甘肅省張掖市臨澤縣一中2023年高二上數(shù)學(xué)期末統(tǒng)考試題含解析_第1頁
甘肅省張掖市臨澤縣一中2023年高二上數(shù)學(xué)期末統(tǒng)考試題含解析_第2頁
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甘肅省張掖市臨澤縣一中2023年高二上數(shù)學(xué)期末統(tǒng)考試題考生請注意:1.答題前請將考場、試室號、座位號、考生號、姓名寫在試卷密封線內(nèi),不得在試卷上作任何標記。2.第一部分選擇題每小題選出答案后,需將答案寫在試卷指定的括號內(nèi),第二部分非選擇題答案寫在試卷題目指定的位置上。3.考生必須保證答題卡的整潔??荚嚱Y(jié)束后,請將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的。1.已知正四面體的底面的中心為為的中點,則直線與所成角的余弦值為()A. B.C. D.2.已知數(shù)列中,其前項和為,且滿足,數(shù)列的前項和為,若對恒成立,則實數(shù)的值可以是()A. B.2C.3 D.3.若點P為拋物線y=2x2上的動點,F(xiàn)為拋物線的焦點,則|PF|的最小值為()A.2 B.C. D.4.天文學(xué)家卡西尼在研究土星及其衛(wèi)星的運行規(guī)律時發(fā)現(xiàn):同一平面內(nèi)到兩個定點的距離之積為常數(shù)的點的軌跡是卡西尼卵形線.在平面直角坐標系中,設(shè)定點為,,,點O為坐標原點,動點滿足(且為常數(shù)),化簡得曲線E:.當,時,關(guān)于曲線E有下列四個命題:①曲線E既是軸對稱圖形,又是中心對稱圖形;②的最大值為;③的最小值為;④面積的最大值為.其中,正確命題的個數(shù)為()A.1個 B.2個C.3個 D.4個5.已知函數(shù),則()A. B.C. D.6.執(zhí)行如圖所示的程序框圖,則輸出的結(jié)果為()A. B.C. D.7.某企業(yè)為節(jié)能減排,用萬元購進一臺新設(shè)備用于生產(chǎn).第一年需運營費用萬元,從第二年起,每年運營費用均比上一年增加萬元,該設(shè)備每年生產(chǎn)的收入均為萬元.設(shè)該設(shè)備使用了年后,年平均盈利額達到最大值(盈利額等于收入減去成本),則等于()A. B.C. D.8.已知橢圓的左、右焦點分別為、,點在橢圓上,若,則的面積為()A. B.C. D.9.等比數(shù)列的各項均為正數(shù),且,則A. B.C. D.10.設(shè),,,則下列不等式中一定成立的是()A. B.C. D.11.在長方體,,則異面直線與所成角的余弦值是()A. B.C. D.12.執(zhí)行如圖所示的程序框圖,若輸出的的值為,則輸入的的值可能為()A.96 B.97C.98 D.99二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.如圖,在五面體中,//,,,四邊形為平行四邊形,平面,,則直線到平面距離為_________14.某市有30000人參加階段性學(xué)業(yè)水平檢測,檢測結(jié)束后的數(shù)學(xué)成績X服從正態(tài)分布,若,則成績在140分以上的大約為______人15.已知雙曲線兩焦點之間的距離為4,則雙曲線的漸近線方程是___________.16.如圖所示四棱錐,底面ABCD為直角梯形,,,,,是底面ABCD內(nèi)一點(含邊界),平面MBD,則點O軌跡的長度為_____________.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17.(12分)小張在2020年初向建行貸款50萬元先購房,銀行貸款的年利率為4%,要求從貸款開始到2030年要分10年還清,每年年底等額歸還且每年1次,每年至少要還多少錢呢(保留兩位小數(shù))?