高中數學 高一數學

基本初等函數（一）2.3冪函數一、冪函數1．冪函數的概念一般地，函數是常數）叫做冪函數，其中是自變量，是常數．2．冪函數的結構特征冪函數的解析式是一個冪的形式，且需滿足：（1）指數為常數；（2）底數為自變量；（3）系數為1．3．冪函數與指數函數的區(qū)別與聯(lián)系函數解析式相同點不同點指數函數右邊都是冪的形式指數是自變量，底數是常數冪函數底數是_______，指數是_______二、冪函數的圖象與性質1．幾個常見冪函數的圖象與性質函數圖象定義域值域奇偶性奇函數偶函數奇函數非奇非偶函數奇函數單調性在上單調遞增在上單調遞減；在上單調遞增在上單調遞增在上單調遞增在和上單調遞減過定點過定點過定點【注】冪函數是常數）中，的取值不一樣，對應的冪函數的定義域不一樣．注意是正分數或負分數（正整數或負整數）時的不同．2．冪函數是常數）的指數對圖象的影響（1）當_______時，函數圖象與坐標軸沒有交點，類似于的圖象，且在第一象限內，逆時針方向指數在增大；（2）當_______時，函數圖象向x軸彎曲，類似于的圖象；（3）當_______時，函數圖象向y軸彎曲，類似于的圖象，而且逆時針方向指數在增大．具體如下：αα>10<α<1α<0圖象特殊點過（0，0），（1，1）過（0，0），（1，1）過（1，1）凹凸性下凸上凸下凸單調性遞增遞增遞減舉例y=x2、3．常用結論（1）冪函數在_______上都有定義．（2）冪函數的圖象均過定點_______．（3）當時，冪函數的圖象均過定點，且在上單調_______．（4）當時，冪函數的圖象均過定點，且在上單調_______．（5）冪函數在第四象限無圖象．K知識參考答案：一、3．自變量 常數二、2．（1） （2） （3）3．（1） （2） （3）遞增 （4）遞減K—重點1．冪函數的定義、圖象與性質；K—難點1．冪函數的性質；K—易錯1．要正確區(qū)分冪函數和指數函數；2．根據冪函數的定義求參數的值時，一定要把求出的參數的值代入題目中進行取舍．1．K重點——冪函數的定義判斷一個函數是否為冪函數的依據是該函數是否為（是常數）的形式，即滿足：（1）指數為常數；（2）底數為自變量；（3）系數為1．【例1】已知冪函數的圖象過點（2，），試求該函數的解析式．2．冪函數的圖象要牢記冪函數的圖象，并能靈活運用．由冪函數的圖象，我們知道：（1）當的值在（0，1）上時，冪函數中指數越大，函數圖象越接近x軸（簡記為“指大圖低”）；當的值在（1，+∞）上時，冪函數中指數越大，函數圖象越遠離x軸．（2）任何冪函數的圖象與坐標軸最多只有一個交點（原點）；任何冪函數的圖象都不經過第四象限．【例2】已知函數，，的圖象如圖所示，則實數的大小關系為A． B．C． D．3．冪函數性質的應用（1）冪函數的單調性主要用來比較指數相同、底數不同的冪的值的大小，這時需要注意冪函數的定義域和利用冪函數的奇偶性進行轉化；（2）與冪函數有關的綜合性問題一般是利用單調性、奇偶性以及函數圖象求函數值域、不等式解集等．【例3】如圖，冪函數的圖象關于軸對稱，且與軸，軸均無交點，求此函數的解析式及不等式的解集．．4．冪函數單調性的應用（1）注意利用冪函數的性質比較冪值大小的方法步驟．第一步，根據指數分清正負；第二步，正數區(qū)分大于1與小于1的情況，a>1，α>0時，aα>1；0<a<1，α>0時，0<aα<1；a>1，α<0時，0<aα<1；0<a<1，α<0時，aα>1；第三步，構造冪函數應用冪函數單調性，特別注意含字母時，要注意底數不在同一單調區(qū)間內的情形．