廣東省深圳市格睿特高級中學(xué)2023年高二上數(shù)學(xué)期末考試試題含解析

廣東省深圳市格睿特高級中學(xué)2023年高二上數(shù)學(xué)期末考試試題注意事項(xiàng)1．考生要認(rèn)真填寫考場號和座位序號。2．試題所有答案必須填涂或書寫在答題卡上，在試卷上作答無效。第一部分必須用2B鉛筆作答；第二部分必須用黑色字跡的簽字筆作答。3．考試結(jié)束后，考生須將試卷和答題卡放在桌面上，待監(jiān)考員收回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．已知定義在上的函數(shù)滿足：，且，則的解集為（）A. B.C. D.2．在中，角所對的邊分別為，，，則外接圓的面積是（）A. B.C. D.3．若拋物線上一點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離為5，則點(diǎn)的坐標(biāo)為（）A. B.C. D.4．已知向量＝（3，0，1），＝（﹣2，4，0），則3+2等于（）A.（5，8，3） B.（5，﹣6，4）C.（8，16，4） D.（16，0，4）5．下列說法中正確的是A.命題“若，則”的逆命題為真命題B.若為假命題，則均為假命題C.若為假命題，則為真命題D.命題“若兩個(gè)平面向量滿足，則不共線”的否命題是真命題.6．設(shè)函數(shù)，則和的值分別為（）A.、 B.、C.、 D.、7．用1，2，3，4這4個(gè)數(shù)字可寫出（）個(gè)沒有重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)A.24 B.12C.81 D.648．若雙曲線（，）的一條漸近線經(jīng)過點(diǎn)，則雙曲線的離心率為（）A. B.C. D.29．若函數(shù)在上有且僅有一個(gè)極值點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（）A. B.C. D.10．若函數(shù)恰好有個(gè)不同的零點(diǎn)，則的取值范圍是（）A. B.C. D.11．邊長為的正方形沿對角線折成直二面角，、分別為、的中點(diǎn)，是正方形的中心，則的大小為（）A. B.C. D.12．在等差數(shù)列中，，，則公差A(yù).1 B.2C.3 D.4二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．展開式的常數(shù)項(xiàng)是________14．某個(gè)年級有男生560人，女生420人，用分層抽樣的方法從該年級全體學(xué)生中抽取一個(gè)容量為280的樣本，則此樣本中男生人數(shù)為____________.15．?dāng)?shù)列中，，，設(shè)（1）求證：數(shù)列是等比數(shù)列；（2）求數(shù)列的前項(xiàng)和；（3）若，為數(shù)列的前項(xiàng)和，求不超過的最大的整數(shù)16．如果方程表示焦點(diǎn)在軸上的橢圓，那么實(shí)數(shù)的取值范圍是______.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知二次曲線的方程：（1）分別求出方程表示橢圓和雙曲線的條件；（2）若雙曲線與直線有公共點(diǎn)且實(shí)軸最長，求雙曲線方程；（3）為正整數(shù)，且，是否存在兩條曲線，其交點(diǎn)P與點(diǎn)滿足，若存在，求的值；若不存在，說明理由18．（12分）在中，a，b，c分別是內(nèi)角A，B，C的對邊，滿足.（1）求A；（2）若，求面積的最大值.19．（12分）設(shè)a，b是實(shí)數(shù)，若橢圓過點(diǎn)，且離心率為.（1）求橢圓E的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）過橢圓E的上頂點(diǎn)P分別作斜率為，的兩條直線與橢圓交于C，D兩點(diǎn)，且，試探究過C，D兩點(diǎn)的直線是否過定點(diǎn)？若過定點(diǎn)，求出定點(diǎn)坐標(biāo)；否則，說明理由.20．（12分）已知函數(shù)在時(shí)有極值0.（1）求函數(shù)的解析式；（2）記，若函數(shù)有三個(gè)零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)的取值范圍.21．（12分）已知過拋物線的焦點(diǎn)F且斜率為1的直線l交C于A，B兩點(diǎn)，且（1）求拋物線C的方程；（2）求以C的準(zhǔn)線與x軸的交點(diǎn)D為圓心且與直線l相切的圓的方程22．（10分）已知數(shù)列中，，（）.（1）求證：是等比數(shù)列，并求的通項(xiàng)公式；（2）數(shù)列滿足，求數(shù)列的前項(xiàng)和為.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、A【解析】令，利用導(dǎo)數(shù)可判斷其單調(diào)性，從而可解不等式.