高中數(shù)學(xué)人教A版（2023）選修1 1.4 空間向量應(yīng)用2（線線、線面夾角；點(diǎn)線、點(diǎn)面距離）章節(jié)綜合練習(xí)題（答案+解析）

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1.4空間向量應(yīng)用2（線線、線面夾角；點(diǎn)線、點(diǎn)面距離）

一、選擇題

1．（2023高二上·榆林期末）已知向量，分別為平面，的法向量，則平面與的夾角為（）

A．B．C．D．

2．（2022高二上·通州期中）設(shè)，分別是平面，的法向量，其中，，若，則（）

A．B．C．3D．

3．（2023高二上·遼寧月考）若直線的方向向量為，平面的法向量為，則（）

A．B．

C．D．與斜交

4．若直線的方向向量為，平面的法向量為，則可能使的是

A．，0，，，0，

B．，3，，，0，

C．，2，，，0，

D．，，，，3，

5．若直線l的一個(gè)方向向量，平面α的一個(gè)法向量為，則（）

A．B．

C．D．A、C都有可能

6．（2023高二下·響水）在《九章算術(shù)》中，將四個(gè)面都是直角三角形的四面體稱為“鱉臑”，在“鱉臑”中，平面，，且，為的中點(diǎn)，則異面直線與夾角的余弦值為（）

A．B．C．D．

7．（2023高二下·響水）已知直線，的方向向量分別為，，則直線，夾角的余弦值為（）

A．B．C．D．

8．給出以下命題，其中正確的是（）

A．直線l的方向向量為，直線m的方向向量為，則l與m垂直

B．直線l的方向向量為，平面α的法向量為，則l⊥α

C．平面α、β的法向量分別為，，則α∥β

D．平面α經(jīng)過(guò)三個(gè)點(diǎn)A(1，0，-1)，B(0，-1，0)，C(-1，2，0)，向量是平面α的法向量，則u+t=1

9．（2022高二上·宿州期中）若向量是直線的一個(gè)方向向量，是平面的一個(gè)法向量，則直線與平面的位置關(guān)系是（）

A．平行B．垂直

C．直線在平面內(nèi)D．相交但不垂直

10．（2023高二下·鎮(zhèn)巴縣期末）如圖，在正方體中，為體對(duì)角線上一點(diǎn)，且，則異面直線和所成角的余弦值為（）

A．B．C．D．

11．（2023高二下·成都期中）如圖，將的菱形ABCD沿對(duì)角線BD折起，使得平面平面CBD，則異面直線AB與CD所成角的余弦值為（）

A．B．C．D．

12．（2023高二下·郫都期中）在長(zhǎng)方體中，，則異面直線與所成角的余弦值為（）

A．B．C．D．

13．（2023高二下·大荔期末）已知直三棱柱的所有棱長(zhǎng)都相等，M為的中點(diǎn)，則AM與所成角的正切值為（）

A．B．C．D．

14．（2023·河北會(huì)考）如圖所示的八面體的表面是由2個(gè)全等的等邊三角形和6個(gè)全等的等腰梯形組成，設(shè)，，有以下四個(gè)結(jié)論：

