2024屆四川省成都市金牛區(qū)高二上數(shù)學(xué)期末統(tǒng)考模擬試題含解析

2024屆四川省成都市金牛區(qū)高二上數(shù)學(xué)期末統(tǒng)考模擬試題注意事項(xiàng)1．考生要認(rèn)真填寫(xiě)考場(chǎng)號(hào)和座位序號(hào)。2．試題所有答案必須填涂或書(shū)寫(xiě)在答題卡上，在試卷上作答無(wú)效。第一部分必須用2B鉛筆作答；第二部分必須用黑色字跡的簽字筆作答。3．考試結(jié)束后，考生須將試卷和答題卡放在桌面上，待監(jiān)考員收回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．如圖，已知直線AO垂直于平面，垂足為O，BC在平面內(nèi)，AB與平面所成角的大小為，，，則異面直線AB與OC所成角的余弦值為（）A. B.C. D.2．120°的二面角的棱上有A，B兩點(diǎn)，直線AC，BD分別在這個(gè)二面角的兩個(gè)半平面內(nèi)，且都垂直于AB.已知，，，則CD的長(zhǎng)為()A. B.C. D.3．如圖，在正方體ABCD-EFGH中，P在棱BC上，BP=x，平行于BD的直線l在正方形EFGH內(nèi)，點(diǎn)E到直線l的距離記為d，記二面角為A-l-P為θ，已知初始狀態(tài)下x=0，d=0，則（）A.當(dāng)x增大時(shí)，θ先增大后減小 B.當(dāng)x增大時(shí)，θ先減小后增大C.當(dāng)d增大時(shí)，θ先增大后減小 D.當(dāng)d增大時(shí)，θ先減小后增大4．已知空間向量，，則（）A. B.C. D.5．已知，若，則的取值范圍為（）A. B.C. D.6．設(shè)函數(shù)，若的整數(shù)有且僅有兩個(gè)，則的取值范圍是（）A. B.C. D.7．若數(shù)列滿足，則的值為（）A.2 B.C. D.8．已知命題：△中，若，則；命題：函數(shù)，，則的最大值為.則下列命題是真命題的是（）A. B.C. D.9．函數(shù)，則不等式的解集是（）A. B.C. D.10．直線與直線的位置關(guān)系是（）A.相交但不垂直 B.平行C.重合 D.垂直11．在平面內(nèi)，A，B是兩個(gè)定點(diǎn)，C是動(dòng)點(diǎn)，若，則點(diǎn)C的軌跡為（）A.圓 B.橢圓C.拋物線 D.直線12．2021年小林大學(xué)畢業(yè)后，9月1日開(kāi)始工作，他決定給自己開(kāi)一張儲(chǔ)蓄銀行卡，每月的10號(hào)存錢(qián)至該銀行卡（假設(shè)當(dāng)天存錢(qián)次日到賬）.2021年9月10日他給卡上存入1元，以后每月存的錢(qián)數(shù)比上個(gè)月多一倍，則他這張銀行卡賬上存錢(qián)總額（不含銀行利息）首次達(dá)到1萬(wàn)元的時(shí)間為（）A.2022年12月11日 B.2022年11月11日C.2022年10月11日 D.2022年9月11日二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．古希臘數(shù)學(xué)家阿波羅尼斯發(fā)現(xiàn)：平面上到兩定點(diǎn)A，B的距離之比為常數(shù)的點(diǎn)的軌跡是—個(gè)圓心在直線上的圓.該圓被稱為阿氏圓，如圖，在長(zhǎng)方體中，，點(diǎn)E在棱上，，動(dòng)點(diǎn)P滿足，若點(diǎn)P在平面內(nèi)運(yùn)動(dòng)，則點(diǎn)P對(duì)應(yīng)的軌跡的面積是___________；F為的中點(diǎn)，則三棱錐體積的最小值為_(kāi)__________.14．若，若，則______15．已知正數(shù)、滿足，則的最大值為_(kāi)_________16．如圖，已知正方形邊長(zhǎng)為，長(zhǎng)方形中，，平面與平面互相垂直，是線段的中點(diǎn)，則異面直線與所成角的余弦值為_(kāi)_____三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17．（12分）圓的圓心為，且與直線相切，求：（1）求圓的方程；（2）過(guò)的直線與圓交于，兩點(diǎn)，如果，求直線的方程18．（12分）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知橢圓的離心率為，且短軸長(zhǎng)為2.（1）求橢圓C的方程；（2）設(shè)橢圓C的上頂點(diǎn)為B，右焦點(diǎn)為F，直線l與橢圓交于M，N兩點(diǎn)，問(wèn)是否存在直線l，使得F為的垂心，若存在，求出直線l的方程；若不存在，說(shuō)明理由.19．