高中數(shù)學(xué) 函數(shù)的基本性質(zhì)

第一章 集合與函數(shù)概念1.3函數(shù)的基本性質(zhì)一、函數(shù)的單調(diào)性1．函數(shù)單調(diào)性的定義一般地，設(shè)函數(shù)f（x）的定義域為I：如果對于定義域I內(nèi)某個區(qū)間D上的任意兩個自變量的值x1，x2，當(dāng)x1<x2時，都有___________，那么就說函數(shù)f（x）在區(qū)間D上是增函數(shù)；如果對于定義域I內(nèi)某個區(qū)間D上的任意兩個自變量的值x1，x2，當(dāng)x1<x2時，都有___________，那么就說函數(shù)f（x）在區(qū)間D上是減函數(shù)．對函數(shù)單調(diào)性的理解（1）定義中的x1，x2有三個特征：①任意性，即不能用特殊值代替；②屬于同一個區(qū)間；③有大小，一般令x1<x2．（2）增、減函數(shù)的定義實現(xiàn)自變量的大小關(guān)系與函數(shù)值的大小關(guān)系的直接轉(zhuǎn)化：若是增函數(shù)，則；若是減函數(shù)，則．2．函數(shù)的單調(diào)區(qū)間如果函數(shù)y=f（x）在區(qū)間D上是增函數(shù)或減函數(shù)，那么就說函數(shù)y=f（x）在這一區(qū)間具有（嚴(yán)格的）___________，區(qū)間D叫做y=f（x）的___________．對函數(shù)單調(diào)區(qū)間的理解（1）一個函數(shù)出現(xiàn)兩個或者兩個以上的單調(diào)區(qū)間時，不能用“∪”連接，而應(yīng)該用“和”連接．（2）函數(shù)的單調(diào)性是函數(shù)的局部性質(zhì)，體現(xiàn)在函數(shù)的定義域或其子區(qū)間上，所以函數(shù)的單調(diào)區(qū)間是其定義域的子集．（3）函數(shù)的單調(diào)性是對某個區(qū)間而言的，在某一點上不存在單調(diào)性．（4）并非所有的函數(shù)都具有單調(diào)性．如函數(shù)就不具有單調(diào)性．常見函數(shù)的單調(diào)性函數(shù)類型單調(diào)性一次函數(shù)在上單調(diào)遞增在上單調(diào)遞減反比例函數(shù)單調(diào)減區(qū)間是和單調(diào)增區(qū)間是和二次函數(shù)單調(diào)減區(qū)間是，單調(diào)增區(qū)間是單調(diào)減區(qū)間是，單調(diào)增區(qū)間是二、函數(shù)的最大（?。┲?．最大值一般地，設(shè)函數(shù)的定義域為I，如果存在實數(shù)M滿足：（1）對于任意的，都有___________；（2）存在，使得___________．那么，我們稱M是函數(shù)的最大值．函數(shù)的最大值對應(yīng)圖象最高點的縱坐標(biāo)．2．最小值一般地，設(shè)函數(shù)的定義域為I，如果存在實數(shù)m滿足：（1）對于任意的，都有___________；（2）存在，使得___________．那么，我們稱m是函數(shù)的最小值．函數(shù)的最小值對應(yīng)圖象最低點的縱坐標(biāo)．函數(shù)的最值與單調(diào)性的關(guān)系如果函數(shù)在區(qū)間上是增函數(shù)，在區(qū)間上是減函數(shù)，則函數(shù)，在處有最大值．如果函數(shù)在區(qū)間上是減函數(shù)，在區(qū)間上是增函數(shù)，則函數(shù)，在處有最小值．如果函數(shù)在區(qū)間上是增（減）函數(shù)，則在區(qū)間的左、右端點處分別取得最?。ù螅┲岛妥畲螅ㄐ。