2024屆浙江省寧?？h十校聯考數學高二上期末考試試題含解析

2024屆浙江省寧海縣十校聯考數學高二上期末考試試題考生須知：1．全卷分選擇題和非選擇題兩部分，全部在答題紙上作答。選擇題必須用2B鉛筆填涂；非選擇題的答案必須用黑色字跡的鋼筆或答字筆寫在“答題紙”相應位置上。2．請用黑色字跡的鋼筆或答字筆在“答題紙”上先填寫姓名和準考證號。3．保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，在草稿紙、試題卷上答題無效。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．已知為等腰直角三角形的直角頂點，以為旋轉軸旋轉一周得到幾何體，是底面圓上的弦，為等邊三角形，則異面直線與所成角的余弦值為（）A. B.C. D.2．若正三棱柱的所有棱長都相等，D是的中點，則直線AD與平面所成角的正弦值為A. B.C. D.3．若直線先向右平移一個單位，再向下平移一個單位，然后與圓相切，則c的值為（）A.8或-2 B.6或-4C.4或-6 D.2或-84．已知雙曲線的一條漸近線方程為，它的焦距為2，則雙曲線的方程為（）A B.C. D.5．圓與圓的交點為A，B，則線段AB的垂直平分線的方程是A. B.C. D.6．在的展開式中，只有第4項的二項式系數最大，且所有項的系數和為0，則含的項的系數為（）A.-20 B.-15C.-6 D.157．1852年英國來華傳教士偉烈亞力將《孫子算經》中“物不知數”問題的解法傳至歐洲，西方人稱之為“中國剩余定理”．現有這樣一個問題：將1到200中被3整除余1且被4整除余2的數按從小到大的順序排成一列，構成數列，則=（）A.130 B.132C.140 D.1448．若直線的斜率，則直線的傾斜角的取值范圍是（）A. B.C. D.9．拋物線的準線方程為（）A B.C. D.10．點是正方體的底面內（包括邊界）的動點.給出下列三個結論：①滿足的點有且只有個；②滿足的點有且只有個；③滿足平面的點的軌跡是線段.則上述結論正確的個數是（）A. B.C. D.11．若點，在拋物線上，是坐標原點，若等邊三角形的面積為，則該拋物線的方程是（）A. B.C. D.12．已知，分別為橢圓的左右焦點，為坐標原點，橢圓上存在一點，使得，設的面積為，若，則該橢圓的離心率為（）A. B.C. D.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．將全體正整數排成一個三角形數陣：按照以上排列的規(guī)律，第行從左向右的第2個數為____________.14．曲線在點處的切線方程為______15．數列滿足，則__________.16．如圖，在平行六面體中，底面是邊長為1的正方形，的長度為2，且，則的長度為________三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知函數（1）當時，求的單調性；（2）若存在兩個極值點，試證明：18．（12分）已知橢圓的離心率為，且過點.（1）求橢圓的方程；（2）四邊形的頂點在橢圓上，且對角線，均過坐標原點，若，求的取值范圍.19．（12分）已知直線經過兩條直線和的交點，且與直線垂直（1）求直線的一般式方程；（2）若圓的圓心為點，直線被該圓所截得的弦長為，求圓的標準方程20．（12分）已知函數（1）當時，求曲線在點處的切線方程；（2）若對任意的，恒成立，求實數a的取值范圍21．（12分）在平面直角坐標系中，已知雙曲線C的焦點為、，實軸長為.（1）求雙曲線C的標準方程；（2）過點的直線l與曲線C交于M，N兩點，且Q恰好為線段的中點，求直線l的方程.22．（10分）已知拋物線C：（）的焦點為F，原點O關于點F的對稱點為Q，點關于點Q的對稱點，也在拋物線C上（1）求p的值；（2）設直線l交拋物線C于不同兩點A、B，直線、與拋物線C的另一個交點分別為M、N，，，且，求直線l的橫截距的最大值.