（12分）已知圓C經(jīng)過(guò)、兩點(diǎn)，且圓心在直線上（1）求圓C的方程；（2）若直線經(jīng)過(guò)點(diǎn)且與圓C相切，求直線的方程20．（12分）已知圓C的圓心在x軸上，且經(jīng)過(guò)點(diǎn)，.（1）求圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）過(guò)斜率為的直線與圓C相交于M，N，兩點(diǎn)，求弦MN的長(zhǎng).21．（12分）已知圓：，點(diǎn)A是圓上一動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)，點(diǎn)是線段的中點(diǎn).（1）求點(diǎn)的軌跡方程；（2）直線過(guò)點(diǎn)且與點(diǎn)的軌跡交于A，兩點(diǎn)，若，求直線的方程.22．（10分）如圖，四棱錐P-ABCD的底面為正方形，PD⊥底面ABCD，PD=AD=2，E，F(xiàn)分別為AD和PB的中點(diǎn).請(qǐng)用空間向量知識(shí)解答下列問(wèn)題：（1）求證：EF//平面PDC；（2）求平面EFC與平面PBD夾角的余弦值.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、B【解析】建立空間直角坐標(biāo)系，求出相關(guān)點(diǎn)的坐標(biāo)，求出向量的坐標(biāo)，再利用向量的夾角公式計(jì)算即可.【詳解】如圖，以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)O作OB的垂線為x軸，OB為y軸，OA為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，則，，則，，，，，設(shè)的夾角為，則，所以異面直線AB與OC所成角的余弦值為，故選：B.2、B【解析】由，把展開(kāi)整理求解【詳解】由已知可得：，，，，＝41，∴.故選：B3、C【解析】以F為坐標(biāo)原點(diǎn)，F(xiàn)B，F(xiàn)G，F(xiàn)E所在直線為x軸，y軸，z軸建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為2，則P(2,x,0)，A(2,0,2)，設(shè)直線l與EF，EH交于點(diǎn)M、N，，求得平面AMN的法向量為，平面PMN的法向量，由空間向量的夾角公式表示出，對(duì)于A，B選項(xiàng)，令d=0，則，由函數(shù)的單調(diào)性可判斷；對(duì)于C，D，當(dāng)x=0時(shí)，則，令，利用導(dǎo)函數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性可判斷.【詳解】解：由題意，以F為坐標(biāo)原點(diǎn)，F(xiàn)B，F(xiàn)G，F(xiàn)E所在直線為x軸，y軸，z軸建立空間直角坐標(biāo)系如圖所示,設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為2，則P(2,x,0)，A(2,0,2)，設(shè)直線l與EF，EH交于點(diǎn)M、N，則，所以，，設(shè)平面AMN的法向量為，則，即，令，則，設(shè)平面PMN的法向量為，則，即，令，則，，對(duì)于A，B選項(xiàng)，令d=0，則，顯示函數(shù)在是為減函數(shù)，即減小，則增大，故選項(xiàng)A，B錯(cuò)誤；對(duì)于C，D，對(duì)于給定的，如圖，過(guò)作，垂足為，過(guò)作，垂足為，過(guò)作，垂足為，當(dāng)在下方時(shí)，，設(shè)，則對(duì)于給定的，為定值，此時(shí)設(shè)二面角為，二面角為，則二面角為，且，故，而，故即，當(dāng)時(shí)，為減函數(shù)，故為增函數(shù)，當(dāng)時(shí)，為增函數(shù)，故為減函數(shù)，故先增后減，故D錯(cuò)誤.當(dāng)在上方時(shí)，，則對(duì)于給定的，為定值，則有二面角為，且，因，故為增函數(shù)，故為減函數(shù)，綜上，對(duì)于給定的，隨的增大而減少，故選：C.4、C【解析】直接利用向量的坐標(biāo)運(yùn)算法則求解即可【詳解】因?yàn)椋?，所以，故選：C5、C【解析】根據(jù)題意，由為原點(diǎn)到直線上點(diǎn)的距離的平方，再根據(jù)點(diǎn)到直線垂線段最短，即可求得范圍.