┲担?、函數(shù)的奇偶性一般地，如果對于函數(shù)f（x）的定義域內(nèi)任意一個x，都有___________，那么函數(shù)f（x）就叫做偶函數(shù)．一般地，如果對于函數(shù)f（x）的定義域內(nèi)任意一個x，都有___________，那么函數(shù)f（x）就叫做奇函數(shù)．函數(shù)具有奇偶性的條件（1）①首先考慮定義域是否關(guān)于原點對稱，如果定義域不關(guān)于原點對稱，則函數(shù)是非奇非偶函數(shù)；②在定義域關(guān)于原點對稱的前提下，進(jìn)一步判定是否等于．（2）分段函數(shù)的奇偶性應(yīng)分段說明與的關(guān)系，只有當(dāng)對稱區(qū)間上的對應(yīng)關(guān)系滿足同樣的關(guān)系時，才能判定函數(shù)的奇偶性．（3）若奇函數(shù)的定義域包括，則．四、奇函數(shù)、偶函數(shù)的圖象特征如果一個函數(shù)是奇函數(shù)，則這個函數(shù)的圖象是以___________為對稱中心的中心對稱圖形；反之，如果一個函數(shù)的圖象是以___________為對稱中心的中心對稱圖形，則這個函數(shù)是奇函數(shù)．如果一個函數(shù)是偶函數(shù)，則這個函數(shù)的圖象是以___________為對稱軸的軸對稱圖形；反之，如果一個函數(shù)的圖象關(guān)于___________對稱，則這個函數(shù)是偶函數(shù)．奇、偶函數(shù)的單調(diào)性根據(jù)奇、偶函數(shù)的圖象特征，可以得到：（1）奇函數(shù)在關(guān)于原點對稱的區(qū)間上有相同的單調(diào)性，偶函數(shù)在關(guān)于原點對稱的區(qū)間上有相反的單調(diào)性．上述結(jié)論可簡記為“奇同偶異”．（2）偶函數(shù)在關(guān)于原點對稱的區(qū)間上有相同的最大（?。┲?，取最值時的自變量互為相反數(shù)；奇函數(shù)在關(guān)于原點對稱的區(qū)間上的最值互為相反數(shù)，取最值時的自變量也互為相反數(shù)．性質(zhì)法判斷函數(shù)的奇偶性，在它們的公共定義域上有下面的結(jié)論：偶函數(shù)偶函數(shù)偶函數(shù)偶函數(shù)偶函數(shù)偶函數(shù)偶函數(shù)奇函數(shù)不能確定不能確定奇函數(shù)偶函數(shù)奇函數(shù)偶函數(shù)不能確定不能確定奇函數(shù)偶函數(shù)奇函數(shù)奇函數(shù)奇函數(shù)奇函數(shù)偶函數(shù)奇函數(shù)K知識參考答案：一、1．2．單調(diào)性單調(diào)區(qū)間二、1．（1）（2）2．（1）（2）三、四、坐標(biāo)原點坐標(biāo)原點軸軸 K—重點1．函數(shù)的單調(diào)性及其幾何意義，函數(shù)的最大（?。┲导捌鋷缀我饬x；2．函數(shù)的奇偶性及其判斷方法；3．奇函數(shù)、偶函數(shù)的圖象特征；K—難點1．利用函數(shù)的單調(diào)性定義判斷、證明函數(shù)的單調(diào)性，利用函數(shù)的單調(diào)性求函數(shù)的最大（小）值；2．函數(shù)奇偶性的判斷方法；K—易錯1．寫函數(shù)的單調(diào)區(qū)間或利用單調(diào)區(qū)間求解時，首先要關(guān)注函數(shù)的定義域，否則容易出錯；2．需注意單調(diào)區(qū)間與在區(qū)間上單調(diào)的區(qū)別；3．在判斷函數(shù)的奇偶性時，不僅要關(guān)注定義域是否關(guān)于原點對稱，而且要注意函數(shù)的奇偶性是針對定義域的任意一個而言的.