貴州省貴陽(yáng)市德為教育2023年高二數(shù)學(xué)第一學(xué)期期末調(diào)研模擬試題含解析

貴州省貴陽(yáng)市德為教育2023年高二數(shù)學(xué)第一學(xué)期期末調(diào)研模擬試題注意事項(xiàng)：1．答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫(xiě)在答題卡上。2．回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑，如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其它答案標(biāo)號(hào)?；卮鸱沁x擇題時(shí)，將答案寫(xiě)在答題卡上，寫(xiě)在本試卷上無(wú)效。3．考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．已知函數(shù)是區(qū)間上的可導(dǎo)函數(shù)，且導(dǎo)函數(shù)為，則“對(duì)任意的，”是“在上為增函數(shù)”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件2．一物體做直線運(yùn)動(dòng)，其位移(單位:)與時(shí)間(單位:)的關(guān)系是，則該物體在時(shí)的瞬時(shí)速度是A. B.C. D.3．魯班鎖運(yùn)用了中國(guó)古代建筑中首創(chuàng)的榫卯結(jié)構(gòu)，相傳由春秋時(shí)代各國(guó)工匠魯班所作，是由六根內(nèi)部有槽的長(zhǎng)方形木條，按橫豎立三方向各兩根凹凸相對(duì)咬合一起，形成的一個(gè)內(nèi)部卯榫的結(jié)構(gòu)體.魯班鎖的種類(lèi)各式各樣，千奇百怪.其中以最常見(jiàn)的六根和九根的魯班鎖最為著名.下圖1是經(jīng)典的六根魯班鎖及六個(gè)構(gòu)件的圖片，下圖2是其中的一個(gè)構(gòu)件的三視圖（圖中單位：mm），則此構(gòu)件的表面積為（）A. B.C. D.4．北京大興國(guó)際機(jī)場(chǎng)的顯著特點(diǎn)之一是各種彎曲空間的運(yùn)用，在數(shù)學(xué)上用曲率刻畫(huà)空間彎曲性.規(guī)定：多面體的頂點(diǎn)的曲率等于與多面體在該點(diǎn)的面角之和的差（多面體的面的內(nèi)角叫做多面體的面角，角度用弧度制），多面體面上非頂點(diǎn)的曲率均為零，多面體的總曲率等于該多面體各頂點(diǎn)的曲率之和.例如：正四面體在每個(gè)頂點(diǎn)有個(gè)面角，每個(gè)面角是，所以正四面體在每個(gè)頂點(diǎn)的曲率為，故其總曲率為.給出下列三個(gè)結(jié)論：①正方體在每個(gè)頂點(diǎn)的曲率均為；②任意四棱錐總曲率均為；③若某類(lèi)多面體的頂點(diǎn)數(shù)，棱數(shù)，面數(shù)滿足，則該類(lèi)多面體的總曲率是常數(shù).其中，所有正確結(jié)論的序號(hào)是（）A.①② B.①③C.②③ D.①②③5．已知雙曲線：的左、右焦點(diǎn)分別為，，點(diǎn)在雙曲線上.若為鈍角三角形，則的取值范圍是A. B.C. D.6．將5名北京冬奧會(huì)志愿者分配到花樣滑冰、短道速滑、冰球和冰壺4個(gè)項(xiàng)目進(jìn)行培訓(xùn)，每名志愿者只分配到1個(gè)項(xiàng)目，每個(gè)項(xiàng)目至少分配1名志愿者，則不同的分配方案共有（）A.60種 B.120種C.240種 D.480種7．已知，則（）A. B.1C. D.8．已知直線的一個(gè)方向向量，平面的一個(gè)法向量，若，則（）A.1 B.C.3 D.9．已知為虛數(shù)單位，復(fù)數(shù)是純虛數(shù)，則（）A B.4C.3 D.210．已知數(shù)列滿足，且，，則（）A. B.C. D.11．某中學(xué)高一年級(jí)有200名學(xué)生，高二年級(jí)有260名學(xué)生，高三年級(jí)有340名學(xué)生，為了了解該校高中學(xué)生完成作業(yè)情況，現(xiàn)用分層抽樣的方法抽取一個(gè)容量為40的樣本，則高二年級(jí)抽取的人數(shù)為（）A.10 B.13C.17 D.2612．