①平面；②平面；

③直線與成角的余弦值為④直線與平面所成角的正弦值為．

其中正確結(jié)論的個(gè)數(shù)是（）

A．1B．2C．3D．4

15．（2023高三下·濮陽(yáng)開(kāi)學(xué)考）在直三棱柱中，，且，若直線與側(cè)面所成的角為，則異面直線與所成的角的正弦值為（）

A．B．C．D．

16．（2023高三上·江西期末）在四棱錐中，平面，四邊形是正方形，，，，分別是棱，的中點(diǎn)，則異面直線與所成角的余弦值是（）

A．B．C．D．

17．（2023高二上·恩施期末）在正方體中，分別為，的中點(diǎn)，為側(cè)面的中心，則異面直線與所成角的正弦值為（）

A．B．C．D．

18．（2023高二上·鄠邑期末）在正方體ABCD—中，異面直線AD，所成角的余弦值為（）

A．B．C．D．

19．（2022高二上·云南月考）如圖，在直三棱柱中，已知，D為的中點(diǎn)，，則，所成角的余弦值是（）

A．B．C．D．

20．（2022高二上·武漢期中）在正四面體中，點(diǎn)E在棱AB上，滿足，點(diǎn)F為線段AC上的動(dòng)點(diǎn)，則（）

A．存在某個(gè)位置，使得

B．存在某個(gè)位置，使得

C．存在某個(gè)位置，使得直線DE與平面DBF所成角的正弦值為

D．存在某個(gè)位置，使得平面DEF與平面DAC夾角的余弦值為

21．（2023高二下·安康月考）在正方體中，動(dòng)點(diǎn)P在線段上，點(diǎn)E是的中點(diǎn)，則直線與平面所成角的正弦值的最大值為（）

A．B．C．D．

22．（2023高二下·響水）在正方體中，是的中點(diǎn)，則直線與平面所成角的正弦值為（）

A．B．C．D．

23．（2023高二下·浙江期中）若正方形ABCD的邊長(zhǎng)為a，E，F(xiàn)分別為CD，CB的中點(diǎn)（如圖1），沿AE，AF將△ADE，△ABF折起，使得點(diǎn)B，D恰好重合于點(diǎn)P（如圖2），則直線PA與平面PCE所成角的正弦值為（）

A．B．C．D．

24．（2023高二下·成都期中）若直線l的方向向量與平面的法向量的夾角等于，則直線l與平面所成的角等于（）

A．B．C．D．

25．（2023·廣西模擬）如圖，在直三棱柱中，棱長(zhǎng)均為．，，分別為，，的中點(diǎn)，則直線與平面所成角的正弦值是（）

A．B．C．D．

26．（2023·商洛模擬）在四棱錐中，底面，底面是邊長(zhǎng)為的正方形，，則直線與平面所成角的正弦值為（）

A．B．C．D．

27．（2023·遂寧模擬）已知四棱柱的底面是正方形，，，點(diǎn)在底面的射影為中點(diǎn)，則直線與平面所成角的正弦值為（）

A．B．C．D．

（2023·河北會(huì)考）如圖，在四棱錐中，底面為矩形，是等邊三角形，平面底面，，四棱錐的體積為，為的中點(diǎn)．

28．線段的長(zhǎng)是（）

A．3B．C．D．6

29．平面與平面所成二面角的正切值是（）

A．2B．C．D．1

30．直線與平面所成角的正弦值是（）

A．B．C．D．

31．（2023高三上·海淀期末）若點(diǎn)為點(diǎn)在平面上的正投影，則記.如圖，在棱長(zhǎng)為的正方體中，記平面為，平面為，點(diǎn)是棱上一動(dòng)點(diǎn)（與、不重合），.給出下列三個(gè)結(jié)論：

①線段長(zhǎng)度的取值范圍是；②存在點(diǎn)使得平面；③存在點(diǎn)使得.其中，所有正確結(jié)論的序號(hào)是（）

A．①②③B．②③C．①③D．①②

32．（2023高一下·溫州期末）如圖，在長(zhǎng)方體中，，，為棱上一點(diǎn)，且，平面上一動(dòng)點(diǎn)滿足，設(shè)是該長(zhǎng)方體外接球上一點(diǎn)，則，兩點(diǎn)間距離的最大值是（）

A．B．C．D．

答案解析部分

1．【答案】A

【解析】【解答】，，，

，平面與平面的夾角為，

故答案為：A

【分析】根據(jù)題意，得到，得到，進(jìn)而得到平面與平面的夾角.

2．【答案】D

【解析】【解答】，且分別是平面的法向量，則，

則有，故，則.

故答案為：D.

【分析】由，得到，結(jié)合共線向量的概念，列出方程，即可求解.

