福建省永安一中2023-2024學(xué)年高二上數(shù)學(xué)期末質(zhì)量跟蹤監(jiān)視試題含解析

福建省永安一中2023-2024學(xué)年高二上數(shù)學(xué)期末質(zhì)量跟蹤監(jiān)視試題注意事項(xiàng)：1．答題前，考生先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號填寫清楚，將條形碼準(zhǔn)確粘貼在考生信息條形碼粘貼區(qū)。2．選擇題必須使用2B鉛筆填涂；非選擇題必須使用0．5毫米黑色字跡的簽字筆書寫，字體工整、筆跡清楚。3．請按照題號順序在各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無效；在草稿紙、試題卷上答題無效。4．保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，不準(zhǔn)使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．某班進(jìn)行了一次數(shù)學(xué)測試，全班學(xué)生的成績都落在區(qū)間內(nèi)，其成績的頻率分布直方圖如圖所示，若該班學(xué)生這次數(shù)學(xué)測試成績的中位數(shù)的估計(jì)值為，則的值為（）A. B.C. D.2．平行六面體的各棱長均相等，，，則異面直線與所成角的余弦值為（）A. B.C. D.3．函數(shù)的定義域?yàn)?，其?dǎo)函數(shù)的圖像如圖所示，則函數(shù)極值點(diǎn)的個數(shù)為（）A.2 B.3C.4 D.54．“，”是“方程表示雙曲線”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件5．下列結(jié)論正確的是（）A.若，則 B.若，則C.若，則 D.若，則6．執(zhí)行如圖所示的程序框圖，若輸出的，則輸入的可能為（）A.9 B.5C.4 D.37．從0，2中選一個數(shù)字，從1，3，5中選兩個數(shù)字，組成無重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)，其中偶數(shù)的個數(shù)為（）A.24 B.18C.12 D.68．過點(diǎn)與直線平行的直線的方程是（）A. B.C. D.9．函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間是（）A. B.C. D.10．如圖，在三棱錐中，，則三棱錐外接球的表面積是（）A. B.C. D.11．某種心臟手術(shù)成功率為0.9，現(xiàn)采用隨機(jī)模擬方法估計(jì)“3例心臟手術(shù)全部成功”的概率.先利用計(jì)算器或計(jì)算機(jī)產(chǎn)生09之間取整數(shù)值的隨機(jī)數(shù)，由于成功率是0.9，故我們用0表示手術(shù)不成功，1，2，3，4，5，6，7，8，9表示手術(shù)成功，再以每3個隨機(jī)數(shù)為一組，作為3例手術(shù)的結(jié)果.經(jīng)隨機(jī)模擬產(chǎn)生如下10組隨機(jī)數(shù)：812,832,569,683,271,989,730,537,925,907，由此估計(jì)“3例心臟手術(shù)全部成功”的概率為（）A.0.9 B.0.8C.0.7 D.0.612．已知雙曲線的焦點(diǎn)在y軸上，且實(shí)半軸長為4，虛半軸長為5，則雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為（）A.＝1 B.＝1C.＝1 D.＝1二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．過拋物線的焦點(diǎn)的直線交拋物線于點(diǎn)、，且點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，過點(diǎn)和拋物線頂點(diǎn)的直線交拋物線的準(zhǔn)線于點(diǎn)，則的面積為___________.14．若數(shù)列滿足，，設(shè)，類比課本中推導(dǎo)等比數(shù)列前項(xiàng)和公式的方法，可求得______________15．已知曲線在點(diǎn)處的切線方程是，則的值為______16．已知雙曲線：的左、右焦點(diǎn)分別為，，為的右支上一點(diǎn)，且，則的離心率為___________.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知三角形的內(nèi)角所對的邊分別為，且C為鈍角.（1）求cosA；（2）若，，求三角形的面積.18．（12分）已知等差數(shù)列滿足：成等差數(shù)列，成等比數(shù)列.（1）求的通項(xiàng)公式：（2）在數(shù)列的每相鄰兩項(xiàng)與間插入個，使它們和原數(shù)列的項(xiàng)構(gòu)成一個新數(shù)列，數(shù)列的前項(xiàng)和記為，求及.19．（12分）如圖1，已知矩形ABCD，，，E，F(xiàn)分別為AB，CD的中點(diǎn)，將ABCD卷成一個圓柱，使得BC與AD重合（如圖2），MNGH為圓柱的軸截面，且平面平面MNGH，NG與曲線DE交于點(diǎn)P（1）證明：平面平面MNGH；（2）判斷平面PAE與平面PDH夾角與的大小，并說明理由20．