廣東云浮一中2023年數(shù)學(xué)高二上期末綜合測(cè)試模擬試題含解析

廣東云浮一中2023年數(shù)學(xué)高二上期末綜合測(cè)試模擬試題考生請(qǐng)注意：1．答題前請(qǐng)將考場(chǎng)、試室號(hào)、座位號(hào)、考生號(hào)、姓名寫(xiě)在試卷密封線(xiàn)內(nèi)，不得在試卷上作任何標(biāo)記。2．第一部分選擇題每小題選出答案后，需將答案寫(xiě)在試卷指定的括號(hào)內(nèi)，第二部分非選擇題答案寫(xiě)在試卷題目指定的位置上。3．考生必須保證答題卡的整潔。考試結(jié)束后，請(qǐng)將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．經(jīng)過(guò)直線(xiàn)與直線(xiàn)的交點(diǎn)，且平行于直線(xiàn)的直線(xiàn)方程為（）A. B.C. D.2．設(shè)正實(shí)數(shù)，滿(mǎn)足(其中為正常數(shù))，若的最大值為3，則（）A.3 B.C. D.3．直線(xiàn)被圓截得的弦長(zhǎng)為（）A.1 B.C.2 D.34．拋物線(xiàn)的準(zhǔn)線(xiàn)方程是（）A. B.C. D.5．《周髀算經(jīng)》是中國(guó)最古老的天文學(xué)和數(shù)學(xué)著作，書(shū)中提到:冬至、小寒、大寒、立春、雨水、驚蟄、春分、清明、谷雨、立夏、小滿(mǎn)、芒種這十二個(gè)節(jié)氣的日影子長(zhǎng)依次成等差數(shù)列.若冬至、大寒、雨水的日影子長(zhǎng)的和是尺，芒種的日影子長(zhǎng)為尺，則冬至的日影子長(zhǎng)為（）A.尺 B.尺C.尺 D.尺6．在四面體OABC中，，，，則與AC所成角的大小為（）A.30° B.60°C.120° D.150°7．函數(shù)在上的最小值為（）A. B.4C. D.8．在平面內(nèi)，A，B是兩個(gè)定點(diǎn)，C是動(dòng)點(diǎn)，若，則點(diǎn)C的軌跡為（）A.圓 B.橢圓C.拋物線(xiàn) D.直線(xiàn)9．?dāng)€（cuán）尖是我國(guó)古代建筑中屋頂?shù)囊环N結(jié)構(gòu)樣式，多見(jiàn)于亭閣或園林式建筑．下圖是一頂圓形攢尖，其屋頂可近似看作一個(gè)圓錐，其軸截面（過(guò)圓錐軸的截面）是底邊長(zhǎng)為，頂角為的等腰三角形，則該屋頂?shù)拿娣e約為（）A. B.C. D.10．已知等比數(shù)列的公比為，則“是遞增數(shù)列”的一個(gè)充分條件是（）A. B.C. D.11．已知函數(shù)的圖象是下列四個(gè)圖象之一，且其導(dǎo)函數(shù)的圖象如圖所示，則該函數(shù)的圖象是（）A. B.C. D.12．已知橢圓的長(zhǎng)軸長(zhǎng)為10，焦距為8，則該橢圓的短軸長(zhǎng)等于（）A.3 B.6C.8 D.12二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．為和的等差中項(xiàng)，則_____________.14．拋物線(xiàn)的焦點(diǎn)到準(zhǔn)線(xiàn)的距離等于__________.15．某部門(mén)計(jì)劃對(duì)某路段進(jìn)行限速，為調(diào)查限速60km/h是否合理，對(duì)通過(guò)該路段的300輛汽車(chē)的車(chē)速進(jìn)行檢測(cè)，將所得數(shù)據(jù)按，，，分組，繪制成如圖所示頻率分布直方圖.則________；這300輛汽車(chē)中車(chē)速低于限速60km/h的汽車(chē)有______輛.16．經(jīng)過(guò)、兩點(diǎn)的直線(xiàn)斜率為_(kāi)_____.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17．