阿基米德是古希臘著名的數(shù)學(xué)家、物理學(xué)家，他利用“逼近法”得到橢圓的面積除以圓周率等于橢圓的長(zhǎng)半軸長(zhǎng)與短半軸長(zhǎng)的乘積，已知在平面直角坐標(biāo)系中，橢圓的面積為，兩焦點(diǎn)與短軸的一個(gè)端點(diǎn)構(gòu)成等邊三角形，則橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是（）A. B.C. D.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．?dāng)?shù)列的前n項(xiàng)和滿足：，則________14．已知數(shù)列滿足，且．則數(shù)列的通項(xiàng)公式為_(kāi)______15．某中學(xué)高三（2）班甲，乙兩名同學(xué)自高中以來(lái)每次考試成績(jī)的莖葉圖如圖所示，則甲的中位數(shù)與乙的極差的和為_(kāi)__________.16．圓和圓的公切線的條數(shù)為_(kāi)_____三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17．（12分）已知拋物線的焦點(diǎn)，點(diǎn)在拋物線上.（1）求；（2）過(guò)點(diǎn)向軸作垂線，垂足為，過(guò)點(diǎn)的直線與拋物線交于兩點(diǎn)，證明：為直角三角形（為坐標(biāo)原點(diǎn)）.18．（12分）在銳角中，角的對(duì)邊分別為，滿足.（1）求;（2）若的面積為，求的值.19．（12分）如圖，四邊形是一塊邊長(zhǎng)為4km正方形地域，地域內(nèi)有一條河流，其經(jīng)過(guò)的路線是以中點(diǎn)為頂點(diǎn)且開(kāi)口向右的拋物線的一部分（河流寬度忽略不計(jì)），某公司準(zhǔn)備投資一個(gè)大型矩形游樂(lè)場(chǎng).（1）設(shè)，矩形游樂(lè)園的面積為，求與之間的函數(shù)關(guān)系；（2）試求游樂(lè)園面積的最大值.20．（12分）已知函數(shù)（1）討論的單調(diào)區(qū)間；（2）求在上的最大值.21．（12分）如圖，在正四棱柱中，是上的點(diǎn)，滿足為等邊三角形.（1）求證：平面；（2）求點(diǎn)到平面的距離.22．（10分）已知圓C：（1）若過(guò)點(diǎn)的直線l與圓C相交所得的弦長(zhǎng)為，求直線l的方程；（2）若P是直線：上的動(dòng)點(diǎn)，PA，PB是圓C的兩條切線，A，B是切點(diǎn)，求四邊形PACB面積的最小值

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、A【解析】根據(jù)充分條件與必要條件的概念，由導(dǎo)函數(shù)的正負(fù)與函數(shù)單調(diào)性之間關(guān)系，即可得出結(jié)果.【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)是區(qū)間上的可導(dǎo)函數(shù)，且導(dǎo)函數(shù)為，若“對(duì)任意的，”，則在上為增函數(shù)；若在上為增函數(shù)，則對(duì)任意的恒成立，即由“對(duì)任意的，”能推出“在上為增函數(shù)”；由“在上為增函數(shù)”不能推出“對(duì)任意的，”，因此“對(duì)任意的，”是“在上為增函數(shù)”的充分不必要條件.故選：A2、A【解析】先對(duì)求導(dǎo)，然后將代入導(dǎo)數(shù)式，可得出該物體在時(shí)的瞬時(shí)速度【詳解】對(duì)求導(dǎo)，得，，因此，該物體在時(shí)的瞬時(shí)速度為，故選A【點(diǎn)睛】本題考查瞬時(shí)速度的概念，考查導(dǎo)數(shù)與瞬時(shí)變化率之間的關(guān)系，考查計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題3、B【解析】由三視圖可知，該構(gòu)件是長(zhǎng)為100，寬為20，高為20的長(zhǎng)方體的上面的中間部分去掉一個(gè)長(zhǎng)為40，寬為20，高為10的小長(zhǎng)方體的一個(gè)幾何體，進(jìn)而求出表面積即可.