安徽省池州市東至第二中學2023-2024學年高二上數學期末質量跟蹤監(jiān)視試題含解析

安徽省池州市東至第二中學2023-2024學年高二上數學期末質量跟蹤監(jiān)視試題考生須知：1．全卷分選擇題和非選擇題兩部分，全部在答題紙上作答。選擇題必須用2B鉛筆填涂；非選擇題的答案必須用黑色字跡的鋼筆或答字筆寫在“答題紙”相應位置上。2．請用黑色字跡的鋼筆或答字筆在“答題紙”上先填寫姓名和準考證號。3．保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，在草稿紙、試題卷上答題無效。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．已知四面體中，，若該四面體的外接球的球心為，則的面積為（）A. B.C. D.2．已知橢圓上一點到橢圓一個焦點的距離是3，則點到另一個焦點的距離為（）A.9 B.7C.5 D.33．直線的傾斜角的大小為A. B.C. D.4．過橢圓+=1左焦點F1引直線交橢圓于A、B兩點，F2是橢圓的右焦點，則△ABF2的周長是（）A.20 B.18C.10 D.165．已知拋物線的焦點為，拋物線上的兩點，均在第一象限，且，，，則直線的斜率為（）A.1 B.C. D.6．“楊輝三角”是中國古代數學文化的瑰寶之一，最早在中國南宋數學家楊輝1261年所著的《詳解九章算法》一書中出現.如圖所示的楊輝三角中，第8行，第3個數是（）第0行1第1行11第2行121第3行1331第4行14641……A.21 B.28C.36 D.567．有這樣一道題目：“戴氏善屠，日益功倍.初日屠五兩，今三十日屠訖，向共屠幾何？”其意思為：“有一個姓戴的人善于屠肉，每一天屠完的肉是前一天的2倍，第一天屠了5兩肉，共屠了30天，問一共屠了多少兩肉？"在這個問題中，該屠夫前5天所屠肉的總兩數為（）A.35 B.75C.155 D.3158．雙曲線的一條漸近線方程為，則雙曲線的離心率為（）A.2 B.5C. D.9．如圖所示，已知三棱錐，點，分別為，的中點，且，，，用，，表示，則等于（）A. B.C. D.10．已知動點的坐標滿足方程，則的軌跡方程是（）A. B.C. D.11．如圖，已知直線AO垂直于平面，垂足為O，BC在平面內，AB與平面所成角的大小為，，，則異面直線AB與OC所成角的余弦值為（）A. B.C. D.12．在等比數列中，，是方程的兩個實根，則（）A.-1 B.1C.-3 D.3二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知直線和平面，且；①若異面，則至少有一個與相交；②若垂直，則至少有一個與垂直；對于以上命題中，所有正確的序號是___________.14．用1，2，3，4，5組成沒有重復數字的五位數，其中個位小于百位且百位小于萬位的五位數有n個，則的展開式中，的系數是___________.（用數字作答）15．已知直線與直線垂直，則__________16．某校對全校共1800名學生進行健康調查，選用分層抽樣法抽取一個容量為200的樣本，已知女生比男生少抽了20人，則該校的女生人數應是__________人.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知數列的首項為，且滿足.（1）求證：數列為等比數列；（2）設，記數列的前項和為，求，并證明：.18．（12分）如圖，已知拋物線的焦點為F，拋物線C上的點到準線的最小距離為1（1）求拋物線C的方程；（2）過點F作互相垂直的兩條直線l1，l2，l1與拋物線C交于A，B兩點，l2與拋物線C交于C，D兩點，M，N分別為弦AB，CD的中點，求|MF|·|NF|的最小值19．（12分）設集合（1）若，求；（2）設，若是成立的必要不充分條件，求實數a的取值范圍20．