高中數學人教A版（2023）選修1 1.4 空間向量應用2（線線、線面夾角；點線、點面距離）章節(jié)綜合練習題（答案+解析）

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1.4空間向量應用2（線線、線面夾角；點線、點面距離）

一、選擇題

1．（2023高二上·榆林期末）已知向量，分別為平面，的法向量，則平面與的夾角為（）

A．B．C．D．

2．（2022高二上·通州期中）設，分別是平面，的法向量，其中，，若，則（）

A．B．C．3D．

3．（2023高二上·遼寧月考）若直線的方向向量為，平面的法向量為，則（）

A．B．

C．D．與斜交

4．若直線的方向向量為，平面的法向量為，則可能使的是

A．，0，，，0，

B．，3，，，0，

C．，2，，，0，

D．，，，，3，

5．若直線l的一個方向向量，平面α的一個法向量為，則（）

A．B．

C．D．A、C都有可能

6．（2023高二下·響水）在《九章算術》中，將四個面都是直角三角形的四面體稱為“鱉臑”，在“鱉臑”中，平面，，且，為的中點，則異面直線與夾角的余弦值為（）

A．B．C．D．

7．（2023高二下·響水）已知直線，的方向向量分別為，，則直線，夾角的余弦值為（）

A．B．C．D．

8．給出以下命題，其中正確的是（）

A．直線l的方向向量為，直線m的方向向量為，則l與m垂直

B．直線l的方向向量為，平面α的法向量為，則l⊥α

C．平面α、β的法向量分別為，，則α∥β

D．平面α經過三個點A(1，0，-1)，B(0，-1，0)，C(-1，2，0)，向量是平面α的法向量，則u+t=1

9．（2022高二上·宿州期中）若向量是直線的一個方向向量，是平面的一個法向量，則直線與平面的位置關系是（）

A．平行B．垂直

C．直線在平面內D．相交但不垂直

10．（2023高二下·鎮(zhèn)巴縣期末）如圖，在正方體中，為體對角線上一點，且，則異面直線和所成角的余弦值為（）

A．B．C．D．

11．（2023高二下·成都期中）如圖，將的菱形ABCD沿對角線BD折起，使得平面平面CBD，則異面直線AB與CD所成角的余弦值為（）

A．B．C．D．

12．（2023高二下·郫都期中）在長方體中，，則異面直線與所成角的余弦值為（）

A．B．C．D．

13．（2023高二下·大荔期末）已知直三棱柱的所有棱長都相等，M為的中點，則AM與所成角的正切值為（）

A．B．C．D．

14．（2023·河北會考）如圖所示的八面體的表面是由2個全等的等邊三角形和6個全等的等腰梯形組成，設，，有以下四個結論：

①平面；②平面；

③直線與成角的余弦值為④直線與平面所成角的正弦值為．

其中正確結論的個數是（）

A．1B．2C．3D．4

15．（2023高三下·濮陽開學考）在直三棱柱中，，且，若直線與側面所成的角為，則異面直線與所成的角的正弦值為（）

A．B．C．D．

16．（2023高三上·江西期末）在四棱錐中，平面，四邊形是正方形，，，，分別是棱，的中點，則異面直線與所成角的余弦值是（）

A．B．C．D．

17．（2023高二上·恩施期末）在正方體中，分別為，的中點，為側面的中心，則異面直線與所成角的正弦值為（）

A．B．C．D．

18．（2023高二上·鄠邑期末）在正方體ABCD—中，異面直線AD，所成角的余弦值為（）

A．B．C．D．

19．（2022高二上·云南月考）如圖，在直三棱柱中，已知，D為的中點，，則，所成角的余弦值是（）

A．B．C．D．

20．（2022高二上·武漢期中）在正四面體中，點E在棱AB上，滿足，點F為線段AC上的動點，則（）

A．存在某個位置，使得

B．存在某個位置，使得

C．存在某個位置，使得直線DE與平面DBF所成角的正弦值為

D．存在某個位置，使得平面DEF與平面DAC夾角的余弦值為

21．（2023高二下·安康月考）在正方體中，動點P在線段上，點E是的中點，則直線與平面所成角的正弦值的最大值為（）

A．B．C．D．

22．（2023高二下·響水）在正方體中，是的中點，則直線與平面所成角的正弦值為（）

A．B．C．D．

23．（2023高二下·浙江期中）若正方形ABCD的邊長為a，E，F分別為CD，CB的中點（如圖1），沿AE，AF將△ADE，△ABF折起，使得點B，D恰好重合于點P（如圖2），則直線PA與平面PCE所成角的正弦值為（）