【詳解】由，，視為原點(diǎn)到直線上點(diǎn)的距離的平方，根據(jù)點(diǎn)到直線垂線段最短，可得，所有的取值范圍為，故選：C.6、D【解析】等價(jià)于，令，，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，作出的簡(jiǎn)圖，數(shù)形結(jié)合只需滿足即可.【詳解】，即，又，則.令，，，當(dāng)時(shí)，，時(shí)，，時(shí)，，在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，且，且，，作出函數(shù)圖象如圖所示，若的整數(shù)有且僅有兩個(gè)，即只需滿足，即，解得：故選：D7、C【解析】通過(guò)列舉得到數(shù)列具有周期性，，所以.詳解】，同理可得：，可得，則.故選:C.8、A【解析】由三角形內(nèi)角及正弦函數(shù)的性質(zhì)判斷、的真假，應(yīng)用換元法令，結(jié)合對(duì)勾函數(shù)的性質(zhì)確定的值域即知、的真假，根據(jù)各選項(xiàng)復(fù)合命題判斷真假即可.【詳解】由且，可得或，故為假命題，為真命題；令，又，則，故，∵在上遞減，∴，故的最大值為.∴為真命題，為假命題；∴為真，為假，為假，為假.故選：A.9、A【解析】利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)單調(diào)遞增，然后進(jìn)行求解.【詳解】對(duì)函數(shù)進(jìn)行求導(dǎo)：，因?yàn)?，，所以，因?yàn)?，所以f(x)是奇函數(shù),所以在R上單調(diào)遞增，又因?yàn)椋缘慕饧癁?故選：A10、C【解析】把直線化簡(jiǎn)后即可判斷.【詳解】直線可化為，所以直線與直線的位置關(guān)系是重合.故選：C11、A【解析】首先建立平面直角坐標(biāo)系，然后結(jié)合數(shù)量積定義求解其軌跡方程即可.【詳解】設(shè)，以AB中點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系，則：，設(shè)，可得：，從而：，結(jié)合題意可得：，整理可得：，即點(diǎn)C的軌跡是以AB中點(diǎn)為圓心，為半徑的圓.故選：A.【點(diǎn)睛】本題主要考查平面向量及其數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算，軌跡方程的求解等知識(shí)，意在考查學(xué)生的轉(zhuǎn)化能力和計(jì)算求解能力.12、C【解析】分析可得每月所存錢(qián)數(shù)依次成首項(xiàng)為1，公比為2的等比數(shù)列，其前n項(xiàng)和為，分析首次達(dá)到1萬(wàn)元的值，即得解【詳解】依題意可知，小林從第一個(gè)月開(kāi)始，每月所存錢(qián)數(shù)依次成首項(xiàng)為1，公比為2的等比數(shù)列，其前n項(xiàng)和為.因?yàn)闉樵龊瘮?shù)，且，所以第14個(gè)月的10號(hào)存完錢(qián)后，他這張銀行卡賬上存錢(qián)總額首次達(dá)到1萬(wàn)元，即2022年10月11日他這張銀行卡賬上存錢(qián)總額首次達(dá)到1萬(wàn)元.故選：C二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、①.②.【解析】建立空間直角坐標(biāo)系，根據(jù)，可得對(duì)應(yīng)的軌跡方程；先求的面積，其是固定值，要使體積最小，只需求點(diǎn)到平面的距離的最小值即可.【詳解】分別以為軸建系，設(shè)，而,,，,.由,有，化簡(jiǎn)得對(duì)應(yīng)的軌跡方程為.所以點(diǎn)P對(duì)應(yīng)的軌跡的面積是.易得的三個(gè)邊即是邊長(zhǎng)為為的等邊三角形，其面積為，，設(shè)平面的一個(gè)法向量為，則有，可取平面的一個(gè)法向量為，根據(jù)點(diǎn)的軌跡，可設(shè)，，所以點(diǎn)到平面的距離，所以故答案為：；14、2【解析】首先利用二項(xiàng)展開(kāi)式的通項(xiàng)公式，求，再利用賦值法求系數(shù)的和以及【詳解】展開(kāi)式的通項(xiàng)為，令，則，即，故，令，得.又，所以故故答案為：15、【解析】直接利用均值不等式得到答案.【詳解】，當(dāng)即時(shí)等號(hào)成立.故答案為【點(diǎn)睛】本題考查了均值不等式，意在考查學(xué)生的計(jì)算能力.16、【解析】建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，求出，后可求異面直線所成角的余弦值.