（12分）如圖，在三棱柱中，點(diǎn)在底面內(nèi)的射影恰好是點(diǎn)，是的中點(diǎn)，且滿(mǎn)足（1）求證：平面；（2）已知，直線(xiàn)與底面所成角的大小為，求二面角的大小18．（12分）已知橢圓，斜率為的動(dòng)直線(xiàn)與橢圓交于A，B兩點(diǎn)，且直線(xiàn)與圓相切.（1）若，求直線(xiàn)的方程；（2）求三角形的面積的取值范圍.19．（12分）如圖，△ABC中，，，在三角形內(nèi)挖去一個(gè)半圓（圓心O在邊BC上，半圓與AC、AB分別相切于點(diǎn)C，M，與BC交于點(diǎn)N），將△ABC繞直線(xiàn)BC旋轉(zhuǎn)一周得到一個(gè)旋轉(zhuǎn)體（1）求該幾何體中間一個(gè)空心球表面積的大??；（2）求圖中陰影部分繞直線(xiàn)BC旋轉(zhuǎn)一周所得旋轉(zhuǎn)體的體積20．（12分）同時(shí)拋擲兩顆骰子，觀察向上點(diǎn)數(shù).（1）試表示“出現(xiàn)兩個(gè)1點(diǎn)”這個(gè)事件相應(yīng)的樣本空間的子集；（2）求出現(xiàn)兩個(gè)1點(diǎn)”的概率；（3）求“點(diǎn)數(shù)之和為7”的概率.21．（12分）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知點(diǎn)、，點(diǎn)M滿(mǎn)足，記點(diǎn)M的軌跡為C（1）求C的方程；（2）若直線(xiàn)l過(guò)圓圓心D且與圓交于A，B兩點(diǎn)，點(diǎn)P為C上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，求的最小值22．（10分）在下列所給的三個(gè)條件中任選一個(gè)，補(bǔ)充在下面的問(wèn)題中，并加以解答①過(guò)（－1，2）；②與直線(xiàn)平行；③與直線(xiàn)垂直問(wèn)題：已知直線(xiàn)過(guò)點(diǎn)M（3，5），且______（1）求的方程；（2）若與圓相交于點(diǎn)A、B，求弦AB的長(zhǎng)

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、B【解析】求出兩直線(xiàn)的交點(diǎn)坐標(biāo)，可設(shè)所求直線(xiàn)的方程為，將交點(diǎn)坐標(biāo)代入求得，即可的解.【詳解】解：由，解得，即兩直線(xiàn)的交點(diǎn)坐標(biāo)為，設(shè)所求直線(xiàn)的方程為，則有，解得，所以所求直線(xiàn)方程為，即.故選：B.2、D【解析】由于，，為正數(shù)，且，所以利用基本不等式可求出結(jié)果【詳解】解：因?yàn)檎龑?shí)數(shù)，滿(mǎn)足(其中為正常數(shù))，所以，則，所以，所以故選：D.3、C【解析】利用直線(xiàn)和圓相交所得的弦長(zhǎng)公式直接計(jì)算即可.【詳解】由題意可得圓的圓心為，半徑，則圓心到直線(xiàn)的距離，所以由直線(xiàn)和圓相交所得的弦長(zhǎng)公式可得弦長(zhǎng)為：.故選：C.4、D【解析】將拋物線(xiàn)的方程化為標(biāo)準(zhǔn)方程，可得出該拋物線(xiàn)的準(zhǔn)線(xiàn)方程.【詳解】拋物線(xiàn)的標(biāo)準(zhǔn)方程為，則，可得，因此，該拋物線(xiàn)的準(zhǔn)線(xiàn)方程為.故選：D.5、D【解析】根據(jù)題意轉(zhuǎn)化為等差數(shù)列，求首項(xiàng).【詳解】設(shè)冬至的日影長(zhǎng)為，雨水的日影長(zhǎng)為，根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)可知，芒種的日影長(zhǎng)為，，解得：，，所以冬至的日影長(zhǎng)為尺.