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、B【解析】設，過點作的平行線，與平行的半徑交于點，找出異面直線與所成角，然后通過解三角形可得出所求角的余弦值.【詳解】設，過點作的平行線，與平行的半徑交于點，則，，所以為異面直線與所成的角，在三角形中，，，所以.故選：B.【點睛】本題考查異面直線所成角余弦值的計算，一般通過平移直線的方法找到異面直線所成的角，考查計算能力，屬于中等題.2、A【解析】建立空間直角坐標系，得到相關點的坐標后求出直線的方向向量和平面的法向量，借助向量的運算求出線面角的正弦值【詳解】取AC的中點為坐標原點，建立如圖所示的空間直角坐標系設三棱柱的棱長為2，則，∴設為平面的一個法向量，由故令，得設直線AD與平面所成角為，則，所以直線AD與平面所成角的正弦值為故選A【點睛】空間向量的引入為解決立體幾何問題提供了較好的方法，解題時首先要建立適當的坐標系，得到相關點的坐標后借助向量的運算，將空間圖形的位置關系或數量關系轉化為向量的運算處理．在解決空間角的問題時，首先求出向量夾角的余弦值，然后再轉化為所求的空間角．解題時要注意向量的夾角和空間角之間的聯系和區(qū)別，避免出現錯誤3、A【解析】求出平移后的直線方程，再利用直線與圓相切并借助點到直線距離公式列式計算作答.【詳解】將直線先向右平移一個單位，再向下平移一個單位所得直線方程為，因直線與圓相切，從而得，即，解得或，所以c的值為8或-2.故選：A4、B【解析】根據雙曲線的一條漸近線方程為，可得，再結合焦距為2和，求得，即可得解.【詳解】解：因為雙曲線的一條漸近線方程為，所以，即，又因焦距為2，即，即，因為，所以，所以，所以雙曲線的方程為.故選：B.5、A【解析】圓的圓心為，圓的圓心為，兩圓的相交弦的垂直平分線即為直線，其方程為，即；故選A.【點睛】本題考查圓的一般方程、兩圓的相交弦問題；處理直線和圓、圓和圓的位置關系時，往往結合平面幾何知識（如本題中，求兩圓的相交弦的垂直平分線的方程即為經過兩圓的圓心的直線方程）可減小運算量.6、C【解析】先由只有第4項的二項式系數最大，求出n=6；再由展開式的所有項的系數和為0，用賦值法求出,用通項公式求出的項的系數.【詳解】∵在的展開式中，只有第4項的二項式系數最大，∴在的展開式有7項，即n=6；而展開式的所有項的系數和為0，令x=1，代入，即，所以.∴是展開式的通項公式為：，要求含的項，只需，解得，所以系數為.故選：C7、A【解析】分析數列的特點，可知其是等差數列，寫出其通項公式，進而求得結果,【詳解】被3整除余1且被4整除余2的數按從小到大的順序排成一列，這樣的數構成首項為10，公差為12的等差數列，所以，故，故選:A8、B【解析】根據斜率的取值范圍，結合來求得傾斜角的取值范圍.【詳解】設傾斜角為，因為，且，所以.故選：B9、D【解析】根據拋物線方程求出，進而可得焦點坐標以及準線方程.【詳解】由可得，所以焦點坐標為，準線方程為：，故選：D.10、C【解析】對于①，根據線線平行的性質可知點即為點，因此可判斷①正確；對于②，根據線面垂直的判定可知平面,，由此可判定的位置，進而判定②的正誤；對于③，根據面面平行可判定平面平面，因此可判斷此時一定落在上，由此可判斷③的正誤.【詳解】如圖：對于①，在正方體中，,若異于，則過點至少有兩條直線和平行，這是不可能的，因此底面內（包括邊界）滿足的點有且只有個，即為點，故①正確；對于②，正方體中，平面,平面，所以,又，所以，而,平面,故平面,因此和垂直的直線一定落在平面內，由是平面上的動點可知，一定落在上，這樣的點有無數多個，故②錯誤；對于③，,平面,則平面，同理平面,而,所以平面平面，而平面，所以一定落在平面上，由是平面上的動點可知，此時一定落在上，即點的軌跡是線段，故③正確，故選：C.11、A【解析】根據等邊三角形的面積求得邊長，根據角度求得點的坐標，代入拋物線方程求得的值.