另外，不要忽略奇函數(shù)若在原點處有定義，則．1．函數(shù)單調(diào)性的判斷或證明（1）判斷函數(shù)的單調(diào)性常用定義法和圖象法，而證明函數(shù)的單調(diào)性則應(yīng)嚴(yán)格按照單調(diào)性的定義操作．利用定義法判斷（或運(yùn)用）函數(shù)的單調(diào)性的步驟為：（2）若判斷復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性，則需將函數(shù)解析式分解為一些簡單的函數(shù)，然后判斷外層函數(shù)和內(nèi)層函數(shù)的單調(diào)性，外層函數(shù)和內(nèi)層函數(shù)的單調(diào)性相同時，則復(fù)合函數(shù)單調(diào)遞增；外層函數(shù)和內(nèi)層函數(shù)的單調(diào)性相反時，則復(fù)合函數(shù)單調(diào)遞減．可簡記為“同增異減”，需要注意內(nèi)層函數(shù)的值域在外層函數(shù)的定義域內(nèi)．（3）函數(shù)單調(diào)性的常用結(jié)論：①若均為區(qū)間A上的增（減）函數(shù)，則也是區(qū)間A上的增（減）函數(shù)；②若，則與的單調(diào)性相同；若，則與的單調(diào)性相反；③函數(shù)在公共定義域內(nèi)與，的單調(diào)性相反；④函數(shù)在公共定義域內(nèi)與的單調(diào)性相同．【例1】證明：函數(shù)在區(qū)間（0，＋∞）上是增函數(shù)．【名師點睛】函數(shù)單調(diào)性判斷的等價變形：是增函數(shù)對任意，都有，或，或；是減函數(shù)對任意，都有，或，或．2．單調(diào)性的應(yīng)用函數(shù)單調(diào)性的應(yīng)用主要有：（1）由的大小關(guān)系可以判斷與的大小關(guān)系，也可以由與的大小關(guān)系判斷出的大小關(guān)系．比較函數(shù)值的大小時，若自變量的值不在同一個單調(diào)區(qū)間內(nèi)，要利用其函數(shù)性質(zhì)轉(zhuǎn)化到同一個單調(diào)區(qū)間上進(jìn)行比較．（2）利用函數(shù)的單調(diào)性，求函數(shù)的最大值和最小值．（3）利用函數(shù)的單調(diào)性，求參數(shù)的取值范圍，此時應(yīng)將參數(shù)視為已知數(shù)，依據(jù)函數(shù)的單調(diào)性，確定函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，再與已知單調(diào)區(qū)間比較，即可求出參數(shù)的取值范圍．若函數(shù)為分段函數(shù)，除注意各段的單調(diào)性外，還要注意銜接點．（4）利用函數(shù)的單調(diào)性解不等式．首先根據(jù)函數(shù)的性質(zhì)把不等式轉(zhuǎn)化為的形式，然后根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性去掉“f”號，轉(zhuǎn)化為具體的不等式（組），此時要注意與的取值應(yīng)在外層函數(shù)的定義域內(nèi)．【例2】若函數(shù)在[1，＋∞）上是增函數(shù)，求實數(shù)a的取值范圍．【名師點睛】本題中不一定是二次函數(shù)，所以要對a進(jìn)行討論．另外，需熟練掌握一次函數(shù)、反比例函數(shù)和二次函數(shù)的單調(diào)性，并能靈活應(yīng)用．3．求函數(shù)的最大（?。┲登蠛瘮?shù)最大（?。┲档某Ｓ梅椒ㄓ校海?）