3．【答案】D

【解析】【解答】所以與不平行也不垂直，所以與斜交。

故答案為：D

【分析】利用已知條件結(jié)合方向向量的定義和法向量的定義，再結(jié)合線面的位置關(guān)系判斷方法，從而找出正確的選項(xiàng)。

4．【答案】D

【解析】【解答】解：若，則，

而中，不滿足條件；

中，不滿足條件；

中，不滿足條件；

中，滿足條件．

故答案為：D．

【分析】利用已知條件結(jié)合空間向量的方法，再結(jié)合方向向量和法向量的求解方法，再利用數(shù)量積的坐標(biāo)表示結(jié)合若，則，從而找出正確答案。

5．【答案】B

【解析】【解答】解:直線的一個(gè)方向向量為，平面α的一個(gè)法向量為

則，，

故答案為：B．

【分析】利用已知條件結(jié)合空間向量的方法，再結(jié)合方向向量和法向量推出，再利用向量共線定理，進(jìn)而得出直線與平面的位置關(guān)系，從而找出正確答案。

6．【答案】B

【解析】【解答】解：如圖，“鱉臑”A-BCD是由正方體的四個(gè)頂點(diǎn)構(gòu)成的，

以B為原點(diǎn)，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，設(shè)正方體棱長(zhǎng)為1，

則，，，，，

則，，

，

則異面直線BM與CD夾角的余弦值為．

故選：B．

【分析】將“鱉臑”A-BCD放在正方體內(nèi)部，建立空間直角坐標(biāo)系即可利用向量求異面直線BM與CD夾角的余弦值．

7．【答案】B

【解析】【解答】解：因?yàn)橹本€，的方向向量分別為，，

所以，

則直線，夾角的余弦值為.

故選：B.

【分析】利用空間向量的夾角公式計(jì)算可得答案.

8．【答案】A

【解析】【解答】對(duì)于A，∵，

∴，∴l(xiāng)與m垂直，A符合題意；

對(duì)于B，∵與不共線，

∴直線l不垂直平面α，B不符合題意；

對(duì)于C，∵與不共線，

∴平面α與平面β不平行，C不符合題意；

對(duì)于D，=(-1，-1，1)，=(-1，3，0)，

由n·=-1-u+t=0，n·=-1+3u=0，解得u=，t=，∴u+t=，D不符合題意.

故答案為：A.

【分析】根據(jù)，可判定A符合題意；根據(jù)與不共線，可判定B不符合題意；根據(jù)與不共線，可判定C不符合題意；根據(jù)法向量的求法，求得的值，可判定D不符合題意.

9．【答案】D

【解析】【解答】，，，故與不垂直，即直線與平面不平行；

若，則，無(wú)解，故與不平行，即直線與平面不垂直.

故答案為：D.

【分析】根據(jù)題意，由，的坐標(biāo)分析可得與不共線，不垂直，結(jié)合直線的方向向量和平面向量法向量的定義分析可得答案.

10．【答案】A

【解析】【解答】以為原點(diǎn)，，，為，，軸建立坐標(biāo)系，如圖

則，，，，，

，，

，

.

故答案為：A

【分析】以為原點(diǎn)，，，為，，軸建立坐標(biāo)系，利用空間向量求解。

11．【答案】B

【解析】【解答】

如圖，取BD中點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系，

令，，，，，

則，，

，

，所成角的余弦值為.

故答案為：.

【分析】取BD中點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系，令，利用向量夾角公式，即可求出異面直線AB與CD所成角的余弦值.

12．【答案】A

【解析】【解答】以為坐標(biāo)原點(diǎn)，為軸，為軸，為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，

則，，，，

∴，，

∴，

故答案為：A.

【分析】以為坐標(biāo)原點(diǎn)，為軸，為軸，為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，然后可求出點(diǎn)A，D1，D和B1點(diǎn)的坐標(biāo)，進(jìn)而得出向量，的坐標(biāo)，根據(jù)向量夾角的余弦公式即可求出異面直線與所成角的余弦值.

13．【答案】B

【解析】【解答】取線段的中點(diǎn)，則，設(shè)直三棱柱的棱長(zhǎng)為，

以點(diǎn)為原點(diǎn)，、、的方向分別為、、的正方向建立如下圖所示的空間直角坐標(biāo)系，

則、、、，

所以，，，.

