2024屆天津四中數(shù)學(xué)高二上期末質(zhì)量檢測模擬試題含解析

2024屆天津四中數(shù)學(xué)高二上期末質(zhì)量檢測模擬試題注意事項(xiàng):1．答題前，考生先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號碼填寫清楚，將條形碼準(zhǔn)確粘貼在條形碼區(qū)域內(nèi)。2．答題時(shí)請按要求用筆。3．請按照題號順序在答題卡各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無效；在草稿紙、試卷上答題無效。4．作圖可先使用鉛筆畫出，確定后必須用黑色字跡的簽字筆描黑。5．保持卡面清潔，不要折暴、不要弄破、弄皺，不準(zhǔn)使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．已知曲線，則曲線W上的點(diǎn)到原點(diǎn)距離的最小值是（）A. B.C. D.2．1202年，意大利數(shù)學(xué)家斐波那契出版了他的《算盤全書》．他在書中收錄了一些有意思的問題，其中有一個(gè)關(guān)于兔子繁殖的問題：如果1對兔子每月生1對小兔子（一雌一雄），而每1對小兔子出生后的第3個(gè)月里，又能生1對小兔子，假定在不發(fā)生死亡的情況下，如果用Fn表示第n個(gè)月的兔子的總對數(shù)，則有(n＞2)，．設(shè)數(shù)列{an}滿足：an＝，則數(shù)列{an}的前36項(xiàng)和為（）A.11 B.12C.13 D.183．將一個(gè)表面積為的球用一個(gè)正方體盒子裝起來，則這個(gè)正方體盒子的最小體積為（）A. B.C. D.4．設(shè)，命題“若，則或”的否命題是（）A.若，則或B.若，則或C.若，則且D.若，則且5．如圖是正方體的平面展開圖，在這個(gè)正方體中①與平行；②與是異面直線；③與成60°角；④與是異面直線以上四個(gè)結(jié)論中，正確結(jié)論的序號是A.①②③ B.②④C.③④ D.②③④6．如圖，空間四邊形中，，，，且，，則（）A. B.C. D.7．過拋物線的焦點(diǎn)F的直線l與拋物線交于PQ兩點(diǎn)，若以線段PQ為直徑的圓與直線相切，則（）A.8 B.7C.6 D.58．已知為等比數(shù)列的前n項(xiàng)和，，，則（）A.30 B.C. D.30或9．圓：與圓：的位置關(guān)系是（）A.內(nèi)切 B.外切C.相交 D.相離10．已知橢圓C：的左、右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，過點(diǎn)F1作直線l交橢圓C于M，N兩點(diǎn)，則的周長為（）A.3 B.4C.6 D.811．在中，B=30°，BC=2，AB=，則邊AC的長等于（）A. B.1C. D.212．已知數(shù)列滿足，，記數(shù)列的前n項(xiàng)和為，若對于任意，不等式恒成立，則實(shí)數(shù)k的取值范圍為（）A. B.C. D.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．雙曲線的左焦點(diǎn)到直線的距離為________.14．已知雙曲線的兩個(gè)焦點(diǎn)分別為，，為雙曲線上一點(diǎn)，且，則的值為________15．雙曲線上的一點(diǎn)到一個(gè)焦點(diǎn)的距離等于1，那么點(diǎn)到另一個(gè)焦點(diǎn)的距離為_________.16．如圖是用斜二測畫法畫出水平放置的正三角形ABC的直觀圖，其中，則三角形的面積為______.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）如圖，在四棱錐P-ABCD中，PD=2AD=4，PD⊥CD，PD⊥AD，底面ABCD為正方形，M、N、Q分別為AD、PD、BC的中點(diǎn)（1）證明：面PAQ//面MNC；（2）求二面角M-NC-D的余弦值18．