甘肅省靜寧一中2023年數(shù)學高二上期末學業(yè)水平測試試題含解析

甘肅省靜寧一中2023年數(shù)學高二上期末學業(yè)水平測試試題注意事項：1．答卷前，考生務必將自己的姓名、準考證號填寫在答題卡上。2．回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑，如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其它答案標號?；卮鸱沁x擇題時，將答案寫在答題卡上，寫在本試卷上無效。3．考試結束后，將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．已知橢圓的離心率為，雙曲線的離心率為，則（）A. B.C. D.2．已知雙曲線的漸近線方程為，則該雙曲線的離心率等于（）A. B.C.2 D.43．在中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，，則的形狀為（）A.正三角形 B.等腰直角三角形C.直角三角形 D.等腰三角形4．若數(shù)列為等差數(shù)列，數(shù)列為等比數(shù)列，則下列不等式一定成立的是（）A. B.C. D.5．在中國古代，人們用圭表測量日影長度來確定節(jié)氣，一年之中日影最長的一天被定為冬至.從冬至算起，依次有冬至、小寒、大寒、立春、雨水、驚蟄、春分、清明、谷雨、立夏、小滿、芒種這十二個節(jié)氣，其日影長依次成等差數(shù)列，若冬至、立春、春分日影長之和為31.5尺，小寒、雨水，清明日影長之和為28.5尺，則大寒、驚蟄、谷雨日影長之和為（）A.25.5尺 B.34.5尺C.37.5尺 D.96尺6．已知f(x)是定義在R上的函數(shù)，且f(2)=2,，則f(x)＞x的解集是（）A. B.C. D.7．已知等差數(shù)列滿足，則其前10項之和為（）A.140 B.280C.68 D.568．中，，，分別為三個內角，，的對邊，若，，，則（）A. B.C. D.9．點到直線的距離為2，則的值為（）A.0 B.C.0或 D.0或10．已知點，Q是圓上的動點，則線段長的最小值為（）A.3 B.4C.5 D.611．在數(shù)列中，，，則（）A. B.C. D.12．兩位同學課余玩一種類似于古代印度的“梵塔游戲”：有3個柱子甲、乙、丙，甲柱上有個盤子，最上面的兩個盤子大小相同，從第二個盤子往下大小不等，大的在下，小的在上（如圖）.把這個盤子從甲柱全部移到乙柱游戲結束，在移動的過程中每次只能移動一個盤子，甲、乙、丙柱都可以利用，且3個柱子上的盤子始終保持小的盤子不能放在大的盤子之下.設游戲結束需要移動的最少次數(shù)為，則當時，和滿足A. B.C. D.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．若不等式的解集是，則的值是___________.14．已知函數(shù)，若有兩個零點，則的范圍是______15．在平面直角坐標系中，已知雙曲線的左，右焦點分別為，，過且與圓相切的直線與雙曲線的一條漸近線相交于點（點在第一象限），若，則雙曲線的離心率___________.16．若，則__________三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）新冠肺炎疫情期間，某地為了解本地居民對當?shù)胤酪吖ぷ鞯臐M意度，從本地居民中隨機抽取了1500名居民進行評分（滿分100分），根據(jù)調查數(shù)據(jù)制成如下表格和頻率分布直方圖．滿意度評分滿意度等級不滿意基本滿意滿意非常滿意（1）求a的值；（2）定義滿意度指數(shù)，若，則防疫工作需要進行調整，否則不需要調整，根據(jù)所學知識判斷該區(qū)防疫工作是否需要進行調整？18．（12分）已知函數(shù)．其中e為然對數(shù)的底數(shù)（1）若，求函數(shù)的單調區(qū)間；（2）若，討論函數(shù)零點個數(shù)19．（12分）在四棱錐中，底面ABCD是矩形，點E是線段PA的中點.（1）求證：平面EBD；（2）若是等邊三角形，，平面平面ABCD，求點E到平面PDB的距離.20．（12分）在①，②是與的等比中項，③這三個條件中任選一個，補充在下面的問題中，并解答問題：已知數(shù)列{}的前n項和為，，且滿足___（1）求數(shù)列{}的通項公式；（2）求數(shù)列{}前n項和注：如果選擇多個條件分別解答，按第一個解答計分21．（12分）已知函數(shù)在處有極值.（1）求的值；（2）求函數(shù)在上的最大值與最小值.22．（10分）已知拋物線的焦點為，點在拋物線上，且點的縱坐標為4，（1）求拋物線的方程；（2）過點作直線交拋物線于兩點，試問拋物線上是否存在定點使得直線與的斜率互為倒數(shù)？若存在求出點的坐標，若不存在說明理由