（12分）已知橢圓上的點到左、右焦點、的距離之和為4，且右頂點A到右焦點的距離為1.（1）求橢圓的方程;（2）直線與橢圓交于不同兩點，，記的面積為，當時求的值.21．（12分）已知動圓過點且動圓內切于定圓：記動圓圓心的軌跡為曲線.（1）求曲線方程；（2）若、是曲線上兩點，點滿足求直線的方程.22．（10分）書籍是精神世界的入口，閱讀讓精神世界閃光，閱讀逐漸成為許多人的一種生活習慣，每年4月23日為世界讀書日.某研究機構為了解當地年輕人的閱讀情況，通過隨機抽樣調查了100位年輕人，對這些人每天的閱讀時間（單位：分鐘）進行統(tǒng)計，得到樣本的頻率分布直方圖，如圖所示：（1）求的值；（2）為了進一步了解年輕人的閱讀方式，研究機構采用分層抽樣的方法從每天閱讀時間位于，和的年輕人中抽取5人，再從中任選2人進行調查，求其中至少有1人每天閱讀時間位于的概率.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、C【解析】根據四面體的性質，結合線面垂直的判定定理、球的性質、正弦定理進行求解即可.【詳解】由圖設點為中點，連接，由，所以，面，則面，且，所以球心面，所以平面與球面的截面為大圓，延長線與此大圓交于點.在三角形中，由，所以，由正弦定理知：三角形的外接圓半徑為，設三角形的外接圓圓心為點，則面，有，則，設的外接圓圓心為點，則面，由正弦定理知：三角形PAB的外接圓半徑為，所以，又三角形中，，所以為的角平分線，則，在直角三角形OMD中，，在直角三角形OED中，，在三角形中，取中點，由，所以，故選：C.【點睛】關鍵點睛：運用正弦定理、勾股定理、線面垂直的判定定理是解題的關鍵.2、A【解析】根據橢圓定義求得即可.【詳解】由橢圓定義知，點P到另一個焦點的距離為2×6-3=9.故選：A3、A【解析】考點：直線的傾斜角專題：計算題分析：因為直線的斜率是傾斜角的正切值，所以欲求直線的傾斜角，只需求出直線的斜率即可，把直線化為斜截式，可得斜率，問題得解解答：解：∵x-y+1=0可化為y=x+，∴斜率k=設傾斜角為θ，則tanθ=k=，θ∈[0，π）∴θ=故選A點評：本題主要考查了直線的傾斜角與斜率之間的關系，屬于直線方程的基礎題型，需要學生對基礎知識熟練掌握4、A【解析】根據橢圓的定義求得正確選項.【詳解】依題意，根據橢圓的定義可知，三角形的周長為.故選：A5、C【解析】作垂直準線于，垂直準線于，作于，結合拋物線定義得出斜率為可求.【詳解】如圖：作垂直準線于，垂直準線于，作于，因為，，，由拋物線的定義可知：，，，所以，直線斜率為：.故選：C.6、B【解析】由題意知第8行的數就是二項式的展開式中各項的二項式系數，可得第8行，第3個數是為，即可求解【詳解】解：由題意知第8行的數就是二項式的展開式中各項的二項式系數，故第8行，第3個數是為故選：B7、C【解析】構造等比數列模型，利用等比數列的前項和公式計算可得結果.【詳解】由題意可得該屠夫每天屠的肉成等比數列，記首項為，公比為，前項和為，所以，，因此前5天所屠肉的總兩數為.故選：C.【點睛】本題考查了等比數列模型，考查了等比數列的前項和公式，屬于基礎題.8、D【解析】根據漸近線方程求得關系，結合離心率的計算公式，即可求得結果.【詳解】因為雙曲線的一條漸近線方程為，則；又雙曲線離心率.故選：D.9、A【解析】連接，先根據已知條件表示出，再根據求得結果.【詳解】連接，如下圖所示：因為為的中點，所以，又因為為的中點，所以，所以，故選：A.10、C【解析】此方程表示點到點的距離與到點的距離之差為8，而這正好符合雙曲線的定義，點的軌跡是雙曲線的右支，，的軌跡方程是，故選C.11、B【解析】建立空間直角坐標系，求出相關點的坐標，求出向量的坐標，再利用向量的夾角公式計算即可.