（12分）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別是，，離心率，請?jiān)購南旅鎯蓚€(gè)條件中選擇一個(gè)作為已知條件，完成下面的問題：①橢圓C過點(diǎn)；②以點(diǎn)為圓心，3為半徑的圓與以點(diǎn)為圓心，1為半徑的圓相交，且交點(diǎn)在橢圓C上（只能從①②中選擇一個(gè)作為已知）（1）求橢圓C的方程；（2）已知過點(diǎn)的直線l交橢圓C于M，N兩點(diǎn)，點(diǎn)N關(guān)于x軸的對稱點(diǎn)為，且，M，三點(diǎn)構(gòu)成一個(gè)三角形，求證：直線過定點(diǎn)，并求面積的最大值.19．（12分）已知函數(shù)（a為非零常數(shù)）（1）若f（x）在處的切線經(jīng)過點(diǎn)（2，ln2），求實(shí)數(shù)a的值；（2）有兩個(gè)極值點(diǎn)，.①求實(shí)數(shù)a的取值范圍；②若，證明：.20．（12分）如圖，在四棱錐P-ABCD中，平面ABCD，，，，，.（1）證明：平面平面PAC；（2）求平面PCD與平面PAB夾角的余弦值.21．（12分）已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，若.（1）求的通項(xiàng)公式；（2）設(shè)，求數(shù)列的前項(xiàng)和.22．（10分）為了解某城中村居民收入情況，小明利用周末時(shí)間對該地在崗居民月收入進(jìn)行了抽樣調(diào)查，并將調(diào)查數(shù)據(jù)整理得到如下頻率分布直方圖：根據(jù)直方圖估算：（1）在該地隨機(jī)調(diào)查一位在崗居民，該居民收入在區(qū)間內(nèi)的概率；（2）該地區(qū)在崗居民月收入的平均數(shù)和中位數(shù)；

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、A【解析】化簡方程，得到，求出的范圍，作出曲線的圖形，通過圖象觀察，即可得到原點(diǎn)距離的最小值詳解】解：即為，兩邊平方，可得，即有，則作出曲線的圖形，如下：則點(diǎn)與點(diǎn)或的距離最小，且為故選：A2、B【解析】由奇數(shù)+奇數(shù)＝偶數(shù)，奇數(shù)+偶數(shù)＝奇數(shù)可知，數(shù)列{Fn}中F3，F(xiàn)6，F(xiàn)9，F(xiàn)12，，F(xiàn)3n為偶數(shù)，其余項(xiàng)都為奇數(shù)，再根據(jù)an＝，即可求出數(shù)列{an}的前36項(xiàng)和【詳解】由奇數(shù)+奇數(shù)＝偶數(shù)，奇數(shù)+偶數(shù)＝奇數(shù)可知，數(shù)列{Fn}中F3，F(xiàn)6，F(xiàn)9，F(xiàn)12，，F(xiàn)3n為偶數(shù)，其余項(xiàng)都為奇數(shù)，∴前36項(xiàng)共有12項(xiàng)為偶數(shù)，∴數(shù)列{an}的前36項(xiàng)和為12×1+24×0＝12.故選：B3、C【解析】求出球的半徑，要使這個(gè)正方形盒子的體積最小，則這個(gè)正方體正好是該球的外切正方體，所以正方體的棱長等于球的直徑，從而可得出答案.【詳解】解：設(shè)球的半徑為，則，得，故該球的半徑為11cm，若要使這個(gè)正方形盒子的體積最小，則這個(gè)正方體正好是該球的外切正方體，所以正方體的棱長等于球的直徑，即22cm，所以這個(gè)正方體盒子的最小體積為.故選：C.4、C【解析】根據(jù)否命題的定義直接可得.【詳解】根據(jù)否命題的定義可得命題“若，則或”的否命題是若，則且，故選：C.5、C【解析】根據(jù)平面展開圖可得原正方體，根據(jù)各點(diǎn)的分布逐項(xiàng)判斷可得正確的選項(xiàng).【詳解】由平面展開圖可得原正方體如圖所示：由圖可得：為異面直線，與不是異面直線，是異面直線，故①②錯(cuò)誤，④正確.連接，則為等邊三角形，而，故或其補(bǔ)角為與所成的角，因?yàn)椋逝c所成的角為，故③正確.綜上，正確命題的序號為：③④.故選：C.