【詳解】長(zhǎng)方形可得，因?yàn)槠矫媾c平面互相垂直，平面平面，平面，故平面，故可建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則，故，，故.故答案為：三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17、（1）（2）或【解析】由點(diǎn)到直線的距離公式求得圓的半徑，則圓的方程可求；當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)，求得弦長(zhǎng)為，滿足題意；當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)，設(shè)出直線方程，求出圓心到直線的距離，再由垂徑定理列式求，則直線方程可求【小問(wèn)1詳解】由題意得：圓的半徑為，則圓的方程為；【小問(wèn)2詳解】當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)，直線方程為，得，符合題意；當(dāng)直線的斜率存在時(shí)，設(shè)直線方程為，即圓心到直線的距離，則，解得直線的方程為直線的方程為或18、（1）（2）存在，【解析】（1）根據(jù)離心率及短軸長(zhǎng)，利用橢圓中的關(guān)系可以求出橢圓方程；（2）設(shè)直線的方程，與橢圓方程聯(lián)立，根據(jù)一元二次方程根與系數(shù)關(guān)系，結(jié)合已知和斜率公式，可以求出直線的方程.【小問(wèn)1詳解】，，，，橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.【小問(wèn)2詳解】由已知可得，，，∴，∵，設(shè)直線的方程為：，代入橢圓方程整理得，設(shè)，，則，，∵，∴.即，因?yàn)?，，?.所以，或.又時(shí)，直線過(guò)點(diǎn)，不合要求，所以.故存在直線：滿足題設(shè)條件.19、（１）；（２）【解析】（1）根據(jù)圓心在弦的垂直平分線上，先求出弦的垂直平分線的方程與聯(lián)立可求得圓心坐標(biāo)，再用兩點(diǎn)間的距離公式求得半徑，進(jìn)而求得圓的方程；（2）當(dāng)直線斜率不存在時(shí)，與圓相切，方程為；當(dāng)直線斜率存在時(shí)，設(shè)斜率為，寫(xiě)出其點(diǎn)斜式方程，利用圓心到直線的距離等于半徑建立方程求解出的值.試題解析：（1）依題意知線段的中點(diǎn)坐標(biāo)是，直線的斜率為，故線段的中垂線方程是即，解方程組得，即圓心的坐標(biāo)為，圓的半徑，故圓的方程是（2）若直線斜率不存在，則直線方程是，與圓相離，不合題意；若直線斜率存在，可設(shè)直線方程是，即，因?yàn)橹本€與圓相切，所以有，解得或所以直線的方程是或.20、（1）（2）【解析】（1）由圓的性質(zhì)可得圓心在線段的垂直平分線上，由題意求出的垂直平分線方程，從而得出圓心坐標(biāo)，再求出半徑，得到答案.（2）由題意先求出滿足條件的直線方程，求出圓心到直線的距離，由垂經(jīng)定理可得圓的弦長(zhǎng).【小問(wèn)1詳解】由題意設(shè)圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為設(shè)的中點(diǎn)為，則,由圓的性質(zhì)可得則,又，所以則直線的方程為，即則圓C的圓心在直線上，即，故所以圓心,半徑所以圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為【小問(wèn)2詳解】過(guò)斜率為的直線方程為：圓心到該直線的距離為所以21、（1）；（2）x＝1或y＝1.【解析】(1)設(shè)線段中點(diǎn)為，點(diǎn)，用x，y表示，代入方程即可；(2)分l斜率存在和不存在進(jìn)行討論，根據(jù)弦長(zhǎng)求出l方程.【小問(wèn)1詳解】設(shè)線段中點(diǎn)為，點(diǎn)，，，，，，即點(diǎn)C的軌跡方程為.【小問(wèn)2詳解】直線l的斜率不存在時(shí)，l為x＝1，代入得，則弦長(zhǎng)滿足題意；直線l斜率存在時(shí)，設(shè)直線l斜率為k，其方程為，即，圓的圓心到l的距離，則；綜上，l為x＝1或y＝1.22、（1）證明見(jiàn)解析（2）【解析】（1）以為原點(diǎn)，以所在的直線分別為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，然后求出平面的法向量，再求出，判