【詳解】設等邊三角形的邊長為，則，解得根據拋物線的對稱性可知，且，設點在軸上方，則點的坐標為，即，將代入拋物線方程得，解得，故拋物線方程為故選：A12、D【解析】由可得直角三角形，故，且，結合，聯立可得，即得解【詳解】由題意，故為直角三角形，，又，，又為直角三角形，故，，即，.故選：D.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】通過觀察、分析、歸納，找出規(guī)律運算求解即可【詳解】前行共有正整數個，即個，因此第行第個數是全體正整數中第個，即為故答案為：14、【解析】求導后令求出切線斜率，即可寫出切線方程.【詳解】由題意知：，當時，，故切線方程為，即.故答案為：.15、【解析】對遞推關系多遞推一次，再相減，可得，再驗證是否滿足；【詳解】∵①時，②①-②得，時，滿足上式，.故答案為：.【點睛】數列中碰到遞推關系問題，經常利用多遞推一次再相減的思想方法求解.16、【解析】設一組基地向量，將目標用基地向量表示，然后根據向量的運算法則運算即可【詳解】設，則有：則有：根據，解得：故答案為：三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）答案見解析（2）證明見解析【解析】（1）依據導函數判定函數的單調性即可；（2）等價轉化和構造新函數在不等式證明中可以起到關鍵性作用.【小問1詳解】的定義域為，當時，令得，當時，；當時，所以在和上單調遞減，在上單調遞增.【小問2詳解】，存在兩個極值點，則有二正根，由，得由于的兩個極值點滿足，所以，不妨設，則由于，所以等價于設函數，在單調遞減，又，從而所以，故.【點睛】導函數中常用的兩種常用的轉化方法：一是利用導數研究含參函數的單調性，?；癁椴坏仁胶愠闪栴}．注意分類討論與數形結合思想的應用；二是函數的零點、不等式證明常轉化為函數的單調性、極(最)值問題處理18、（1）（2）【解析】（1）根據橢圓的離心率為，且過點，由求解；（2）設直線AC方程為，則直線BD的方程為，分時，與橢圓方程聯立求得A，B的坐標，再利用數量積求解.【小問1詳解】解：因為橢圓的離心率為，且過點，所以，所以，所以橢圓的方程為；【小問2詳解】設直線AC的方程為，則直線BD的方程為.當時，聯立，得，不妨設A，聯立，得，當B時，，，當B時，，，當時，同理可得上述結論.綜上，19、（1）（2）【解析】（1）由題意求出兩直線的交點，再求出所求直線的斜率，用點斜式寫出直線的方程；（2）根據題意求出圓的半徑，由圓心寫出圓的標準方程【小問1詳解】解：由題意知，解得，直線和的交點為；設直線的斜率為，與直線垂直，；直線的方程為，化為一般形式為；【小問2詳解】解：設圓的半徑為，則圓心為到直線的距離為，由垂徑定理得，解得，圓的標準方程為20、（1）（2）【解析】（1）先求導，由到數值求出斜率，最后根據點斜式求出方程即可；（2）采用分離常數法，轉化為求新函數的值域即可.【小問1詳解】時，，，則，，所以在點處的切線方程為，即【小問2詳解】對任意的，恒成立，即，對任意的，令，即，則，因為，，所以當時，，在區(qū)間上單調遞減，當時，，在區(qū)間上單調遞增，則，所以21、（1）（2）.【解析】（1）根據條件，結合雙曲線定義即可求得雙曲線的標準方程.（2）當斜率不存在時，不符合題意；當斜率存在時，設出直線方程，聯立雙曲線，變形后由中點坐標公式可求得斜率，即可求得直線方程.【詳解】（1）根據題意，焦點在軸上，且，所以，雙曲線的標準方程為C：.（2）過點的直線l與曲線C交于M，N兩點，且Q恰好為線段的中點，當直線斜率不存在時，直線方程為，則由雙曲線對稱性可知線段的中點在軸上，所以不滿足題意；當斜率存在時，設直線方程為，設，則，化簡可得，因為有兩個交點，所以化簡可得恒成立，所以，因為恰好為線段的中點，則，化簡可得，所以直線方程為，即.【點睛】本題考查根據雙曲線定義求雙曲線標準方程，直線與雙曲線的位置關系，由中點坐標求直線方