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、D【解析】根據(jù)給定的方程求出離心率，的表達式，再計算判斷作答.【詳解】因橢圓的離心率為，則有，因雙曲線的離心率為，則有，所以.故選：D2、A【解析】由雙曲線的漸近線方程，可得，再由的關系和離心率公式，計算即可得到所求值【詳解】解：雙曲線的漸近線方程為，由題意可得即，可得由可得，故選：A.3、C【解析】根據(jù)三角恒等變換結合正弦定理化簡求得，即可判定三角形形狀.【詳解】解：由題，得，即，由正弦定理可得：，所以，所以三角形中，所以，又，所以，即三角形為直角三角形.故選：C.4、D【解析】對選項A，令即可檢驗；對選項B，令即可檢驗；對選項C，令即可檢驗；對選項D，設出等差數(shù)列的首項和公比，然后作差即可.【詳解】若，則可得：，故選項A錯誤；若，則可得：，故選項B錯誤；若，則可得：，故選項C錯誤；不妨設的首項為，公差為，則有：則有：，故選項D正確故選：D5、A【解析】由題意可知，十二個節(jié)氣其日影長依次成等差數(shù)列，設冬至日的日影長為尺，公差為尺，利用等差數(shù)列的通項公式，求出，即可求出，從而得到答案【詳解】設從冬至日起，小寒、大寒、立春、雨水、驚蟄、春分、清明、谷雨、立夏、小滿、芒種這十二個節(jié)氣其日影長依次成等差數(shù)列{}，如冬至日的日影長為尺，設公差為尺.由題可知，所以，，，，故選：A6、D【解析】構造，結合已知有在R上遞增且，原不等式等價于，利用單調性求解集.【詳解】令，由題設知：，即在R上遞增，又，所以f(x)＞x等價于，即.故選：D7、A【解析】根據(jù)等差數(shù)列的性質，可得，結合等差數(shù)列的求和公式，即可求解.【詳解】由題意，等差數(shù)列滿足，根據(jù)等差數(shù)列的性質，可得，所以數(shù)列的前10項和為.故選：A.8、C【解析】利用正弦定理求解即可.【詳解】，，，由正弦定理可得，解得，故選：C.9、C【解析】根據(jù)點到直線的距離公式即可得出答案.【詳解】解：點到直線的距離為，解得或.故選：C.10、A【解析】根據(jù)圓的幾何性質轉化為圓心與點的距離加上半徑即可得解.【詳解】圓的圓心為，半徑為，所以，圓上點在線段上時，，故選：A11、A【解析】根據(jù)已知條件，利用累加法得到的通項公式，從而得到.【詳解】由，得，所以，所以.故選：A.12、C【解析】通過寫出幾項，尋找規(guī)律，即可得到和滿足的遞推公式.【詳解】若甲柱有個盤，甲柱上的盤從上往下設為，其中，，當時，將移到乙柱，只移動1次；當時，將移到乙柱，將移到乙柱，移動2次；當時，將移到丙柱，將移到丙柱，將移到乙柱，再將移到乙柱，將移到乙柱，；當時，將上面的3個移到丙柱，共次，然后將移到乙柱，再將丙柱的3個移到乙柱，共次，所以次；當時，將上面的4個移到丙柱，共次，然后將移到乙柱，再將丙柱的4個移到乙柱，共次，所以次；……以此類推，可知，故選.【點睛】主要考查了數(shù)列遞推公式的求解，屬于中檔題.這類型題的關鍵是寫出幾項，尋找規(guī)律，從而得到對應的遞推公式.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】利用和是方程的兩根，再利用根與系數(shù)的關系即可求出和的值，即可得的值.【詳解】由題意可得：方程的兩根是和，由根與系數(shù)的關系可得：，所以，所以，故答案為：14、【解析】利用導數(shù)求出函數(shù)的最小值，結合函數(shù)的圖象列式可求出結果.