【詳解】設(shè)，則，故為上的增函數(shù)，而可化為即，故即，所以不等式的解集為，故選：A.2、B【解析】利用余弦定理可得，然后利用正弦定理可得，即求.【詳解】因?yàn)?，所以，由余弦定理得，，所以，設(shè)外接圓的半徑為，由正統(tǒng)定理得，，所以，所以外接圓的面積是.故選：B.3、C【解析】設(shè)，由拋物線的方程可得準(zhǔn)線方程為，由拋物線的性質(zhì)到焦點(diǎn)的距離等于到準(zhǔn)線的距離，求出，解出縱坐標(biāo)，進(jìn)而求出【詳解】由題意可得，解得，代入拋物線的方程，解得，所以的坐標(biāo)，故選：C.4、A【解析】直接根據(jù)空間向量的線性運(yùn)算，即可得到答案；【詳解】，故選：A5、D【解析】A中，利用四種命題的的真假判斷即可；B、C中，命題“”為假命題時(shí)，、至少有一個(gè)為假命題；D中，寫出該命題的否命題，再判斷它的真假性【詳解】對于A，命題“若，則”的逆命題是：若，則；因?yàn)橐渤闪?所以A不正確；對于B，命題“”為假命題時(shí)，、至少有一個(gè)為假命題，所以B錯(cuò)誤；C錯(cuò)誤；對于D，“平面向量滿足”，則不共線的否命題是，若“平面向量滿足”，則共線；由知：，一定有，，所以共線，D正確.故選：D.【點(diǎn)睛】本題考查了命題的真假性判斷問題，也考查了推理與判斷能力，是基礎(chǔ)題6、D【解析】求得，即可求得、的值.【詳解】，則，則，故，.故選：D.7、A【解析】由題意，從4個(gè)數(shù)中選出3個(gè)數(shù)出來全排列即可.【詳解】由題意，從4個(gè)數(shù)中選出3個(gè)數(shù)出來全排列，共可寫出個(gè)三位數(shù).故選：A8、A【解析】先求出漸近線方程，進(jìn)而將點(diǎn)代入直線方程得到a,b關(guān)系，進(jìn)而求出離心率.【詳解】由題意，雙曲線的漸近線方程為：，而一條漸近線過點(diǎn)，則，.故選：A.9、C【解析】根據(jù)極值點(diǎn)的意義,可知函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)在上有且僅有一個(gè)零點(diǎn).結(jié)合零點(diǎn)存在定理,即可求得的取值范圍.【詳解】函數(shù)則因?yàn)楹瘮?shù)在上有且僅有一個(gè)極值點(diǎn)即在上有且僅有一個(gè)零點(diǎn)根據(jù)函數(shù)零點(diǎn)存在定理可知滿足即可代入可得解得故選:C【點(diǎn)睛】本題考查了函數(shù)極值點(diǎn)的意義,函數(shù)零點(diǎn)存在定理的應(yīng)用,屬于中檔題.10、D【解析】分析可知，直線與函數(shù)的圖象有個(gè)交點(diǎn)，利用導(dǎo)數(shù)分析函數(shù)的單調(diào)性與極值，數(shù)形結(jié)合可求得實(shí)數(shù)的取值范圍.【詳解】令，可得，構(gòu)造函數(shù)，其中，由題意可知，直線與函數(shù)的圖象有個(gè)交點(diǎn)，，由，可得或，列表如下：增極大值減極小值增所以，，，作出直線與函數(shù)的圖象如下圖所示：由圖可知，當(dāng)時(shí)，即當(dāng)時(shí)，直線與函數(shù)的圖象有個(gè)交點(diǎn)，即函數(shù)有個(gè)零點(diǎn).故選：D.11、B【解析】建立空間直角坐標(biāo)系，以向量法去求的大小即可解決.【詳解】由題意可得平面，，則兩兩垂直以O(shè)為原點(diǎn)，分別以O(shè)B、OA、OC所在直線為x、y、z軸建立空間直角坐標(biāo)系則，，，，又，則故選：B12、B【解析】由，將轉(zhuǎn)化為表示，結(jié)合，即可求解.【詳解】，.故選:B.【點(diǎn)睛】本題考查等差數(shù)列基本量的計(jì)算，屬于基礎(chǔ)題.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】求出的通項(xiàng)公式，令的指數(shù)為0，即可求解.【詳解】的通項(xiàng)公式是，，依題意，令，所以的展開式中的常數(shù)項(xiàng)為.故答案為：.14、160【解析】∵某個(gè)年級共有980人，要從中抽取280人，∴抽取比例為，∴此樣本中男生人數(shù)為，故答案為160.考點(diǎn)：本題考查了分層抽樣的應(yīng)用點(diǎn)評：掌握分層抽樣的概念是解決此類問題的關(guān)鍵，屬基礎(chǔ)題15、（1）證明見解析；（2）；（3）2021【解析】(1)將兩邊都加，證明是常數(shù)即可；(2)求出的通項(xiàng)，利用錯(cuò)位相減法求解即可；(3)先求出，再求出的表達(dá)式，利用裂項(xiàng)相消法即可得解.【詳解】（1）將兩邊都加，得，而，即有，又，則，，所以數(shù)列是首項(xiàng)為，公比為的等比數(shù)列；（2）由（1）知，，則，，，因此，，所以；（3）由（2）知，于是得，則，因此，，所以不超過的最大的整數(shù)是202116、【解析】化簡橢圓的方程為標(biāo)準(zhǔn)形式，列出不等式，即可求解.【詳解】由題意，方程可化為，因?yàn)榉匠瘫硎窘裹c(diǎn)在軸上的橢圓，可得，解得，實(shí)數(shù)的取值范圍是.