（12分）已知，對于有限集，令表示集合中元素的個數(shù)．例如：當(dāng)時，，（1）當(dāng)時，請直接寫出集合的子集的個數(shù)；（2）當(dāng)時，，都是集合的子集（，可以相同），并且．求滿足條件的有序集合對的個數(shù)；（3）假設(shè)存在集合、具有以下性質(zhì)：將1，1，2，2，··，，．這個整數(shù)按某種次序排成一列，使得在這個序列中，對于任意，與之間恰好排列個整數(shù)．證明：是4的倍數(shù)21．（12分）如圖，在正四棱柱中，是上的點(diǎn)，滿足為等邊三角形.（1）求證：平面；（2）求點(diǎn)到平面的距離.22．（10分）已知拋物線的方程為，點(diǎn)，過點(diǎn)的直線交拋物線于，兩點(diǎn)（1）是否為定值？若是，求出該定值；若不是，說明理由；（2）若點(diǎn)是直線上的動點(diǎn)，且，求面積的最小值

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、A【解析】根據(jù)已知條件可得出關(guān)于、的方程組，解出這兩個量的值，即可求得結(jié)果.【詳解】由題意有，得，又由，得，解得，，有故選：A.2、B【解析】利用基底向量表示出向量，，即可根據(jù)向量夾角公式求出【詳解】如圖所示：不妨設(shè)棱長為1，，，所以＝＝，，，即，故異面直線與所成角的余弦值為故選：B注意事項(xiàng)：1.將答案寫在答題卡上2.本卷共10小題，共80分.3、C【解析】根據(jù)給定的導(dǎo)函數(shù)的圖象，結(jié)合函數(shù)的極值的定義，即可求解.【詳解】如圖所示，設(shè)導(dǎo)函數(shù)的圖象與軸的交點(diǎn)分別為，根據(jù)函數(shù)的極值的定義可知在該點(diǎn)處的左右兩側(cè)的導(dǎo)數(shù)符號相反，可得為函數(shù)的極大值點(diǎn)，為函數(shù)的極小值點(diǎn)，所以函數(shù)極值點(diǎn)的個數(shù)為4個.故選：C.4、A【解析】根據(jù)雙曲線的方程以及充分條件和必要條件的定義進(jìn)行判斷即可【詳解】由，可知方程表示焦點(diǎn)在軸上的雙曲線；反之，若表示雙曲線，則，即，或，所以“，”是“方程表示雙曲線”的充分不必要條件故選：A5、C【解析】先舉例說明ABD不成立，再根據(jù)不等式性質(zhì)說明C成立.【詳解】當(dāng)時，滿足，但不成立，所以A錯；當(dāng)時，滿足，但不成立，所以B錯；當(dāng)時，滿足，但不成立，所以D錯；因?yàn)樗?，又，因此同向不等式相加得，即C對；故選：C【點(diǎn)睛】本題考查不等式性質(zhì)，考查基本分析判斷能力，屬基礎(chǔ)題.6、D【解析】根據(jù)輸出結(jié)果可得輸出時，結(jié)合執(zhí)行邏輯確定輸入k的可能值，即可知答案.【詳解】由，得，則輸人的可能為.∴結(jié)合選項(xiàng)知：D符合要求.故選：D.7、C【解析】根據(jù)題意，結(jié)合計(jì)數(shù)原理中的分步計(jì)算，以及排列組合公式，即可求解.【詳解】根據(jù)題意，要使組成無重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)為偶數(shù)，則從0，2中選一個數(shù)字為個位數(shù)，有種可能，從1，3，5中選兩個數(shù)字為十位數(shù)和百位數(shù)，有種可能，故這個無重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)為偶數(shù)的個數(shù)為.故選：C.8、A【解析】根據(jù)題意利用點(diǎn)斜式寫出直線方程即可.【詳解】解：過點(diǎn)的直線與直線平行，，即.故選：A.9、D【解析】求導(dǎo)后，利用求得函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間.【詳解】解：，則，由得，故選：D.10、A【解析】根據(jù)題意，將該幾何體放置于正方體中截得，進(jìn)而轉(zhuǎn)化為求邊長為2的正方體的外接球，再求解即可.【詳解】解：因?yàn)樵谌忮F中，，所以將三棱錐補(bǔ)形成正方體如圖所示，正方體的邊長為2，則體對角線長為，外接球的半徑為，所以外接球的表面積為，故選：.11、B【解析】由題可知10組隨機(jī)數(shù)中表示“3例心臟手術(shù)全部成功”的有8組，即求.【詳解】由題意，10組隨機(jī)數(shù)：812,832,569,683,271,989,730,537,925,907，表示“3例心臟手術(shù)全部成功”的有：812,832,569,683,271,989,537,925,故8個，故估計(jì)“3例心臟手術(shù)全部成功”的概率為.故選：B.12、D【解析】根據(jù)雙曲線的性質(zhì)求解即可.【詳解】雙曲線的焦點(diǎn)在y軸上，且實(shí)半軸長為4，虛半軸長為5，可得a＝4，b＝5，所以雙曲線方程為：＝1.故選：D.