【詳解】,當時，，在上為增函數(shù)，最多只有一個零點，不符合題意；當時，令，得，令，得，所以在上為減函數(shù)，在上為增函數(shù)，所以在時取得極小值為，也是最小值，因為當趨近于正負無窮時，都是趨近于正無窮，所以要使有兩個零點，只要，即就可以了.所以的范圍是故答案為：.15、2【解析】設切點，根據(jù)，可得，在中，利用余弦定理構造齊次式，從而可得出答案.【詳解】解：設切點，由，∴，∵為中點，則為中位線，∴，，中，，，，∴.故答案為：2.16、【解析】分別令和，再將兩個等式相加可求得的值.【詳解】令，則；令，則.上述兩式相加得故答案為：.【點睛】本題考查偶數(shù)項系數(shù)和的計算，一般令和，通過對等式相加減求得，考查計算能力，屬于中等題.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）（2）不需要【解析】（1）直接根據(jù)頻率和為1計算得到答案.（2）計算平均值得到得到答案.【小問1詳解】，解得.【小問2詳解】.故不需要進行調整.18、（1）單調遞減區(qū)間為，單調遞增區(qū)間為和；（2）當時，無零點；當時，有1個零點；當時，有2個零點.【解析】(1)求導，令導數(shù)大于零求增區(qū)間，令導數(shù)小于零求減區(qū)間；(2)求導數(shù)，分、、a＞2討論函數(shù)f(x)單調性和零點即可.【小問1詳解】當時，，易知定義域為R，，當時，；當或時，故的單調遞減區(qū)間為，單調遞增區(qū)間為和；【小問2詳解】當時，x正0負0正單增極大值單減極小值單增當時，恒成立，∴；當時，①當時，，∴無零點；②當時，，∴有1個零點；③當時，，又當時，單調遞增，，∴有2個零點；綜上所述：當時，無零點；當時，有1個零點；當時，有2個零點【點睛】結論點睛：(1)考查導數(shù)的幾何意義，往往與解析幾何、微積分相聯(lián)系．(2)利用導數(shù)求函數(shù)的單調區(qū)間，判斷單調性；已知單調性，求參數(shù)．(3)利用導數(shù)求函數(shù)的最值(極值)，解決生活中的優(yōu)化問題．(4)考查數(shù)形結合思想的應用19、（1）見解析（2）【解析】（1）連接交于點，連接，由中位線定理結合線面平行的判定證明即可；（2）由得出點到平面的距離，再由是的中點，得出點到平面的距離.【小問1詳解】連接交于點，連接.因為分別是的中點，所以.又平面EBD，平面EBD，所以平面EBD；【小問2詳解】過點作的垂線，垂足為，連接.因為平面平面ABCD，平面平面ABCD，所以平面ABCD，所以，設點到平面的距離為因為，所以，因為點是的中點，所以點到平面的距離為.20、（1）；（2）.【解析】(1)選①，可得數(shù)列為等差數(shù)列，求出，由，可得數(shù)列的通項公式為選②是與的等比中項，可得，由，可得，從而利用累乘法求得數(shù)列的通項公式為選③，由，可得，則數(shù)列為等差數(shù)列，從而求出通項公式(2)由(1)知，求出，利用錯位相減求和法求出小問1詳解】選①.因為，，所以是首項為1，公差為1的等差數(shù)列則，從而當時，，經(jīng)檢驗，當時，也符合上式．所以選②.因為是與的等比中項所以，當時，，兩式相減得，整理得，所以，經(jīng)檢驗，也符合上式，所以選③.由題設，得，兩式相減，得，整理，得，因為．所以，所以是首項為1，公差為2的等差數(shù)列，所以【小問2詳解】由(1)知，，所以，所以，則兩式相減，得，所以21、（1），；（2）最大值為，最小值為【解析】（1）對函數(shù)求導，根據(jù)函數(shù)在處取極值得出，再由極值為，得出，構造一個關于的二元一次方程組，便可解出的值；（2）由（1）可知，求出，利用導數(shù)研究函數(shù)在上的單調性，比較極值和端點值的大小，即可得出在上的最大值與最小值.【詳解】解：（1）由題可知，，的定義域為，，由于在處有極值，則，即，解得：，，（2）由（1）可知，其定義域是，，令，而，解得，由，得；由，得，則在區(qū)間上，，，的變化情況表如下：120單調遞減單調遞增可得，，，由于，則，所以，函數(shù)在區(qū)間上的最大值為，最小值為.【點睛】本題考查已知極值求參數(shù)值和函數(shù)在閉區(qū)間內的最值問題，考查利用導函數(shù)研究函數(shù)在給定