所以，.

則

故答案為：B.

【分析】取線段的中點(diǎn)，則，設(shè)直三棱柱的棱長(zhǎng)為2，以點(diǎn)為原點(diǎn)，、、的方向分別為、、的正方向建立如下圖所示的空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量法結(jié)合同角三角函數(shù)的基本關(guān)系可求得答案.

14．【答案】C

【解析】【解答】對(duì)于①.如圖所示，連接，取中點(diǎn)取中點(diǎn).連接.

由等邊三角形的性質(zhì)得，由等腰梯形的性質(zhì)得.又平面，所以平面.所以.同理又平面，所以平面，所以該結(jié)論正確；

對(duì)于②，首先計(jì)算等腰梯形的高，再計(jì)算幾何體的高.

取AB中點(diǎn)O，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，設(shè)是的中心，是的中心.過(guò)作，過(guò)作..

.所以幾何體的高為.

所以.

所以，

設(shè)平面的法向量為，則

，

所以，

所以平面不正確；

對(duì)于③，由題得.

所以直線與成角的余弦值為，所以該結(jié)論正確；

對(duì)于④，由題得.

.

設(shè)平面的法向量為，則

，

所以直線與平面所成角的正弦值為．所以該結(jié)論正確.

故答案為：C

【分析】對(duì)于①.如圖所示，連接，取中點(diǎn)取中點(diǎn).連接，證明，即可判斷；對(duì)于②③④，設(shè)是的中心，是的中心.過(guò)作，過(guò)作，再利用向量法計(jì)算即可判斷得解.

15．【答案】D

【解析】【解答】因?yàn)橹比庵缘酌妫?/p>

又因?yàn)?，所以兩兩垂直?/p>

以為軸建立如圖所示坐標(biāo)系，

設(shè)，則，，，，

所以，，，

設(shè)平面的法向量，

則，解得，

所以直線與側(cè)面所成的角的正弦值，

解得，

所以，，

設(shè)異面直線與所成的角為，

則，

所以異面直線與所成的角的正弦值為.

故答案為：D

【分析】以B為原點(diǎn)，以為軸建立如圖所示坐標(biāo)系，設(shè)，利用線面角的向量求法求出，再求異面直線所成角即可.

16．【答案】A

【解析】【解答】在四棱錐中，平面，四邊形是正方形，

以點(diǎn)A為原點(diǎn)，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，

令，而分別是棱的中點(diǎn)，則，

由得：，則，，

所以異面直線與所成角的余弦值為.

故答案為：A

【分析】根據(jù)給定條件，以點(diǎn)A為原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系，求出所需點(diǎn)的坐標(biāo)和向量的坐標(biāo)，利用向量法可求出異面直線與所成角的余弦值.

17．【答案】D

【解析】【解答】解：如圖，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以，，所在直線為，，軸建立空間直角坐標(biāo)系．

設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為2，則，0，，，1，，，2，，，0，，

．

則，

異面直線與所成角的正弦弦值為，

故答案為：D．

【分析】以為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以，，所在直線為，，軸建立空間直角坐標(biāo)系，求出所需點(diǎn)的坐標(biāo)和向量的坐標(biāo)，利用向量法可求出異面直線與所成角的正弦弦值.

18．【答案】D

【解析】【解答】如圖，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，

不妨設(shè)正方體邊長(zhǎng)為1，則，

則，

設(shè)異面直線AD，所成角為，

則.

故答案為：D

【分析】以為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)正方體邊長(zhǎng)為1，求得向量則的坐標(biāo)，結(jié)合向量的夾角公式，即可求解.

19．【答案】C

【解析】【解答】以A為原點(diǎn)，，，的方向分別為x，y，z軸的正方向，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，則，，，，

所以，，設(shè)，所成的角為，

則．

故答案為：C

【分析】以A為原點(diǎn)，，，的方向分別為x，y，z軸的正方向，建立空間直角坐標(biāo)系，求出所需點(diǎn)的坐標(biāo)和向量的坐標(biāo)，利用向量法可求出，所成角的余弦值.