【詳解】由三視圖可知，該構(gòu)件是長(zhǎng)為100，寬為20，高為20的長(zhǎng)方體的上面的中間部分去掉一個(gè)長(zhǎng)為40，寬為20，高為10的小長(zhǎng)方體的一個(gè)幾何體，如下圖所示，其表面積為：.故選：B.【點(diǎn)睛】本題考查幾何體的表面積的求法，考查三視圖，考查學(xué)生的空間想象能力與計(jì)算求解能力，屬于中檔題.4、D【解析】根據(jù)曲率的定義依次判斷即可.【詳解】①根據(jù)曲率的定義可得正方體在每個(gè)頂點(diǎn)的曲率為，故①正確；②由定義可得多面體的總曲率頂點(diǎn)數(shù)各面內(nèi)角和，因?yàn)樗睦忮F有5個(gè)頂點(diǎn)，5個(gè)面，分別為4個(gè)三角形和1個(gè)四邊形，所以任意四棱錐的總曲率為，故②正確；③設(shè)每個(gè)面記為邊形，則所有的面角和為，根據(jù)定義可得該類(lèi)多面體的總曲率為常數(shù)，故③正確.故選：D.5、C【解析】根據(jù)雙曲線的幾何性質(zhì)，結(jié)合余弦定理分別討論當(dāng)為鈍角時(shí)的取值范圍，根據(jù)雙曲線的對(duì)稱性，可以只考慮點(diǎn)在雙曲線上第一象限部分即可.【詳解】由題：雙曲線：的左、右焦點(diǎn)分別為，，點(diǎn)在雙曲線上，必有，若為鈍角三角形，根據(jù)雙曲線的對(duì)稱性不妨考慮點(diǎn)在雙曲線第一象限部分：當(dāng)為鈍角時(shí)，在中，設(shè)，有，，即，，所以；當(dāng)時(shí)，所在直線方程，所以，，，根據(jù)圖象可得要使，點(diǎn)向右上方移動(dòng)，此時(shí)，綜上所述：的取值范圍是.故選：C【點(diǎn)睛】此題考查雙曲線中焦點(diǎn)三角形相關(guān)計(jì)算，關(guān)鍵在于根據(jù)幾何意義結(jié)合特殊情況分類(lèi)討論，體現(xiàn)數(shù)形結(jié)合思想.6、C【解析】先確定有一個(gè)項(xiàng)目中分配2名志愿者，其余各項(xiàng)目中分配1名志愿者，然后利用組合，排列，乘法原理求得.【詳解】根據(jù)題意，有一個(gè)項(xiàng)目中分配2名志愿者，其余各項(xiàng)目中分配1名志愿者，可以先從5名志愿者中任選2人，組成一個(gè)小組，有種選法；然后連同其余三人，看成四個(gè)元素，四個(gè)項(xiàng)目看成四個(gè)不同的位置，四個(gè)不同的元素在四個(gè)不同的位置的排列方法數(shù)有4！種，根據(jù)乘法原理，完成這件事，共有種不同的分配方案，故選：C.【點(diǎn)睛】本題考查排列組合的應(yīng)用問(wèn)題，屬基礎(chǔ)題，關(guān)鍵是首先確定人數(shù)的分配情況，然后利用先選后排思想求解.7、B【解析】先根據(jù)共軛復(fù)數(shù)的定義可得，再根據(jù)復(fù)數(shù)的運(yùn)算法則即可求出【詳解】因?yàn)?，所以故選：B8、D【解析】由向量平行充要條件代入解之即可解決.【詳解】由，可知，則有，解之得故選：D9、C【解析】化簡(jiǎn)復(fù)數(shù)得，由其為純虛數(shù)求參數(shù)a，進(jìn)而求的模即可.【詳解】由為純虛數(shù)，∴，解得：，則，故選：C10、A【解析】由已知兩個(gè)不等式，利用“兩邊夾”思想求得，然后利用累加法可求得【詳解】∵，∴，∴，又，∴，即，∴故選：A【點(diǎn)睛】本題考查數(shù)列的遞推式，由遞推式的特征，采用累加法求得數(shù)列的項(xiàng)．解題關(guān)鍵是利用“兩邊夾”思想求解11、B【解析】計(jì)算出抽樣比可得答案.【詳解】該校高中學(xué)生共有名，所以高二年級(jí)抽取的人數(shù)名.故選：B.12、A【解析】由橢圓的面積為和兩焦點(diǎn)與短軸的一個(gè)端點(diǎn)構(gòu)成等邊三角形，得到求解.【詳解】由題意得，解得，所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是.故選：A二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】利用“當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，"即可得出.【詳解】當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，，不適合上式，數(shù)列的通項(xiàng)公式.