（2）給定一組數值，比較大小的步驟．第一步：區(qū)分正負．一種情形是冪函數或指數函數值即冪式確定符號；另一種情形是對數式確定符號，要根據各自的性質進行．第二步：正數通常還要區(qū)分大于1還是小于1．第三步：同底的冪，用指數函數單調性；同指數的冪用冪函數單調性；同底的對數用對數函數單調性．第四步：對于底數與指數均不相同的冪，或底數與真數均不相同的對數值大小的比較，通常是找一中間值過渡或化同底（化同指）、或放縮、有時作商（或作差）、或指對互化，對數式有時還用換底公式作變換等等．【例4】設，則的大小關系是A．a>c>b B．a>b>cC．c>a>b D．b>c>a5．求出參數后，忽略檢驗致錯【例5】已知冪函數的定義域為，且單調遞減，則_______．1．如果冪函數f（x）=xα的圖象經過點，則α=A．–2 B．2 C． D．2．若冪函數f（x）的圖象經過點（4，），則f（）的值是A．4 B．3 C．2 D．13．冪函數的圖象經過點，則f（2）的值等于A．4 B． C． D．4．函數的單調遞增區(qū)間為A．（–∞，0] B．[0，+∞） C．（0，+∞） D．（–∞，0）5．若冪函數y=f（x）經過點，則此函數在定義域上是A．增函數 B．減函數 C．偶函數 D．奇函數6．若函數f（x）=（m2–m–1）xm是冪函數，且圖象與坐標軸無交點，則f（x）A．是偶函數 B．是奇函數C．是單調遞減函數 D．在定義域內有最小值7．冪函數f（x）=xα的圖象經過點，則實數α=___________．8．冪函數y=f（x）的圖象經過點，則的值為___________．9．已知冪函數f（x）經過點（2，8），則f（3）=___________．10．函數的單調遞減區(qū)間為A． B． C． D．11．已知點在冪函數f（x）=（a–1）xb的圖象上，則函數f（x）是A．定義域內的減函數 B．奇函數C．偶函數 D．定義域內的增函數12．已知點（a，）在冪函數f（x）=（a–1）xb的圖象上，則函數f（x）是A．奇函數 B．偶函數C．定義域內的減函數 D．定義域內的增函數13．已知冪函數f（x）=xa的圖象經過函數g（x）=ax–2–（a>0且a≠1）的圖象所過的定點，則冪函數f（x）不具有的特性是A．在定義域內有單調遞減區(qū)間 B．圖象過定點（1，1）C．是奇函數 D．其定義域是R14．若函數f（x）=（m+2）xa是冪函數，且其圖象過點（2，4），則函數g（x）=loga（x+m）的單調增區(qū)間為A．（–2，+∞） B．（1，+∞） C．（–1，+∞） D．（2，+∞）15．已知函數，則A．存在x0∈R，使得f（x）<0B．對于任意x∈[0，+∞），f（x）≥0C．存在x1，x2∈[0，+∞），使得D．對于任意x1∈[0，+∞），?x2∈[0，+∞）使得f（x1）>f（x2）16．已知冪函數的圖象關于原點對稱且與x軸、y軸均無交點，則整數m的值為___________．17．冪函數f（x）=（t3–t+1）x3t+1是奇函數，則f（2）=___________．18．已知，求實數m的取值范圍．19．已知冪函數f（x）=x（m∈N*）的圖象經過點．（1）試求m的值，并寫出該冪函數的解析式；（2）試求滿足f（1+a）>f（3–）的實數a的取值范圍．20．已知冪函數f（x）=（m3–m+1）x的圖象與x軸和y軸都無交點．（1）求f（x）的解析式；（2）解不等式f（x+1）>f（x–2）．21．已知f（x）=（m2–m–1）x–5m–1是冪函數，且在區(qū)間（0，+∞