配方法，對于“二次函數(shù)類”的函數(shù)，一般通過配方法求最值；（2）圖象法，對于圖象較為容易畫出來的函數(shù)，可借助圖象直觀求出最值；（3）單調(diào)性法，對于較復(fù)雜的函數(shù)，分析單調(diào)性（需給出證明）后，可依據(jù)單調(diào)性確定函數(shù)最值；（4）若函數(shù)存在最值，則最值一定是值域兩端處的值，所以求函數(shù)的最大（?。┲悼衫们笾涤虻姆椒ǎ⒁猓海?）無論用哪種方法求最值，都要考查“等號”是否成立．（2）函數(shù)的值域是一個集合，函數(shù)的最值是一個函數(shù)值，它是值域的一個元素，函數(shù)的值域一定存在，但函數(shù)并不一定有最大（?。┲担纠?】已知函數(shù)，若x∈[t，t＋2]，求函數(shù)f（x）的最值．【例4】下列判斷正確的是A．函數(shù)是奇函數(shù)B．函數(shù)是非奇非偶函數(shù)C．函數(shù)是偶函數(shù)D．函數(shù)既是奇函數(shù)又是偶函數(shù)5．奇偶函數(shù)圖象對稱性的應(yīng)用奇函數(shù)的圖象關(guān)于原點對稱，偶函數(shù)的圖象關(guān)于軸對稱，因此可以借助函數(shù)一部分的圖象得出函數(shù)另一部分的圖象，進(jìn)而研究函數(shù)的性質(zhì)．【例5】設(shè)奇函數(shù)的定義域為．若當(dāng)時，的圖象如圖所示，則不等式的解集是A． B．C． D．6．函數(shù)奇偶性的應(yīng)用（1）利用奇偶性的定義求函數(shù)的值或參數(shù)的值，這是奇偶性定義的逆用，注意利用常見函數(shù)（如一次函數(shù)、反比例函數(shù)、二次函數(shù)）具有奇偶性的條件求解．（2）利用奇偶性求函數(shù)的解析式，已知函數(shù)奇偶性及其在某區(qū)間上的解析式，求該函數(shù)在整個定義域上的解析式的方法是：首先設(shè)出未知區(qū)間上的自變量，利用奇、偶函數(shù)的定義域關(guān)于原點對稱的特點，把它轉(zhuǎn)化到已知的區(qū)間上，代入已知的解析式，然后再次利用函數(shù)的奇偶性求解即可．（3）利用奇偶性比較大小，通過奇函數(shù)在關(guān)于原點對稱的兩個區(qū)間上的單調(diào)性一致，偶函數(shù)在關(guān)于原點對稱的兩個區(qū)間上的單調(diào)性相反，把不在同一單調(diào)區(qū)間上的兩個或多個自變量的函數(shù)值轉(zhuǎn)化到同一單調(diào)區(qū)間上比較大?。纠?】設(shè)偶函數(shù)的定義域為R，當(dāng)x時是增函數(shù)，則，，的大小關(guān)系是A．>> B．>>C．<< D．<<7．對單調(diào)區(qū)間和在區(qū)間上單調(diào)兩個概念的理解【例7】已知二次函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，求實數(shù)的取值范圍．8．判斷函數(shù)奇偶性時，注意定義域【例8】判斷函數(shù)的奇偶性．1．集合{x|x≥2}表示成區(qū)間是A．（2，+∞） B．[2，+∞） C．（–∞，2） D．（–∞，2]2．集合{x|x>0且x≠2}用區(qū)間表示出來A．（0，2） B．（0，+∞）C．（0，2）∪（2，+∞） D．（2，+∞）3．函數(shù)f（x）=（x–1）2的單調(diào)遞增區(qū)間是A．[0，+∞） B．[1，+∞） C．（–∞，0] D．（–∞，1]4．已知函數(shù)f（x）=–1+（x≠1），則f（x）A．在（–1，+∞）上是增函數(shù) B．在（1，+∞）上是增函數(shù)C．在（–1，+∞）上是減函數(shù) D．在（1，+∞）上是減函數(shù)5．函數(shù)y=f（x），x∈[–4，4]的圖象如圖所示，則函數(shù)f（x）的所有單調(diào)遞減區(qū)間為A．