故答案為：.14、【解析】倒數(shù)型求數(shù)列通項(xiàng)公式，第一步求倒數(shù)，第二步構(gòu)造數(shù)列，求通項(xiàng).【詳解】因?yàn)椋?，所以?shù)列是首項(xiàng)為1，公差為1的等差數(shù)列，所以故答案為：.15、111【解析】求出甲的中位數(shù)和乙的極差即得解.【詳解】解：由題得甲的中位數(shù)為，乙的極差為，所以它們的和為.故答案為：11116、3【解析】判斷出兩個(gè)圓的位置關(guān)系，由此確定公切線的條數(shù).內(nèi)含關(guān)系0條公切線，內(nèi)切關(guān)系1條公切線，相交關(guān)系2條公切線，外切關(guān)系3條公切線，外離關(guān)系4條公切線。【詳解】由題知圓：的圓心，半徑，圓：的圓心，半徑，所以，，所以兩圓外切，所以兩圓共有3條公切線.故答案為：3三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17、（1）（2）證明見(jiàn)解析【解析】（1）點(diǎn)代入即可得出拋物線方程，根據(jù)拋物線的定義即可求得.（2）由題，設(shè)直線的方程為：，與拋物線方程聯(lián)立，可得，利用韋達(dá)定理證得即可得出結(jié)論.【小問(wèn)1詳解】點(diǎn)在拋物線上.，則，所以.【小問(wèn)2詳解】證明：由題，設(shè)直線的方程為：，點(diǎn)聯(lián)立方程，消得：，由韋達(dá)定理有，由，所以，所以，所以，所以為直角三角形.18、（1）；（2）.【解析】（1）由條件可得，即，從而可得答案.(2)由條件結(jié)合三角形的面積公式可得，再由余弦定理得，配方可得答案.【詳解】（1）因?yàn)椋?，所以所以，因?yàn)樗?，因?yàn)?，所以?）由面積公式得，于是，由余弦定理得，即，整理得，故.19、（1）（2）【解析】（1）首先建立直角坐標(biāo)系，求出拋物線的方程，利用，求出點(diǎn)的坐標(biāo)，表示出的面積為即可；（2）利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最值即可.【小問(wèn)1詳解】以為原點(diǎn)，所在直線為軸，垂直于的直線為軸建立直角坐標(biāo)系，則，設(shè)拋物線的方程為，將點(diǎn)代入方程可得，解得，則拋物線方程為，由已知得，則點(diǎn)的縱坐標(biāo)為，點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，則，【小問(wèn)2詳解】，令，解得，當(dāng)時(shí)，，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，所以函數(shù)在上單調(diào)遞減，因此函數(shù)時(shí)，有最大值，20、（1）①，在上單減；②，在上單增，單減；（2）.【解析】（1），根據(jù)函數(shù)定義域，分，，討論求解；（2）根據(jù)（1）知：分，，，討論求解.【小問(wèn)1詳解】解：(1)定義域，①時(shí)，成立，所以在上遞減；②時(shí)，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以在上單增，單減；【小問(wèn)2詳解】由（1）知：時(shí)，在單減，所以；時(shí)，在單減，所以；時(shí)，在上單增，上遞減，所以；時(shí)，在單增，所以；綜上：.21、（1）證明見(jiàn)解析；（2）.【解析】（1）根據(jù)題意證明，，然后根據(jù)線面垂直的判定定理證明問(wèn)題；（2）結(jié)合（1），進(jìn)而利用等體積法求得答案.【小問(wèn)1詳解】由題意，，為等邊三角形，，∵平面ABCD，∴，則，即為中點(diǎn).連接，∵平面，平面，∴，易得，則，又，于是，即，同理，即，又平面.【小問(wèn)2詳解】設(shè)M到平面的距離為d，，∴.易得，取BD的中點(diǎn)N，連接，則，所以，，所以，，.即M到平面的距離為1.22、（1）或.（2）8【解析】（1）先判斷當(dāng)斜率不存在時(shí),不滿足條件；再判斷當(dāng)斜率存在時(shí),設(shè)利用垂徑定理列方程求出k，即可求出直線方程；（2）過(guò)P作圓C的兩條切線，切點(diǎn)分別為A、B，連結(jié)CA