(提示:(1+4%)10≈1.48)18.(12分)如圖,在四棱錐P﹣ABCD中,PA⊥平面ABCD,AB⊥AD,BC//AD,AD=2BC=2PA=2AB=2,E,F(xiàn),G分別為線段AD,DC,PB的中點.(1)證明:直線PF//平面ACG;(2)求直線PD與平面ACG所成角的正弦值.19.(12分)著名的“康托爾三分集”是由德國數(shù)學(xué)家康托爾構(gòu)造的,是人類理性思維的產(chǎn)物,其操作過程如下:將閉區(qū)間均分為三段,去掉中間的區(qū)間段記為第一次操作;再將剩下的兩個閉區(qū)間,分別均分為三段,并各自去掉中間的區(qū)間段,記為第二次操作;…,如此這樣,每次在上一次操作的基礎(chǔ)上,將剩下的各個區(qū)間分別均分為三段,同樣各自去掉中間的區(qū)間段.操作過程不斷地進行下去,以至無窮.每次操作后剩下的閉區(qū)間構(gòu)成的集合即是“康托爾三分集”.例如第一次操作后的“康托爾三分集”為.(1)求第二次操作后的“康托爾三分集”;(2)定義的區(qū)間長度為,記第n次操作后剩余的各區(qū)間長度和為,求;(3)記n次操作后“康托爾三分集”的區(qū)間長度總和為,若使不大于原來的,求n的最小值.(參考數(shù)據(jù):,)20.(12分)已知橢圓經(jīng)過點,左焦點為.(Ⅰ)求橢圓的方程;(Ⅱ)若是橢圓的右頂點,過點且斜率為的直線交橢圓于兩點,求的面積.21.(12分)已知直線:,直線:.(1)若,求與的距離;(2)若,求與的交點的坐標.22.(10分)在數(shù)列中,,是與的等差中項,(1)求證:數(shù)列是等差數(shù)列(2)令,求數(shù)列的前項的和

參考答案一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的。1、B【解析】連接,再取中點,連接,得到為直線與所成角,再解三角形即可.【詳解】連接,再取中點,連接,因為分別為VC,中點,則,且底面,所以為直線與所成角,令正四面體邊長為1,則,,,所以,故選:.2、D【解析】由求出,從而可以求,再根據(jù)已知條件不等式恒成立,可以進行適當放大即可.【詳解】若n=1,則,故;若,則由得,故,所以,,又因為對恒成立,當時,則恒成立,當時,,所以,,,若n為奇數(shù),則;若n為偶數(shù),則,所以所以,對恒成立,必須滿足.故選:D3、D【解析】根據(jù)拋物線的定義得出當點P在拋物線的頂點時,|PF|取最小值.【詳解】根據(jù)題意,設(shè)拋物線y=2x2上點P到準線的距離為d,則有|PF|=d,拋物線的方程為y=2x2,即x2=y(tǒng),其準線方程為y=-,∴當點P在拋物線的頂點時,d有最小值,即|PF|min=.故選:D4、D【解析】①:根據(jù)軸對稱圖形、中心對稱圖形的方程特征進行判斷即可;②:結(jié)合兩點間距離公式、曲線方程特征進行判斷即可;③:根據(jù)卡西尼卵形線的定義,結(jié)合基本不等式進行判斷即可;④:根據(jù)方程特征,結(jié)合三角形面積公式進行判斷即可.【詳解】當,時,.①:因為以代方程不變,以代方程不變,同時代,以代方程不變,所以曲線E既是軸對稱圖形,又是中心對稱圖形,因此本命題正確;②:由,所以有,所以,當時成立,因此本命題正確;③:因為,所以,當且僅當時,取等號,因此本命題正確;④:,因為,所以,的面積為,因此本命題正確,故選:D【點睛】關(guān)鍵點睛:利用方程特征進行求解判斷是解題的關(guān)鍵.5、B【解析】求出,代值計算可得的值.【詳解】因為,則,故.故選:B.6、B【解析】寫出每次循環(huán)的結(jié)果,即可得到答案.【詳解】當時,,,,;,此時,退出循環(huán),輸出的的為.