安徽省六安一中、舒城中學、霍邱一中2023-2024學年數(shù)學高二上期末經(jīng)典模擬試題含解析

安徽省六安一中、舒城中學、霍邱一中2023-2024學年數(shù)學高二上期末經(jīng)典模擬試題考生須知：1．全卷分選擇題和非選擇題兩部分，全部在答題紙上作答。選擇題必須用2B鉛筆填涂；非選擇題的答案必須用黑色字跡的鋼筆或答字筆寫在“答題紙”相應(yīng)位置上。2．請用黑色字跡的鋼筆或答字筆在“答題紙”上先填寫姓名和準考證號。3．保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，在草稿紙、試題卷上答題無效。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．已知數(shù)列滿足：，，則（）A. B.C. D.2．已知直線的方向向量為，則直線l的傾斜角為（）A.30° B.60°C.120° D.150°3．“楊輝三角”是中國古代重要的數(shù)學成就，它比西方的“帕斯卡三角形”早了多年，如圖是由“楊輝三角”拓展而成的三角形數(shù)陣，記為圖中虛線上的數(shù)，，，，…構(gòu)成的數(shù)列的第項，則的值為（）A. B.C. D.4．已知過點的直線與圓相切，且與直線垂直，則（）A. B.C. D.5．已知數(shù)列中，前項和為，且點在直線上，則=A. B.C. D.6．下列關(guān)于拋物線的圖象描述正確的是（）A.開口向上，焦點為 B.開口向右，焦點為C.開口向上，焦點為 D.開口向右，焦點為7．已知a，b為不相等實數(shù)，記，則M與N的大小關(guān)系為（）A. B.C. D.不確定8．“”是“圓與軸相切”的（）A.充分而不必要條件 B.必要而不充分條件C.充分必要條件 D.既不充分也不必要條件9．已知直線與直線平行，且直線在軸上的截距比在軸上的截距大，則直線的方程為（）A. B.C. D.10．命題，，則為（）A.， B.，C.， D.，11．在等差數(shù)列中，已知，則數(shù)列的前6項之和為（）A.12 B.32C.36 D.3712．設(shè)拋物線上一點到軸的距離是4，則點到該拋物線焦點的距離是（）A.6 B.8C.9 D.10二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．將集合且中所有的元素從小到大排列得到的數(shù)列記為，則___________（填數(shù)值）.14．數(shù)據(jù)：1，1，3，4，6的方差是______.15．矩形ABCD中，，在CD邊上任取一點M，則的最大邊是AB的概率為______16．設(shè)函數(shù)為奇函數(shù)，當時，，則_______三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）某市共有居民60萬人，為了制定合理的節(jié)水方案，對居民用水情況進行了調(diào)查，通過抽樣，獲得了某年100位居民每人的月均用水量（單位：噸），將數(shù)據(jù)按照，，……分成9組，制成了如圖所示的頻率分布直方圖（1）求直方圖中的a值，并估計該市居民月均用水量不少于3噸的人數(shù)（單位：人）；（2）估計該市居民月均用水量的眾數(shù)和中位數(shù)18．（12分）已知橢圓的離心率為，且經(jīng)過點.（1）求橢圓的標準方程；（2）已知，經(jīng)過點的直線與橢圓交于、兩點，若原點到直線的距離為，且，求直線的方程.19．（12分）已知函數(shù)，且在處取得極值.（1）求的值；（2）當，求的最小值.20．（12分）p：方程有兩個不等的負實數(shù)根；q：方程無實數(shù)根，若為真命題，為假命題，求實數(shù)m的取值范圍、21．（12分）已知極坐標系的極點在直角坐標系的原點處，極軸與軸的正半軸重合，直線的極坐標方程為，曲線的參數(shù)方程是（是參數(shù)）（1）求直線的直角坐標方程及曲線的普通方程；（2）求曲線上的點到直線的距離的最大值22．