故答案為：.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）時(shí)，方程表示橢圓，時(shí)，方程表示雙曲線；（2）；（3）存在，且或或.【解析】（1）當(dāng)且僅當(dāng)分母都為正，且不相等時(shí)，方程表示橢圓；當(dāng)且僅當(dāng)分母異號時(shí)，方程表示雙曲線（2）將直線與曲線聯(lián)立化簡得：，利用雙曲線與直線有公共點(diǎn)，可確定的范圍，從而可求雙曲線的實(shí)軸，進(jìn)而可得雙曲線方程；（3）由（1）知，，是橢圓，，，，是雙曲線，結(jié)合圖象的幾何性質(zhì)，任意兩橢圓之間無公共點(diǎn)，任意兩雙曲線之間無公共點(diǎn)，從而可求【詳解】（1）當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，方程表示橢圓；當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，方程表示雙曲線（2）化簡得：△或所以雙曲線的實(shí)軸為，當(dāng)時(shí)，雙曲線實(shí)軸最長為此時(shí)雙曲線方程為（3）由（1）知，，是橢圓，，，，是雙曲線，結(jié)合圖象的幾何性質(zhì)任意兩橢圓之間無公共點(diǎn)，任意兩雙曲線之間無公共點(diǎn)設(shè)，，，2，，，6，7，由橢圓與雙曲線定義及；所以所以這樣的，存在，且或或【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：曲線方程的確定可分為兩類：若已知曲線類型，則采用待定系數(shù)法；若曲線類型未知時(shí)，則可利用直接法、定義法、相關(guān)點(diǎn)法等求解或者利用分類討論思想求解.18、（1）（2）【解析】（1）由正弦定理得，再由范圍可得答案；（2）由余弦定理和基本不等式可得，再由面積公式可得答案.【小問1詳解】∵，由正弦定理得，又，所以，又，則；【小問2詳解】由余弦定理得，即，所以，當(dāng)且僅當(dāng)，取“=”，所以面積的最大值為19、（1）；（2）過定點(diǎn)，坐標(biāo)為.【解析】（1）根據(jù)橢圓的離心率公式，結(jié)合代入法進(jìn)行求解即可；（2）根據(jù)直線斜率公式和一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系進(jìn)行求解即可.【小問1詳解】因?yàn)闄E圓離心率為，所以有.橢圓過點(diǎn)，所以，由可解：，所以該橢圓方程為：；【小問2詳解】由（1）可知：，設(shè)直線的方程為：，若，由橢圓的對稱性可知：，不符合題意，當(dāng)時(shí)，直線的方程與橢圓方程聯(lián)立得：，設(shè)，，，因?yàn)椋?，把代入得：，所以有或，解得：或，?dāng)時(shí)，直線，直線恒過定點(diǎn)，此時(shí)與點(diǎn)重合，不符合題意，當(dāng)時(shí)，，直線恒過點(diǎn)，當(dāng)直線不存在斜率時(shí)，此時(shí)，，因?yàn)?，所以，兩點(diǎn)不在橢圓上，不符合題意，綜上所述：過C，D兩點(diǎn)的直線過定點(diǎn)，定點(diǎn)坐標(biāo)為.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：根據(jù)一元二次方程根與系數(shù)關(guān)系是解題的關(guān)鍵.20、（1）（2）【解析】（1）求出函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，由在時(shí)有極值0,則，兩式聯(lián)立可求常數(shù)a，b的值，從而得解析式；（2）利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、極值，根據(jù)函數(shù)圖象的大致形狀可求出參數(shù)的取值范圍.【小問1詳解】由可得，因?yàn)樵跁r(shí)有極值0，所以，即，解得或，當(dāng)時(shí)，，函數(shù)在R上單調(diào)遞增，不滿足在時(shí)有極值，故舍去.所以常數(shù)a，b的值分別為.所以.【小問2詳解】由（1）可知，，令，解得，當(dāng)或時(shí)，當(dāng)時(shí)，，的遞增區(qū)間是和，單調(diào)遞減區(qū)間為，當(dāng)有極大值，當(dāng)有極小值，要使函數(shù)有三個(gè)零點(diǎn)，則須滿足，解得.21、（1）；（2）【解析】（1）首先表示出直線l的方程，再聯(lián)立直線與拋物線方程，消去，列出韋達(dá)定理，再根據(jù)焦點(diǎn)弦公式計(jì)算可得；（2）由（1）可得，再利用點(diǎn)到直線的距離求出半徑，即可求出圓的方程；【詳解】解析：（1）由已知得點(diǎn)，∴直線l的方程為，聯(lián)立去，消去整理得設(shè)，，則，，∴拋物線C的方程為（2）由（1）可得，直線l的方程為，∴圓D的半徑，∴圓D的方程為【點(diǎn)睛】本題考查拋物線的簡單幾何性質(zhì)，屬于中檔題.22、（1）（2）【解