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、##【解析】不妨設(shè)點(diǎn)為第一象限內(nèi)的點(diǎn)，求出點(diǎn)的坐標(biāo)，可求得直線、的方程，求出點(diǎn)、的坐標(biāo)，可求得以及點(diǎn)到直線的距離，利用三角形的面積公式可求得的面積.【詳解】不妨設(shè)點(diǎn)為第一象限內(nèi)的點(diǎn)，設(shè)點(diǎn)，其中，則，可得，即點(diǎn)，拋物線的焦點(diǎn)為，，所以，直線的方程為，聯(lián)立，解得或，即點(diǎn)，所以，，直線的方程為，拋物線的準(zhǔn)線方程為，聯(lián)立，可得點(diǎn)，點(diǎn)到直線的距離為，因此，.故答案為：.14、n【解析】先對兩邊同乘以4，再相加，化簡整理即可得出結(jié)果.【詳解】由①得：②所以①②得：，所以，，故答案為【點(diǎn)睛】本題主要考查類比推理的思想，結(jié)合錯位相減法思想即可求解，屬于基礎(chǔ)題型.15、11【解析】根據(jù)給定條件結(jié)合導(dǎo)數(shù)的幾何意義直接計(jì)算作答.【詳解】因曲線在點(diǎn)處的切線方程是，則，，所以.故答案為：1116、【解析】由雙曲線定義可得a，代入點(diǎn)P坐標(biāo)可得b，然后可解.【詳解】由題知，故，又點(diǎn)在雙曲線上，所以，解得，所以.故答案為：三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）（2）【解析】（1）由正弦定理邊化角，可求得角的正弦，由同角關(guān)系結(jié)合條件可得答案.(2)由（1），由余弦定理，求出邊的長，進(jìn)一步求得面積【小問1詳解】因?yàn)椋烧叶ɡ淼靡?，所?因?yàn)榻菫殁g角，所以角為銳角，所以【小問2詳解】由(1)，由余弦定理，得，所以，解得或，不合題意舍去，故的面積為=18、（1）；（2），.【解析】（1）根據(jù)等差數(shù)列和等比數(shù)列的通項(xiàng)公式進(jìn)行求解即可；（2）根據(jù)等差數(shù)列的通項(xiàng)公式，結(jié)合等比數(shù)列的前項(xiàng)和公式進(jìn)行求解即可.【小問1詳解】設(shè)等差數(shù)列的公差為，因?yàn)槌傻炔顢?shù)列，所以有，因成等比數(shù)列，所以，所以；【小問2詳解】由題意可知：在和之間插入個，在和之間插入個，，在和之間插入個，此時共插入的個數(shù)為：，在和之間插入個，此時共插入的個數(shù)為：，因此.19、（1）證明見解析（2）平面PAE與平面PDH夾角大于，理由見解析【解析】（1）由面面垂直證明，然后得證平面MNGH后可得面面垂直；（2）建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，用空間向量法求出二面角的余弦可得結(jié)論【小問1詳解】如圖O，為圓柱上，下底面的中心，可知，，平面平面MNGH，所以是二面角的平面角，平面平面MNGH，所以，即，，平面MNGH，所以平面MNGH，因?yàn)槠矫鍼AE，所以平面平面MNGH；【小問2詳解】因?yàn)?，所以得，如圖，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，以，,所在直線為x，y，z軸建立空間直角坐標(biāo)系，則可知，，，，，則，，，，設(shè)平面AEP的法向量為，則，令，得，設(shè)平面DHP的法向量為，則，即令，得，，設(shè)平面PAE與平面PDH夾角為，則，，因?yàn)椋?，所以平面PAE與平面PDH夾角大于20、（1）8（2）454（3）證明見詳解【解析】（1）n元集合的直接個數(shù)為可得；（2）由已知結(jié)合可得，或，然后可得集合的包含關(guān)系可解；（3）根據(jù)每兩個相同整數(shù)之間的整數(shù)個數(shù)之和與總的數(shù)字個數(shù)之間的關(guān)系可證.【小問1詳解】當(dāng)時，集合的子集個數(shù)為【小問2詳解】易知，又，所以，即，得，或，所以或1）若，則滿足條件的集合對共有，2）若，同理，滿足條件集合對共有2433）當(dāng)A=B時，滿足條件的集合對共有所以，滿足條件集合對共243+243-32=454個.【小問3詳解】記，則1，1，2，2，··，，共2n個正整數(shù)，將這2n個正整數(shù)按照要求排列時，需在1和1中間放入1個數(shù)，在2和2中間放入2個數(shù)，…，在n和n中間放入n個數(shù)，共放入了個數(shù)，由于排列完成后共有2n個數(shù)，且1，1，2，2，··，，剛好放完，所以放入數(shù)字個數(shù)必為偶數(shù)，即Z，所以，Z，所以是4的倍數(shù)21、（1）證明見解析；（2）.【解析】（1）根據(jù)題意證明，，然后根據(jù)線面垂直的判定定理證明問題；（2）結(jié)合（1），進(jìn)而利用等體積法求得答案.【小問1詳解】由題意，，為等邊三角形，，∵平面ABCD，∴，則，即為中點(diǎn).連接，∵平面，平面，∴，易得，則，又，于是，即，同理，即，又平面.【小問2詳解】設(shè)M到平面的距離為d，，∴.易得，取BD的中點(diǎn)N，連接，則，所以，，所以，，.即M到平面的距離為1.22、（1）是,；（2）【解析】（1）由題意設(shè)出所在直線方程，與拋物線方