（10分）已知數(shù)列的前n項和為，，且.（1）求數(shù)列的通項公式；（2）在與之間插入n個數(shù)，使這個數(shù)組成一個公差為的等差數(shù)列，求證：.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、A【解析】由a1＝3，，利用遞推思想，求出數(shù)列的前11項，推導出數(shù)列{an}從第6項起是周期為3的周期數(shù)列，由此能求出a2022【詳解】解：∵數(shù)列{an}滿足：a1＝3，，∴a2＝3a1+1＝10，5，a4＝3a3+1＝16，a58，4，a72，a81，a9＝3a8+1＝4，a102，a111，∴數(shù)列{an}從第6項起是周期為3的周期數(shù)列，∵2022＝5+672×3+1，∴a2022＝a6＝4故選：A2、B【解析】利用直線的方向向量求出其斜率，進而求出傾斜角作答.【詳解】因直線的方向向量為，則直線l的斜率，直線l的傾斜角，于是得，解得，所以直線l的傾斜角為.故選：B3、B【解析】根據(jù)楊輝三角可得數(shù)列的遞推公式，結(jié)合累加法可得數(shù)列的通項公式與.【詳解】由已知可得數(shù)列的遞推公式為，且，且，故，，，，，等式左右兩邊分別相加得，，故選：B.4、B【解析】首先由點的坐標滿足圓的方程來確定點在圓上，然后求出過點的圓的切線方程，最后由兩直線的垂直關(guān)系轉(zhuǎn)化為斜率關(guān)系求解.【詳解】由題知，圓的圓心，半徑.因為，所以點在圓上，所以過點的圓的切線與直線垂直，設(shè)切線的斜率，則有，即，解得.因為直線與切線垂直，所以，解得.故選：B.5、C【解析】點在一次函數(shù)上的圖象上，，數(shù)列為等差數(shù)列，其中首項為，公差為，，數(shù)列的前項和，，故選C考點：1、等差數(shù)列；2、數(shù)列求和6、A【解析】把化成拋物線標準方程，依據(jù)拋物線幾何性質(zhì)看開口方向，求其焦點坐標即可解決.【詳解】，即.則，即故此拋物線開口向上，焦點為故選：A7、A【解析】利用作差法即可比較M與N的大小﹒【詳解】因為，又，所以，即故選：A8、A【解析】根據(jù)充分不必要條件的定義和圓心到軸的距離求出可得答案.【詳解】時，圓的圓心坐標為，半徑為2，此時圓與軸相切；當圓與軸相切時，因為圓的半徑為2，所以圓心到軸的距離為，所以，“”是“圓與軸相切”的充分不必要條件故選：A9、A【解析】分析可知直線不過原點，可設(shè)直線的方程為，其中且，利用斜率關(guān)系可求得實數(shù)的值，化簡可得直線的方程.【詳解】若直線過原點，則直線在兩坐標軸上的截距相等，不合乎題意，設(shè)直線的方程為，其中且，則直線的斜率為，解得，所以，直線的方程為，即.故選：A.10、B【解析】直接利用特稱命題的否定是全稱命題寫出結(jié)果即可.【詳解】命題，為特稱命題，而特稱命題的否定是全稱命題，所以命題，，則為：，.故選：B11、C【解析】直接按照等差數(shù)列項數(shù)性質(zhì)求解即可.【詳解】數(shù)列的前6項之和為.故選：C.12、A【解析】計算拋物線的準線，根據(jù)距離結(jié)合拋物線的定義得到答案.【詳解】拋物線的焦點為，準線方程為，到軸的距離是4，故到準線的距離是，故點到該拋物線焦點的距離是.故選：A.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、992【解析】列舉數(shù)列的前幾項，觀察特征，可得出.詳解】由題意得觀察規(guī)律可得中，以為被減數(shù)的項共有個，因為，所以是中的第5項，所以.故答案為：992.14、##3.6【解析】先計算平均數(shù)，再計算方差.【詳解】該組數(shù)據(jù)的平均數(shù)為，方差為故答案為：15、【解析】先利用勾股定理得出滿足條件的長度，再結(jié)合幾何概型的概率公式得出答案.【詳解】設(shè)，當時，，；當時，，所以當?shù)降木嚯x都大于時，的最大邊是AB，所以的最大邊是AB的概率為.