【點(diǎn)睛】本題考查正方體的平面展開圖，注意展開圖中的點(diǎn)與正方體中的頂點(diǎn)的對應(yīng)關(guān)系，本題屬于容易題.6、C【解析】根據(jù)空間向量的線性運(yùn)算即可求解.【詳解】因?yàn)?，又因?yàn)椋?，所?故選：C7、C【解析】依據(jù)拋物線定義可以證明：以過拋物線焦點(diǎn)F的弦PQ為直徑的圓與其準(zhǔn)線相切，則可以順利求得線段的長.【詳解】拋物線的焦點(diǎn)F，準(zhǔn)線取PQ中點(diǎn)H，分別過P、Q、H作拋物線準(zhǔn)線的垂線，垂足分別為N、M、E則四邊形為直角梯形，為梯形中位線，由拋物線定義可知，,，則故，即點(diǎn)H到拋物線準(zhǔn)線的距離為的一半，則以線段PQ為直徑的圓與拋物線的準(zhǔn)線相切.又以線段PQ為直徑的圓與直線相切，則以線段PQ為直徑的圓的直徑等于直線與直線間的距離.即故選：C8、A【解析】利用等比數(shù)列基本量代換代入，列方程組，即可求解.【詳解】由得，則等比數(shù)列的公比，則得，令，則即，解得或（舍去），，則故選：A9、A【解析】先計(jì)算兩圓心之間的距離，判斷距離和半徑和、半徑差之間的關(guān)系即可.【詳解】圓圓心，半徑，圓圓心，半徑，兩圓心之間的距離，故兩圓內(nèi)切.故選：A.10、D【解析】由的周長為，結(jié)合橢圓的定義，即可求解.【詳解】由題意，橢圓，可得，即，如圖所示，根據(jù)橢圓的定義，可得的周長為故選：D.11、B【解析】利用余弦定理即得【詳解】由余弦定理，得，解得AC=1故選：B.12、C【解析】由已知得，根據(jù)等比數(shù)列的定義得數(shù)列是首項(xiàng)為，公比為的等比數(shù)列，由此求得，然后利用裂項(xiàng)求和法求得，進(jìn)而求得的取值范圍.【詳解】解：依題意，當(dāng)時(shí)，，則，所以數(shù)列是首項(xiàng)為，公比為的等比數(shù)列，，即，所以，所以，所以的取值范圍是.故選：C.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】根據(jù)雙曲線方程求得左焦點(diǎn)的坐標(biāo)，利用點(diǎn)到直線的距離公式即可求得結(jié)果.【詳解】因?yàn)殡p曲線的方程為，設(shè)其左焦點(diǎn)的坐標(biāo)為，故可得，解得，故左焦點(diǎn)的坐標(biāo)為，則其到直線的距離.故答案為：.14、2【解析】求得雙曲線的a，b，c，不妨設(shè)P為雙曲線右支上的點(diǎn)，|PF1|＝m，|PF2|＝n，利用雙曲線的定義、余弦定理列出方程組，求出mn即可.【詳解】雙曲線的a＝2，b＝1，c＝，不妨設(shè)P為雙曲線右支上的點(diǎn)，|PF1|＝m，|PF2|＝n，則，①由余弦定理可得，②聯(lián)立①②可得故答案為：215、【解析】首先將已知的雙曲線方程轉(zhuǎn)化為標(biāo)準(zhǔn)方程，然后根據(jù)雙曲線的定義知雙曲線上的點(diǎn)到兩個(gè)焦點(diǎn)的距離之差的絕對值為，即可求出點(diǎn)到另一個(gè)焦點(diǎn)的距離為17.考點(diǎn)：雙曲線的定義.16、【解析】根據(jù)直觀圖和平面圖的關(guān)系可求出，進(jìn)而利用面積公式可得三角形的面積【詳解】由已知可得則故答案為：.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）證明過程見解析（2）【解析】（1）由線線平行證明線面平行；（2）建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量進(jìn)行求解二面角的余弦值.【小問1詳解】因?yàn)镸，N是DA，PD的中點(diǎn)，所以MN//AP，因?yàn)槠矫鍼AQ，平面PAQ，所以MN//平面PAQ因?yàn)樗倪呅蜛BCD為正方形，且Q為BC中點(diǎn)，所以MA//CQ，且MA=CQ，所以四邊形MAQC為平行四邊形，所以CM//AQ，因?yàn)槠矫鍼AQ，平面PAQ，所以MC//平面PAQ，因?yàn)?