《工程數(shù)學》課程十三-復變函數(shù)六

主講教師:冉揚強工程數(shù)學復變函數(shù)輔導課程十三整理課件第四章級數(shù)§3泰勒級數(shù)§4洛朗級數(shù)第二篇復變函數(shù)整理課件第四章級數(shù)§3泰勒級數(shù)解析函數(shù)的冪級數(shù)表示泰勒定理：設在區(qū)域D內(nèi)解析，，只要圓含于D內(nèi)，那么在K內(nèi)

能展成冪級數(shù)其中系數(shù)并且展式是唯一的。整理課件討論：(1)泰勒展式是唯一的，因此可用任何方法來求一個解析函數(shù)的泰勒展式，不一定要用系數(shù)公式來求系數(shù)，即可用間接法展開。(2)由于冪函數(shù)的和是解析函數(shù)，而解析函數(shù)又可以展為唯一的泰勒級數(shù)，所以解析函數(shù)與冪級數(shù)有著不可分割的聯(lián)系。這樣，解析函數(shù)的充分必要條件可表為：在D內(nèi)解析在D內(nèi)任一點的某鄰域內(nèi)可展成冪級數(shù)(泰勒級數(shù))?！?〕幾個初等函數(shù)的泰勒級數(shù)整理課件整理課件§4洛朗級數(shù)一、雙邊冪級數(shù)的收斂圓環(huán)對于第一個級數(shù)，它是冪級數(shù)，故它在收斂圓()內(nèi)表示一個解析函數(shù)，整理課件對第二個級數(shù)，作代換得設它的收斂區(qū)域為()，

那么上級數(shù)在內(nèi)表示一個解析函數(shù)。

即：這樣:

故知級數(shù)(2)在()內(nèi)整理課件表示一個解析函數(shù).這樣級數(shù)(1),(2)有公共的收斂區(qū)域：圓環(huán)這時，我們稱級數(shù)(1)與級數(shù)(2)之和為一雙邊冪級數(shù).表示為：

其收斂區(qū)域為圓環(huán)：定理：雙邊冪級數(shù)在收斂圓環(huán)上絕對收斂并且內(nèi)閉一致收斂，它的和函數(shù)在其上是解析函數(shù).整理課件二、解析函數(shù)的洛朗展式

定理(洛朗定理)：在圓環(huán)H:內(nèi)的解析函數(shù)必可展成級數(shù):系數(shù)稱為洛朗系數(shù)，展式稱為洛朗級數(shù).為圓周，并且展式是唯一的.整理課件討論：1)由于在圓所圍區(qū)域可能有奇點，因此，不能用柯西公式把系數(shù)記為：

2)由于展式的唯一性，可用任何方法來求一個在圓環(huán)內(nèi)解析的函數(shù)的洛朗展式，而不一定用系數(shù)公式來求.3)如在D上有奇點，可作一個圓包圍所有的奇點，那么在該圓的外部區(qū)域，為解折函數(shù)，可展為洛朗級數(shù).

4)同一函數(shù)在不同的圓環(huán)內(nèi)，其洛朗展式也不同.整理課件三、洛朗展式舉例1、孤立奇點：假設函數(shù)在不解析(不解析包括不可微或無定義)，而在的某無心鄰域(即除去圓心的某個圓)內(nèi)解析，那么稱是的一個(單值性)孤立奇點。如果在的無論多么小的鄰域內(nèi)，總有除以外的奇點，那么是的非孤立奇點。例如：函數(shù)它有孤立奇點

又如，函數(shù)，z=0是它的整理課件非孤立奇點.因為的奇點是，即：,顯然可以任意

接近z=0點.這就是說在z=0的無論多么小的鄰域內(nèi)，函數(shù)總有異于z=0的奇點.如果a為的單值性孤立奇點，那么必存在R，使在內(nèi)可展成洛朗級數(shù).例1：函數(shù)有孤立奇點在內(nèi)有：整理課件

在內(nèi)整理課件例2：有孤立奇點z=0，并且在內(nèi)有洛朗展式.例3、將在及，內(nèi)分別展開成洛朗數(shù).整理課件解：(i).(ii).整理課件(iii).整理課件第五章留數(shù)整理課件主要內(nèi)容(1)、單值函數(shù)的孤立奇點(2)、留數(shù)的概念及留數(shù)定理(3)、求留數(shù)的方法(4)、利用留數(shù)定理求復變積分(5)、利用留數(shù)定理求某些實變積分整理課件重點和難點

重點:單值函數(shù)的孤立奇點的分類及特點；留數(shù)定理及留數(shù)的求法；利用留數(shù)定理計算復變函數(shù)積分和實變函數(shù)積分

難點:留數(shù)的求法；留數(shù)定理計算實變積分的方法；單值函數(shù)的孤立奇點整理課件§1孤立奇點一、孤立奇點的三種類型如果a為的孤立奇點，那么在a的某無心鄰域內(nèi)可以展成洛朗級數(shù)

稱為在a點的正那么局部,而稱為在a點的主要局部.孤立奇點分為三種：整理課件(i).可去奇點：如果在a點沒有主要局部，那么稱a為的可去奇點.(ii).m階極點：如果在a點的主要局部有有限多項，設為:那么稱a為的m階級點.(iii).本性奇點：如果在a點的主要局部有無限多項，那么稱a為的本性奇點.二、可去奇點是可去奇點的充要條件為以下條件之一：整理課件(i).在a點沒有主要局部(ii).存在并且有限(iii).在a的充分小鄰域內(nèi)有界例如三、極點為的m階極點的充要條件是以下條件之一：(i).在a點的主要局部為整理課件(ii).在a的某無心鄰域內(nèi)能表示成

其中在a的鄰域內(nèi)解析，且.(iii).假設a為的m階零點，那么a為的m階極點.所謂a為的m階零點，是指，，，，但．顯然，不恒等于零的解析函數(shù)如果能表示成為整理課件

其中在a的鄰域內(nèi)解析，且，m為正整數(shù)，那么a為的m階零點．推論：的