故選:B【點睛】本題考查程序框圖的應(yīng)用,此類題要注意何時循環(huán)結(jié)束,建議數(shù)據(jù)不大時采用寫出來的辦法,是一道容易題.7、D【解析】設(shè)該設(shè)備第年的營運費為萬元,利用為等差數(shù)列可求年平均盈利額,利用基本不等式可求其最大值.【詳解】設(shè)該設(shè)備第年的營運費為萬元,則數(shù)列是以2為首項,2為公差的等差數(shù)列,則,則該設(shè)備使用年的營運費用總和為,設(shè)第n年的盈利總額為,則,故年平均盈利額為,因為,當且僅當時,等號成立,故當時,年平均盈利額取得最大值4.故選:D.【點睛】本題考查等差數(shù)列在實際問題中的應(yīng)用,注意根據(jù)題設(shè)條件概括出數(shù)列的類型,另外用基本不等式求最值時注意檢驗等號成立的條件.8、B【解析】求出,可知為等腰三角形,取的中點,可得出,利用勾股定理求得,利用三角形的面積公式可求得結(jié)果.【詳解】在橢圓中,,,則,所以,,由橢圓的定義可得,取的中點,因為,則,由勾股定理可得,所以,.故選:B.9、B【解析】根據(jù)等比數(shù)列的性質(zhì),結(jié)合已知條件,求得,進而求得的值.【詳解】由于數(shù)列是等比數(shù)列,故,所以,故.故選B.【點睛】本小題主要考查等比數(shù)列的性質(zhì),考查對數(shù)運算,屬于基礎(chǔ)題.10、B【解析】利用特殊值法可判斷ACD的正誤,根據(jù)不等式的性質(zhì),可判斷B的正誤.【詳解】對于A中,令,,,,滿足,,但,故A錯誤;對于B中,因為,所以由不等式的可加性,可得,所以,故B正確;對于C中,令,,,,滿足,,但,故C錯誤;對于D中,令,,,,滿足,,但,故D錯誤故選:B11、A【解析】在長方體中建立空間直角坐標系,求出相關(guān)點的坐標,進而求得向量,的坐標,利用向量的夾角公式即可求得答案.詳解】如圖,由題意可知DA,DC,兩兩垂直,則以D為原點,,的方向分別為x,y,z軸的正方向,建立空間直角坐標系.設(shè),則,,,,,,從而,故異面直線與所成角的余弦值是,故選:A.12、D【解析】根據(jù)程序框圖得出的變換規(guī)律后求解【詳解】當時,,當時,,當時,,當時,,可得輸出的T關(guān)于t的變換周期為4,而,故時,輸出的值為,故選:D二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13、【解析】利用等價轉(zhuǎn)化的思想轉(zhuǎn)化為點到面的距離,作,利用線面垂直的判定定理證明平面,然后計算使用等面積法,可得結(jié)果.【詳解】作如圖由//,平面,平面所以//平面所以直線到平面距離等價于點到平面距離又平面,平面所以,又,則平面,,所以平面平面,所以又平面,所以平面所以點到平面距離為由,所以又,所以在中,又故答案為:【點睛】本題考查線面垂直的綜合應(yīng)用以及等面積法求高,重點在于使用等價轉(zhuǎn)換的思想,考驗理解能力,分析問題的能力,屬中檔題.14、150【解析】根據(jù)考試的成績X服從正態(tài)分布.得到考試的成績X的正太密度曲線關(guān)于對稱,根據(jù),得到,根據(jù)頻率乘以樣本容量得到這個分數(shù)段上的人數(shù)【詳解】由題意,考試的成績X服從正態(tài)分布考試的成績X的正太密度曲線關(guān)于對稱,,,,該市成績在140分以上的人數(shù)為故答案為:15015、.【解析】根據(jù)條件求出c,進而根據(jù)求出a,最后寫出漸近線方程.【詳解】因為雙曲線兩焦點之間的距離為4,所以,解得,所以,,雙曲線的漸近線方程是.故答案為:.16、【解析】繪出如圖所示的輔助線,然后通過平面平面得出點軌跡為線段,最后通過求出、的長度即可得出結(jié)果.【詳解】如圖,延長到點,使且,連接,取上點,使得,作,交于點,交于點,連接,因為,所以,因為,又,所以,,因為,,,所以平面平面,因為平面,面,所以點軌跡為線段,因為,,所以,因為,,,所以,因為底面為直角梯形,所以,,,,故答案為:.