[–4，–2] B．[1，4] C．[–4，–2]和[1，4] D．[–4，–2]∪[1，4]6．函數(shù)g（x）=|x|的單調(diào)遞增區(qū)間是A．[0，+∞） B．（–∞，0] C．（–∞，–2] D．[–2，+∞）7．已知f（x）是定義在[0，+∞）上單調(diào)遞增的函數(shù)，則滿足的x取值范圍是A． B． C． D．8．函數(shù)f（x）=–|x–2|的單調(diào)遞減區(qū)間為A．（–∞，2] B．[2，+∞） C．[0，2] D．[0，+∞）9．函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是A． B． C．[4，+∞） D．10．已知函數(shù)f（x）是定義域為R的奇函數(shù)，且f（1）=–2，那么f（–1）+f（0）=A．–2 B．0 C．1 D．211．函數(shù)f（x）=–x的圖象關(guān)于A．坐標(biāo)原點對稱 B．x軸對稱 C．y軸對稱 D．直線y=x對稱12．函數(shù)f（x）=x3+x的圖象關(guān)于A．y軸對稱 B．直線y=–x對稱 C．坐標(biāo)原點對稱 D．直線y=x對稱13．用區(qū)間表示數(shù)集{x|2<x≤4}=___________．14．奇函數(shù)f（x）的圖象關(guān)于點（1，0）對稱，f（3）=2，則f（1）=___________．15．y=f（x）為奇函數(shù)，當(dāng)x>0時f（x）=x（1–x），則當(dāng)x<0時，f（x）=___________．16．函數(shù)f（x）=x+（x>0）的單調(diào)減區(qū)間是A．（2，+∞） B．（0，2） C．（，+∞） D．（0，）17．函數(shù)f（x）=x+（b>0）的單調(diào)減區(qū)間為A．（–，） B．（–∞，–），（，+∞） C．（–∞，–） D．（–，0），（0，）18．函數(shù)f（x）=x+3|x–1|的單調(diào)遞增區(qū)間是A．（–∞，+∞） B．（1，+∞） C．（–∞，1） D．（0，+∞）19．函數(shù)y=，x∈（m，n]最小值為0，則m的取值范圍是A．（1，2） B．（–1，2） .C．[1，2） D．[–1，2）20．已知f（x）=ax2+bx是定義在[a–1，2a]上的偶函數(shù)，那么a+b的值是A． B． C． D．21．已知函數(shù)y=f（x）在R上為奇函數(shù)，且當(dāng)x≥0時，f（x）=x2–2x，則當(dāng)x<0時，f（x）的解析式是A．f（x）=–x（x+2） B．f（x）=x（x–2） C．f（x）=–x（x–2） D．f（x）=x（x+2）22．已知函數(shù)y=f（x）是R上的偶函數(shù)，且f（x）在[0，+∞）上是減函數(shù)，若f（a）≥f（–2），則a的取值范圍是A．a(chǎn)≤–2 B．a(chǎn)≥2 C．a(chǎn)≤–2或a≥2 D．–2≤a≤223．已知一個奇函數(shù)的定義域為{–1，2，a，b}，則a+b=A．–1 B．1 C．0 D．224．已知函數(shù)f（x）=–x|x|+2x，則下列結(jié)論正確的是A．f（x）是偶函數(shù)，遞增區(qū)間是（0，+∞）B．f（x）是偶函數(shù)，遞減區(qū)間是（–∞，–1）C．f（x）是奇函數(shù)，遞增區(qū)間是（–∞，–1）D．f（x）是奇函數(shù)，遞增區(qū)間是（–1，1）25．奇函數(shù)y=f（x）的局部圖象如圖所示，則A．f（2）>0>f（4） B．f（2）<0<f（4）C．f（2）>f（4）>0 D．f（2）<f（4）<026．已知函數(shù)f（x）=x3–3