故選：D6、B【解析】以為空間的一個(gè)基底，求出空間向量求的夾角即可判斷作答.【詳解】在四面體OABC中，不共面，則，令，依題意，，設(shè)與AC所成角的大小為，則，而，解得，所以與AC所成角的大小為.故選：B7、D【解析】求出導(dǎo)數(shù)，由導(dǎo)數(shù)確定函數(shù)在上的單調(diào)性與極值，可得最小值【詳解】，所以時(shí)，，遞減，時(shí)，，遞增，所以是在上的唯一極值點(diǎn)，極小值也是最小值．故選：D8、A【解析】首先建立平面直角坐標(biāo)系，然后結(jié)合數(shù)量積定義求解其軌跡方程即可.【詳解】設(shè)，以AB中點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系，則：，設(shè)，可得：，從而：，結(jié)合題意可得：，整理可得：，即點(diǎn)C的軌跡是以AB中點(diǎn)為圓心，為半徑的圓.故選：A.【點(diǎn)睛】本題主要考查平面向量及其數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算，軌跡方程的求解等知識(shí)，意在考查學(xué)生的轉(zhuǎn)化能力和計(jì)算求解能力.9、B【解析】由軸截面三角形，根據(jù)已知可得圓錐底面半徑和母線(xiàn)長(zhǎng)，然后可解.【詳解】軸截面如圖，其中，，所以，所以，所以圓錐的側(cè)面積.故選：B10、D【解析】由等比數(shù)列滿(mǎn)足遞增數(shù)列，可進(jìn)行和兩項(xiàng)關(guān)系的比較，從而確定和的大小關(guān)系.【詳解】由等比數(shù)列是遞增數(shù)列，若，則，得；若，則，得；所以等比數(shù)列是遞增數(shù)列，或，；故等比數(shù)列是遞增數(shù)列是遞增數(shù)列的一個(gè)充分條件為，.故選：D.11、A【解析】利用導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的單調(diào)性之間的關(guān)系及導(dǎo)數(shù)的幾何意義即得.【詳解】由函數(shù)f(x)的導(dǎo)函數(shù)y＝f′(x)的圖像自左至右是先減后增，可知函數(shù)y＝f(x)圖像的切線(xiàn)的斜率自左至右先減小后增大，且，在處的切線(xiàn)的斜率為0，故BCD錯(cuò)誤，A正確.故選：A.12、B【解析】根據(jù)橢圓中的關(guān)系即可求解.【詳解】橢圓的長(zhǎng)軸長(zhǎng)為10，焦距為8，所以，，可得，，所以，可得，所以該橢圓的短軸長(zhǎng)，故選：B.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】利用等差中項(xiàng)的定義可求得結(jié)果.【詳解】由等差中項(xiàng)的定義可得.故答案為：.14、【解析】先將拋物線(xiàn)方程，轉(zhuǎn)化為標(biāo)準(zhǔn)方程，求得焦點(diǎn)坐標(biāo)，準(zhǔn)線(xiàn)方程即可.【詳解】因?yàn)閽佄锞€(xiàn)方程是，轉(zhuǎn)化為標(biāo)準(zhǔn)方程得：，所以?huà)佄锞€(xiàn)開(kāi)口方向向右，焦點(diǎn)坐標(biāo)準(zhǔn)線(xiàn)方程為：，所以焦點(diǎn)到準(zhǔn)線(xiàn)的距離等于.故答案為：【點(diǎn)睛】本題主要考查拋物線(xiàn)的標(biāo)準(zhǔn)方程，還考查了理解辨析的能力，屬于基礎(chǔ)題.15、①.②.【解析】根據(jù)個(gè)小矩形面積之和為1即可求出的值；根據(jù)頻率分布直方圖可以求出車(chē)速低于限速60km/h的頻率，從而可求出汽車(chē)有多少輛【詳解】由解得：這300輛汽車(chē)中車(chē)速低于限速60km/h的汽車(chē)有故答案為：；16、【解析】利用斜率公式可求得結(jié)果.