故答案為：16、【解析】由奇函數(shù)的定義可得，代入解析式即可得解.【詳解】函數(shù)為奇函數(shù)，當時，，所以.故答案為-1.【點睛】本題主要考查了奇函數(shù)的求值問題，屬于基礎(chǔ)題.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）a0.3，72000人；（2）眾數(shù)2.25；中位數(shù)2.04.【解析】（1）根據(jù)所有小長方形面積和為1即可求得參數(shù)，結(jié)合題意求得用水量不少于3噸對應(yīng)的頻率，再求頻數(shù)即可；（2）根據(jù)頻率分布直方圖直接寫出眾數(shù)，根據(jù)中位數(shù)的求法，結(jié)合頻率的計算，即可容易求得結(jié)果.【小問1詳解】由頻率分布直方圖，可知：，解得；月均用水量不少于3噸的人數(shù)為：（人）【小問2詳解】由圖可估計眾數(shù)為2.25；設(shè)中位數(shù)為x噸，因為前5組的頻率之和0.04＋0.08＋0.15＋0.21＋0.25＝0.73>0.5，而前4組頻率之和0.04＋0.08＋0.15＋0.21＝0.48<0.5，所以2≤x<2.5，由，可得，故居民月均用水量的中位數(shù)為2.04噸.18、（1）；（2）.【解析】（1）由已知條件可得出關(guān)于、、的方程組，求出這三個量的值，由此可得出橢圓的標準方程；（2）分析可知直線的斜率存在且不為零，設(shè)直線的方程為，由點到直線的距離公式可得出，設(shè)點、，將直線的方程與橢圓的方程聯(lián)立，列出韋達定理，由可得出，代入韋達定理求出、的值，由此可得出直線的方程.【詳解】（1）設(shè)橢圓的焦距為，則，解得，因此，橢圓的標準方程為；（2）若直線斜率不存在，則直線過原點，不合乎題意.所以，直線的斜率存在，設(shè)斜率為，設(shè)直線方程為，設(shè)、，原點到直線的距離為，，即①.聯(lián)立直線與橢圓方程可得，則，則，由韋達定理可得，.，則為線段的中點，所以，，，得，，所以，，整理可得，解得，即，，因此，直線的方程為或.【點睛】方法點睛：利用韋達定理法解決直線與圓錐曲線相交問題的基本步驟如下：（1）設(shè)直線方程，設(shè)交點坐標為、；（2）聯(lián)立直線與圓錐曲線的方程，得到關(guān)于（或）的一元二次方程，必要時計算；（3）列出韋達定理；（4）將所求問題或題中的關(guān)系轉(zhuǎn)化為、的形式；（5）代入韋達定理求解.19、（1）；（2）.【解析】（1）對函數(shù)求導，則極值點為導函數(shù)的零點，進而建立方程組解出a,b，然后討論函數(shù)的單調(diào)區(qū)間進行驗證，最后確定答案；（2）根據(jù)（1）得到函數(shù)在上的單調(diào)區(qū)間，進而求出最小值.【小問1詳解】，因為在處取得極值，所以，則，所以時，，單調(diào)遞減，時，，單調(diào)遞增，時，，單調(diào)遞減，故為函數(shù)的極值點.于是.【小問2詳解】結(jié)合（1）可知，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減，而，所以.因為，所以.綜上：的最小值為.20、【解析】利用復合命題的真假推出兩個命題為一真一假，求出m的范圍即可.【詳解】：方程有兩個不等的負實數(shù)根，解得，：方程無實數(shù)根，解得，所以：，：或.因為為真命題，為假命題，所以真假，或假真.（1）當真假時，即真為真，所以，解得；（2）當假真時，即真為真，所以，解得.綜上，取值范圍為21、（1）直線的直角坐標方程是，曲線的普通方程是（2）【解析】（1）利用極坐標與直角坐標互化的公式進行求解，消去參數(shù)求出普通方程；（2）設(shè)曲線上任一點以，利用點到直線距離公式和輔助角公式進行求解.【小問1詳解】因為，所以，即，將，代入，得直線的直角坐標方程是由得曲線的普通方程是【小問2詳解】設(shè)曲線上任一點