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、每年至少要還6.17萬元.【解析】根據(jù)貸款總額和還款總額相等,50(1+4%)10=x·(1+4%)9+x·(1+4%)8+…+x,求解即可.【詳解】50萬元10年產(chǎn)生本息和與每年還x萬元的本息和相等,故有購房款50萬元十年的本息和:50(1+4%)10,每年還x萬元的本息和:x·(1+4%)9+x·(1+4%)8+…+x=,從而有50(1+4%)10=,解得x≈6.17,即每年至少要還6.17萬元.18、(1)證明見解析(2)【解析】(1)連接EC,設(shè)EB與AC相交于點O,結(jié)合已知條件利用線面平行的判定定理可證得OG//平面PEF,再由三角形中位線定理結(jié)合線面垂直的判定定理可得AC//平面PEF,從而由面面垂直的判定可得平面PEF//平面GAC,進而可證得結(jié)論,(2)由已知可證得PA、AB、AD兩兩互相垂直,以A為原點,AB,AD,AP所在的直線為x軸,y軸,z軸,建立空間直角坐標系,利用空間向量求解即可【小問1詳解】證明:連接EC,設(shè)EB與AC相交于點O,如圖,因為BC//AD,且,AB⊥AD,所以四邊形ABCE為矩形,所以O(shè)為EB的中點,又因為G為PB的中點,所以O(shè)G為△PBE的中位線,即OG∥PE,因為OG平面PEF,PE?平面PEF,所以O(shè)G//平面PEF,因為E,F(xiàn)分別為線段AD,DC的中點,所以EF//AC,因為AC平面PEF,EF?平面PEF,所以AC//平面PEF,因為OG?平面GAC,AC?平面GAC,AC∩OG=O,所以平面PEF//平面GAC,因為PF?平面PEF,所以PF//平面GAC.【小問2詳解】因為PA⊥底面ABCD,AB?平面ABCD,AD?平面ABCD,所以PA⊥AB,PA⊥AD,因為AB⊥AD,所以PA、AB、AD兩兩互相垂直,以A為原點,AB,AD,AP所在的直線為x軸,y軸,z軸,建立空間直角坐標系,如圖所示:則A(0,0,0),,C(1,1,0),D(0,2,0),P(0,0,1),所以,設(shè)平面ACG的法向量為,則,所以,令x=1,可得y=﹣1,z=﹣1,所以,設(shè)直線PD與平面ACG所成角為θ,則,所以直線PD與平面ACG所成角的正弦值為.19、(1)(2)(3)【解析】(1)根據(jù)“康托爾三分集”的定義,即可求得第二次操作后的“康托爾三分集”;(2)根據(jù)“康托爾三分集”的定義,分別求得前幾次的剩余區(qū)間長度的和,求得其通項公式,即可求解;(3)由(2)可得第次操作剩余區(qū)間的長度和為,結(jié)合題意,得到,利用對數(shù)的運算公式,即可求解.【小問1詳解】解:根據(jù)“康托爾三分集”的定義可得:第一次操作后的“康托爾三分集”為,第二次操作后的“康托爾三分集”為;【小問2詳解】解:將定義的區(qū)間長度為,根據(jù)“康托爾三分集”的定義可得:每次去掉的區(qū)間長后組成的數(shù)為以為首項,為公比的等比數(shù)列,第1次操作去掉的區(qū)間長為,剩余區(qū)間的長度和為,第2次操作去掉兩個區(qū)間長為的區(qū)間,剩余區(qū)間的長度和為,第3次操作去掉四個區(qū)間長為的區(qū)間,剩余區(qū)間的長度和為,第4次操作去掉個區(qū)間長為,剩余區(qū)間的長度和為,第次操作去掉個區(qū)間長為,剩余區(qū)間的長度和為,所以第次操作后剩余的各區(qū)間長度和為;【小問3詳解】解:設(shè)定義區(qū)間,則區(qū)間長度為1,由(2)可得第次操作剩余區(qū)間的長度和為,要使得“康托三分集”的各區(qū)間的長度之和不大于,則

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