【詳解】由斜率公式可知，直線(xiàn)的斜率為.故答案為：.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17、（1）證明見(jiàn)解析；（2）.【解析】（1）分別證明出和，利用線(xiàn)面垂直的判定定理即可證明；（2）以C為原點(diǎn)，為x、y、z軸正方向建立空間直角坐標(biāo)系，用向量法求二面角的平面角.【小問(wèn)1詳解】因?yàn)辄c(diǎn)在底面內(nèi)的射影恰好是點(diǎn)，所以面.因?yàn)槊?所以.因?yàn)槭堑闹悬c(diǎn)，且滿(mǎn)足．所以，所以.因?yàn)?，所以，?所以.因?yàn)?面,面,所以平面.【小問(wèn)2詳解】∵面，∴直線(xiàn)與底面所成角為，即.因?yàn)椋杂桑?）知，，因，所以，.如圖示，以C為原點(diǎn)，為x、y、z軸正方向建立空間直角坐標(biāo)系.則,,,,所以，設(shè)，由得，，即.則.設(shè)平面BDC1的一個(gè)法向量為，則，不妨令，則.因?yàn)槊?，所以面的一個(gè)法向量為記二面角的平面角為，由圖知，為銳角.所以,即.所以二面角的大小為.18、（1）或（2）【解析】（1）設(shè)直線(xiàn)，利用圓心到直線(xiàn)的距離等于半徑，即可得到方程，求出，即可得解；（2）設(shè)，，，利用圓心到直線(xiàn)的距離等于半徑，得到，再聯(lián)立直線(xiàn)與橢圓方程，消元列出韋達(dá)定理，利用弦長(zhǎng)公式表示出，再根據(jù)及基本不等式求出，最后再計(jì)算直線(xiàn)斜率不存在時(shí)三角形的面積，即可得解；【小問(wèn)1詳解】解：圓，圓心為，半徑；設(shè)直線(xiàn)，即，則，解得，所以或；【小問(wèn)2詳解】解：因?yàn)橹本€(xiàn)的斜率存在，設(shè)，，，即，則，所以，即，聯(lián)立，消元整理得，所以，，所以所以因?yàn)?，所以，?dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號(hào)，所以，當(dāng)軸時(shí)，取，，則，此時(shí)，所以；19、（1）；（2）.【解析】根據(jù)旋轉(zhuǎn)體的軸截面圖，根據(jù)已知條件求球的半徑與長(zhǎng)，再利用球體、圓錐的面積、體積公式計(jì)算即可.【小問(wèn)1詳解】連接，則，設(shè)，在中，，；【小問(wèn)2詳解】，∴圓錐球.20、（1）（2）（3）【解析】（1）由題意直接寫(xiě)出基本事件即可得出答案.（2）樣本空間一共有個(gè)基本事件,由（1）可得答案.（3）列出“點(diǎn)數(shù)之和為7”的基本事件，從而可得答案.【小問(wèn)1詳解】“同時(shí)拋擲兩顆骰子”的樣本空間是{1，2，…，6；1，2，…，6}，其中i、j分別是拋擲第一顆與第二顆骰子所得的點(diǎn)數(shù).將“出現(xiàn)兩個(gè)1點(diǎn)”這個(gè)事件用A表示，則事件A就是子集.【小問(wèn)2詳解】樣本空間一共有個(gè)基本事件，它們是等可能的，從而“出現(xiàn)兩個(gè)1點(diǎn)”的概率為.小問(wèn)3詳解】將“點(diǎn)數(shù)之和為7”這個(gè)事件用B表示，則{，，，，，}，事件B共有6個(gè)基本事件，從而“點(diǎn)數(shù)之和為7”的概率為.21、（1）（2）23【解析】（1）根據(jù)雙曲線(xiàn)的定義判斷軌跡，直接寫(xiě)出軌跡方程即可；（2）設(shè)，利用向量坐標(biāo)運(yùn)算計(jì)算，再由二次函數(shù)求最值即可.【小問(wèn)1詳解】由，則軌跡C是以點(diǎn)、為左、右焦點(diǎn)的雙曲線(xiàn)的右支，設(shè)軌跡C的方程為，則，可得，，所以C的方程為；【小問(wèn)2詳解】設(shè)，則，且，圓心，則因?yàn)?，則當(dāng)時(shí)，取最小值23.22、（1）（2）【解析】(1