20．【答案】C

【解析】【解答】如下圖所示，設(shè)正四面體的底面中心為點(diǎn)，連接，則平面，

以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，、所在直線分別為、軸建立空間直角坐標(biāo)系，

設(shè)正四面體的棱長(zhǎng)為2，

則，，，，，

設(shè)，其中，

對(duì)于A，若存在某個(gè)位置使得，，，

所以，解得，不滿足題意，A不符合題意；

對(duì)于B，若存在某個(gè)位置使得，，，

則，該方程無(wú)解，B不符合題意；

對(duì)于C，設(shè)平面的一個(gè)法向量為，

，，

由，令，則，

若存在某個(gè)位置，使得直線DE與平面DBF所成角的正弦值為，又，

則，

整理得，解得或（舍去），

所以存在，即為的中點(diǎn)，滿足題意，C符合題意；

對(duì)于D，設(shè)平面的一個(gè)法向量為，

又，，

由，取，得，

設(shè)平面的一個(gè)法向量為，

，，

由，取，則，

若存在某個(gè)位置，使得平面DEF與平面DAC夾角的余弦值為，

則，

整理得，易得，所以該方程無(wú)解，D不符合題意.

故答案為：C.

【分析】以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，、所在直線分別為、軸建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量法逐項(xiàng)進(jìn)行判斷，可得答案.

21．【答案】D

【解析】【解答】解：如圖：

設(shè)正方體的邊長(zhǎng)為2，以D點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，DA為x軸，DC為y軸，為z軸建立空間直角坐標(biāo)系，

則A(2，0，0)，E(2，1，0)，設(shè)平面的法向量為

令z=1可得x=1，y=-1，所以

設(shè)直線與平面所成的角為，則（當(dāng)時(shí)等號(hào)成立）故D選項(xiàng)正確.

故答案為：D

【分析】先建立空間直角坐標(biāo)系，求出點(diǎn)和向量的坐標(biāo)，用線面角的向量求法公式把表示成的式子，結(jié)合二次函數(shù)求出最大值即可.

22．【答案】A

【解析】【解答】解：以點(diǎn)D為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系.設(shè)正方體的邊長(zhǎng)為2.

則，，

由題得.

設(shè)平面ACE的法向量為，則.

取z=1，得.

設(shè)直線與平面所成角為，

則.

故選：A.

【分析】以點(diǎn)D為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)正方體的邊長(zhǎng)為2，利用向量法求出直線與平面所成角的正弦值得解.

23．【答案】A

【解析】【解答】由，，可得，，

，則，

PA，PF，PE三線兩兩垂直，以P為坐標(biāo)原點(diǎn)，PE，PF，PA分別為坐標(biāo)軸建立如圖所示的空直角坐標(biāo)系，

可得，

設(shè)，由，，

有，解得，即得，

所以可得，，

設(shè)平面PCE的一個(gè)法向量，

，令，則，

所以平面PCE的一個(gè)法向量為，

又，設(shè)PA與平面PCE所成角為，

所以.

故答案為：A

【分析】由，，可得，，再利用勾股定理得出，所以PA，PF，PE三線兩兩垂直，以P為坐標(biāo)原點(diǎn)，PE，PF，PA分別為坐標(biāo)軸建立空直角坐標(biāo)系，再由已知條件得出點(diǎn)的坐標(biāo)，再結(jié)合勾股定理得出點(diǎn)C的坐標(biāo)，再根據(jù)向量的坐標(biāo)表示得出向量的坐標(biāo)，從而由平面的法向量求解方法得出平面PCE的一個(gè)法向量，再利用和數(shù)量積求向量夾角公式和誘導(dǎo)公式得出直線PA與平面PCE所成角的正弦值。

24．【答案】C

【解析】【解答】令直線的方向向量為，平面的法向量為，直線與平面所成的夾角為，

，，.