，所以面PAQ//面MNC【小問2詳解】因?yàn)镻D⊥CD，PD⊥AD，AD⊥CD故以D為坐標(biāo)原點(diǎn)，DA所在直線為x軸，DC所在直線為y軸，DP所在直線為z軸建立空間直角坐標(biāo)系，則，，，設(shè)平面NMC的法向量為，則，令得：，所以，平面NDC的法向量為，則，設(shè)二面角M-NC-D的大小為，顯然為銳角，則18、（1）（2）證明見解析，【解析】（1）若選①，則由題意可得，解方程組求出，從而可求得橢圓方程，若選②，，再結(jié)合離心率和求出，從而可求得橢圓方程，（2）由題意設(shè)直線MN的方程為，設(shè)，，，將直線方程代入橢圓方程中，消去，再利用根與系數(shù)的關(guān)系，表示出直線的方程，令，求出，結(jié)合前面的式子化簡可得線過的定點(diǎn)，表示出的面積，利用基本不等式可求得其最大值【小問1詳解】若選①：由題意知，∴.所以橢圓C的方程為.若選②：設(shè)圓與圓相交于點(diǎn)Q.由題意知：.又因?yàn)辄c(diǎn)Q在橢圓上，所以，∴.又因?yàn)?，∴，?所以橢圓C的方程為.【小問2詳解】由題易知直線MN斜率存在且不為0，因?yàn)?，故設(shè)直線MN方程為，設(shè)，，，∴，∴，，因?yàn)辄c(diǎn)N關(guān)于x軸對稱點(diǎn)為，所以，所以直線方程為，令，∴.又，∴.所以直線過定點(diǎn)，∴.當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，取等號.所以面積的最大值為.19、（1）（2）①（0，1）；②證明見解析【解析】小問1先求出切線方程，再將點(diǎn)（2，ln2），代入即可求出a的值；小問2的①通過求導(dǎo)，再結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性求出a的取值范圍；②結(jié)合已知條件，構(gòu)造新函數(shù)即可得到證明.【小問1詳解】，∴切線方程為，將點(diǎn)代入解得：【小問2詳解】①當(dāng)時(shí)，即時(shí)，，f（x）在（-1，+∞）上單調(diào)遞增；f（x）無極值點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，由得，，故f（x）在（-1，-）上單調(diào)遞增，在（-，）上單調(diào)遞減，在（，+∞）上單調(diào)遞增，f（x）有兩個(gè)極值點(diǎn)；.當(dāng)時(shí)，由得，，f（x）（，）上單調(diào)遞減，在（，+∞）上單調(diào)遞此時(shí)，f（x）有1個(gè)極值點(diǎn)，綜上，當(dāng)時(shí)，f（x）有兩個(gè)極值點(diǎn)，即，即a的范圍是（0，1）②由（2）可知，又由可知，可得.要證，即證，即證，即證即證令函數(shù)，x（0，1），故t（x）在（0，1）上單調(diào)遞增，又所以在上恒成立，即所以.20、（1）證明見解析（2）【解析】（1）過點(diǎn)C作于點(diǎn)H，由平面幾何知識證明，然后由線面垂直的性質(zhì)得線線垂直，從而得線面垂直，然后可得面面垂直；（2）建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，用空間向量法求二面角【小問1詳解】在梯形ABCD中，過點(diǎn)C作于點(diǎn)H.由，，，，可知，，，.所以，即，①因?yàn)槠矫鍭BCD，平面ABCD，所以，②由①②及，平面PAC，得平面PAC.又由平面PCD，所以平面平面PAC.【小問2詳解】因?yàn)锳B，AD，AP兩兩垂直，所以以A為原點(diǎn)，以AB，AD，AP所在的直線分別為x，y，z軸建立空間直角坐標(biāo)系，可得A（0，0，0），B（1，0，0），C（1，1，0），D（0，2，0），P（0，0，3），，.設(shè)平面PCD的法向量為，則，取，則，，則.平面PAB的一個(gè)法向量為，所以，所以平面PCD與平面PAB所成的銳二面角的余弦值為.21、（1）（2）【解析】(1)根據(jù)所給條件先求出首項(xiàng)，然后仿寫，作差即可得到的通項(xiàng)公式；(2)根