】由公垂線的性質(zhì)判斷A;由線面平行的性質(zhì)及錐體的體積公式判斷B;根據(jù)線面垂直的判定及面面平行的判定定理結(jié)合條件判斷C;利用坐標(biāo)法，根據(jù)正弦定理及球的性質(zhì)結(jié)合條件可求四面體的外接球半徑判斷D.【詳解】對于A:因為是正方體，所以平面,平面,又因為平面,平面,所以,，即是與的公垂線段，因為公垂線段是異面直線上兩點間的最短距離，所以當(dāng)分別與重合時，最短為1，故A正確;對于B,因為是正方體，所以平面平面，且平面所以平面，當(dāng)點在上運動時，點到平面的距離不變，距離，由可知，當(dāng)點在上運動時，到的距離不變，所以的面積不變，所以所以B錯誤;對于C,連接，因為平面，平面，且,所以，又平面，所以平面，當(dāng)不在線段端點時，過作交于，過作交于，平面交線段于,

因為平面，平面,故平面，同理平面,又平面，所以平面平面，故平面，又平面，所以，因為點在線段上，所以存在無數(shù)條直線，故C正確;對于D,如圖,以點為原點，以所在直線為軸建立空間直角坐標(biāo)系，則,所以,

則的外接圓的半徑為所以可得等腰的外接圓圓心為,設(shè)四面體的外接球球心為，則平面，所以可設(shè)四面體的外接球球心為，由，可得,解得，所以四面體的外接球的半徑為故D錯誤.故選:AC.7．D【分析】將直線到平面的距離轉(zhuǎn)化為點到平面的距離，建立直角坐標(biāo)系，表示出相應(yīng)點的坐標(biāo)以及向量和法向量，利用距離公式即可求出.【詳解】平面,平面,平面,因此直線到平面的距離等于點到平面的距離，如圖，以點為坐標(biāo)原點，所在的直線為軸，所在的直線為軸，所在的直線為軸，建立直角坐標(biāo)系.

則設(shè)平面的法向量為，則，令，則設(shè)點到平面的距離為，則故直線到平面的距離為.故選：D.8．C【分析】根據(jù)題意，可得，再由空間向量的模長計算公式，代入計算，即可得到結(jié)果.【詳解】由二面角的平面角的定義知，∴，由，得，又，∴，所以，即.故選：C.9．AC【分析】A：利用共線向量定義進行判斷；B：與同向的單位向量；C：利用向量夾角余弦公式判斷；D：設(shè)平面的法向量為，則，由此能求出結(jié)果．【詳解】對于A：，與不是共線向量，故A錯誤；對于B：，則與同向的單位向量是，故B正確；對于C：，∴，故C錯誤；對于D：，設(shè)平面的法向量為，則，取，得，故D正確．故選：AC．10．BC【分析】連接，，取上靠近的四等分點，連接，，，說明點的軌跡為線段，即可判斷A；根據(jù)即可判斷B；根據(jù)線面平行的判定定理即可判斷C；求出及點到平面的距離，進而可求出線面角，即可判斷D.【詳解】如圖，連接，，取上靠近的四等分點，連接，，，因為，，所以，所以且，所以四邊形為平行四邊形，所以，因為面平面，平面平面，平面平面，所以，又平面，平面，所以平面，由題知平面，所以點的軌跡為線段，由，在等腰中，當(dāng)時線段的長度最小，且，故A錯誤；對于B，∵為定值，到平面的距離等于平面的距離，即，由等體積法，∴，故三棱錐的體積為定值，B正確；對于C，因為，平面，平面，所以平面，C正確；對于D，，則，即，點到平面的距離為4，故直線與平面所成角的正弦值為，D錯誤．故選：BC.

11．BCD【分析】對于ABD，以為原點，所在的直線分別為軸建立空間直角坐標(biāo)系，然后利用空間向量逐個分析判斷即可，對于C，延長交于點，連接交于點，然后利用三角形相似可求得結(jié)果.【詳解】如圖，以為原點，所在的直線分別為軸建立空間直角坐標(biāo)系，則，因為E，F(xiàn)，G分別為棱，，CD的中點，所以，對于A，因為，所以，所以A錯誤，對于B，因為，所以，所以，即，因為，平面，所以平面，所以B正確，對于C，延長交于點，連接交于點，因為F為棱的中點，所以，因為，所以，所以，因為‖，所以，所以,因為，所以，所以，所以C正確，

對于D，設(shè)平面的法向量為，則，令，則，因為，所以點到平面BEF的距離為，所以D正確，故選：BCD

12．ACD【分析】以點為坐標(biāo)原點，、、所在直線分別為、、軸建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量法可判斷ABC選項；分析可知平面可與平面平行或重合，作出截面圖形，可判斷D選項.【詳解】以點為坐標(biāo)原點，、、所在直線分別為、、軸建立如下圖所示的空間直角坐標(biāo)系，

則、、、、、、、、，對于A選項，，，，所以，，，所以，，，又因為，、平面，因此，平面，A對；對于B選項，設(shè)平面的法向量為，，，則，取，可得，又因為，則點到平面的距離為，B錯；對于C選項，易知平面的一個法向量為，，所以，平面和底面所成角的余弦值為，C對；對于D選項，取三棱錐，則，且、、兩兩垂直，易知點在平面內(nèi)的射影為等邊的中心，設(shè)、、與平面所成的角分別為、、，設(shè)點到平面的距離為，則，，，所以，，又因為、、，故，即、、與平面所成角相等，因為正方體每條棱所在直線與平面所成的角都相等，若平面與平面平行或重合時，平面截此正方體所得截面的圖形如下面兩幅圖所示，截面分別為三角形、六邊形，

則平面與此正方體的截面圖形只能為三角形或六邊形，若平面在其它位置且與正方體各棱所在直線所成角相等時，同理可知，平面與此正方體的截面圖形只能為三角形或六邊形，D對.故選：ACD.【點睛】方法點睛：求空間角的常用方法：（1）定義法：由異面直線所成角、線面角、二面角的定義，結(jié)合圖形，作出所求空間角，再結(jié)合題中條件，解對應(yīng)的三角形，即可求出結(jié)果；（2）向量法：建立適當(dāng)?shù)目臻g直角坐標(biāo)系，通過計算向量的夾角（兩直線的方向向量、直線的方向向量與平面的法向量、兩平面的法向量）的余弦值，即可求得結(jié)果.13．/【分析】由列方程，化簡求得的值.【詳解】∵，，，∴，又∵A，C，D三點共線，∴，∵，不共線，∴，∴，∴.故答案為：14．【分析】由投影向量的定義結(jié)合向量數(shù)量積的坐標(biāo)運算和向量模的坐標(biāo)運算求解.【