故答案為：C

【分析】根據(jù)線面角的正弦值等于線與面法向量夾角余弦值的絕對(duì)值，求解可得答案.

25．【答案】C

【解析】【解答】取中點(diǎn)，連接、，在直三棱柱中，棱長(zhǎng)均為，

所以三棱柱為正三棱柱，則，，平面，

所以平面，

如圖建立空間直角坐標(biāo)系，則，，，，，

所以，，，

設(shè)平面的法向量為，則，令，則，，

所以，

所以直線與平面所成角為，則，

所以直線與平面所成角的正弦值是.

故答案為：C

【分析】取中點(diǎn)，連接、，建立空間直角坐標(biāo)系，求出所需點(diǎn)的坐標(biāo)和向量的坐標(biāo)，求出平面的法向量，利用向量法求出直線與平面所成角的正弦值.

26．【答案】B

【解析】【解答】如圖所示，

以，，所在直線分別為，，軸建立空間直角坐標(biāo)系，

則，，，，

所以，，，

設(shè)平面的一個(gè)法向量為，

則，令，則，

設(shè)直線與平面所成的角為，所以，

故答案為：B.

【分析】以，，所在直線分別為，，軸建立空間直角坐標(biāo)系，求出平面的一個(gè)法向量，利用向量法可求出直線與平面所成角的正弦值.

27．【答案】C

【解析】【解答】因?yàn)辄c(diǎn)在底面的射影為中點(diǎn)，則平面，

又因?yàn)樗倪呅螢檎叫?，以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，、、的方向分別為、、軸的

正方向建立如下圖所示的空間直角坐標(biāo)系，

因?yàn)槠矫?，平面，則，

因?yàn)椋?，則，

則、、、，

所以，，

易知平面的一個(gè)法向量為，

，

因此，直線與平面所成角的正弦值為.

故答案為：C.

【分析】由已知可得平面，以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，、、的方向分別為、、軸的正方向建立空間直角坐標(biāo)系，，平面的一個(gè)法向量為，利用空間向量法可求得直線與平面所成角的正弦值.

【答案】28．D

29．B

30．D

【解析】【分析】（1）設(shè)，取中點(diǎn)，連接，證明出平面，即是四棱錐的高，，計(jì)算求解即可；

（2）分別取的中點(diǎn)為，連接，由底面，得出，，從而得到為平面與平面所成二面角的平面角，計(jì)算求解即可；

（3）以為原點(diǎn)，分別為軸建立空間直角坐標(biāo)系，，所以，所以，求出平面的法向量，從而可利用空間向量的坐標(biāo)運(yùn)算求得直線與平面所成角的正弦值.

28．由已知，設(shè)，則矩形的面積，

取中點(diǎn)，連接，

∵是等邊三角形，，

∴，且，∵平面平面，

平面平面，平面，

∴平面，即是四棱錐的高，

∴四棱錐的體積

∴解得，，∴.

故答案為：D.

29．分別取的中點(diǎn)為，連接，

設(shè)，則.因?yàn)槭堑冗吶切危裕?/p>

又因?yàn)槠矫嫫矫?，平面平面，平面，底面?/p>

因?yàn)樗睦忮F的體積為，所以，

解得.則，，所以，，

又因?yàn)榈酌鏋榫匦?，所以?/p>

所以為平面與平面所成二面角的平面角，.

故答案為：B

30．取中點(diǎn)為，中點(diǎn)為，連接，因?yàn)槭堑冗吶切危瑸橹悬c(diǎn)，所以，

因?yàn)槠矫娴酌?，平面底面，平面?/p>

所以平面，又平面，則，

如圖，以為原點(diǎn)，分別為軸建立空間直角坐標(biāo)系，

又，所以，

則，所以，

設(shè)平面的法向量為，又，

則，

令，則，

所以，

則直線與平面所成角的正弦值是.

故答案為：D.

31．【答案】D

【解析】【解答】取的中點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)在平面內(nèi)作，再過(guò)點(diǎn)在平面內(nèi)作，垂足為點(diǎn).

在正方體中，平面，平面，，