【詳解】如圖，以O為坐標原點，過點O作OB的垂線為x軸，OB為y軸，OA為z軸，建立空間直角坐標系，設，則，，則，，，，，設的夾角為，則，所以異面直線AB與OC所成角的余弦值為，故選：B.12、B【解析】由韋達定理可知，結合等比中項的性質可求出.【詳解】解：在等比數列中，由題意知：，，所以，，所以且，即.故選：B.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、①②【解析】假設與都不相交得到，得到①正確，若不垂直，上取一點，作交于，得到，得到②正確，得到答案.【詳解】若與都不相交，，，則，同理，故，與異面矛盾，①正確；若不垂直，上取一點，作交于，，，故，，故，，，故，，，故，②正確.故答案為：①②.14、2022【解析】根據排列和組合計數公式求出，然后利用二項式定理進行求解即可【詳解】解：用1，2，3，4，5組成沒有重復數字的五位數中，滿足個位小于百位且百位小于萬位的五位數有個，即，當時，，則系數是，故答案為：202215、-3【解析】因為直線與直線垂直，所以考點：本題考查兩直線垂直的充要條件點評：若兩直線方程分別為,則他們垂直的充要條件是16、810【解析】分析：首先確定抽取的女生人數，然后由分層抽樣比即可確定女生的人數.詳解：設抽取的女生人數為，則：，解得：，則抽取的女生人數為人，抽取的男生人數為人，據此可知該校女生人數應是人.點睛：進行分層抽樣的相關計算時，常利用以下關系式巧解：(1)；(2)總體中某兩層的個體數之比＝樣本中這兩層抽取的個體數之比三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）證明見解析（2），證明見解析【解析】（1）根據等比數列的定義證明；（2）由錯位相減法求得和，再由的單調性可證得不等式成立【小問1詳解】由得又，數列是以為首項，以為公比的等比數列.【小問2詳解】由（1）的結論有①②①②得：又為遞增數列，18、（1）（2）8【解析】（1）由拋物線C上的點到準線的最小距離為1，所以，即可求得拋物線的方程；（2）設直線AB的斜率為k，則直線CD的斜率為，得到直線AB的方程為，聯立方程，求得，進而求得的坐標，得到的表達式，結合基本不等式，即可求解.【小問1詳解】解：因為拋物線C上的點到準線的最小距離為1，所以，解得，所以拋物線C的方程為【小問2詳解】解：由（1）可知焦點為F(1，0)，由已知可得ABCD，所以直線AB，CD的斜率都存在且均不為0，設直線AB斜率為k，則直線CD的斜率為，所以直線AB的方程為，聯立方程，消去x得，設點A(x1，y1)，B(x2，y2)，則，因為M(xM，yM)為弦AB的中點，所以，由，得，所以點，同理可得，所以，＝，所以，當且僅當，即時，等號成立，所以的最小值為19、（1）（2）【解析】（1）根據不等式的解答求得，當時，求得，結合集合并集的運算，即可求解；（2）由題意得到是的真子集，根據集合間的包含關系，列出不等式組，即可求解.【小問1詳解】解：由，解得，即，當時，可得，所以.【小問2詳解】解：由集合，因為，且是成立的必要不充分條件，是的真子集，所以且等號不能同時成立，解得，其中當和是滿足題意，故實數的取值范圍是.20、（1）（2）【解析】（1）根據題意得到，，再根據求解即可.（2）首先設，，再根據求解即可.【小問1詳解】由題意，，因為右頂點到右焦點的距離為，即，所以，則，所以橢圓的標準方程為.【小問2詳解】設，，且根據橢圓的對稱性得，聯立方程組，整理得，解得，因為的面積為3，可得，解得.21、（1）；（2）.【解析】（1）根據兩圓內切，以及圓過定點列式求軌跡方程；（2）利用重心坐標公式可知，，再設直線的方程為與橢圓方程聯立，利用根與系數的關系求解直線方程.【詳解】（1）由已知可得，兩式相加可得則點的軌跡是以、為焦點，長軸長為的橢圓，則因此曲線的方程是(2)因為，則點是的重心，易得直線的斜率存在，設直線的方程為，聯立消得：且①②由①②解得則直線的方程為即【點睛】本題