A．B．C．D．

24．（2023高二下·成都期中）若直線l的方向向量與平面的法向量的夾角等于，則直線l與平面所成的角等于（）

A．B．C．D．

25．（2023·廣西模擬）如圖，在直三棱柱中，棱長均為．，，分別為，，的中點，則直線與平面所成角的正弦值是（）

A．B．C．D．

26．（2023·商洛模擬）在四棱錐中，底面，底面是邊長為的正方形，，則直線與平面所成角的正弦值為（）

A．B．C．D．

27．（2023·遂寧模擬）已知四棱柱的底面是正方形，，，點在底面的射影為中點，則直線與平面所成角的正弦值為（）

A．B．C．D．

（2023·河北會考）如圖，在四棱錐中，底面為矩形，是等邊三角形，平面底面，，四棱錐的體積為，為的中點．

28．線段的長是（）

A．3B．C．D．6

29．平面與平面所成二面角的正切值是（）

A．2B．C．D．1

30．直線與平面所成角的正弦值是（）

A．B．C．D．

31．（2023高三上·海淀期末）若點為點在平面上的正投影，則記.如圖，在棱長為的正方體中，記平面為，平面為，點是棱上一動點（與、不重合），.給出下列三個結論：

①線段長度的取值范圍是；②存在點使得平面；③存在點使得.其中，所有正確結論的序號是（）

A．①②③B．②③C．①③D．①②

32．（2023高一下·溫州期末）如圖，在長方體中，，，為棱上一點，且，平面上一動點滿足，設是該長方體外接球上一點，則，兩點間距離的最大值是（）

A．B．C．D．

答案解析部分

1．【答案】A

【解析】【解答】，，，

，平面與平面的夾角為，

故答案為：A

【分析】根據題意，得到，得到，進而得到平面與平面的夾角.

2．【答案】D

【解析】【解答】，且分別是平面的法向量，則，

則有，故，則.

故答案為：D.

【分析】由，得到，結合共線向量的概念，列出方程，即可求解.

3．【答案】D

【解析】【解答】所以與不平行也不垂直，所以與斜交。

故答案為：D

【分析】利用已知條件結合方向向量的定義和法向量的定義，再結合線面的位置關系判斷方法，從而找出正確的選項。

4．【答案】D

【解析】【解答】解：若，則，

而中，不滿足條件；

中，不滿足條件；

中，不滿足條件；

中，滿足條件．

故答案為：D．

【分析】利用已知條件結合空間向量的方法，再結合方向向量和法向量的求解方法，再利用數量積的坐標表示結合若，則，從而找出正確答案。

5．【答案】B

【解析】【解答】解:直線的一個方向向量為，平面α的一個法向量為

則，，

故答案為：B．

【分析】利用已知條件結合空間向量的方法，再結合方向向量和法向量推出，再利用向量共線定理，進而得出直線與平面的位置關系，從而找出正確答案。

6．【答案】B

【解析】【解答】解：如圖，“鱉臑”A-BCD是由正方體的四個頂點構成的，

以B為原點，建立如圖所示的空間直角坐標系，設正方體棱長為1，

則，，，，，

則，，

，

則異面直線BM與CD夾角的余弦值為．

故選：B．

【分析】將“鱉臑”A-BCD放在正方體內部，建立空間直角坐標系即可利用向量求異面直線BM與CD夾角的余弦值．

7．【答案】B

【解析】【解答】解：因為直線，的方向向量分別為，，

所以，

則直線，夾角的余弦值為.

故選：B.

【分析】利用空間向量的夾角公式計算可得答案.

8．【答案】A

【解析】【解答】對于A，∵，

∴，∴l(xiāng)與m垂直，A符合題意；

對于B，∵與不共線，

∴直線l不垂直平面α，B不符合題意；

對于C，∵與不共線，

∴平面α與平面β不平行，C不符合題意；

對于D，=(-1，-1，1)，=(-1，3，0)，

由n·=-1-u+t=0，n·=-1+3u=0，解得u=，t=，∴u+t=，D不符合題意.

故答案為：A.

【分析】根據，可判定A符合題意；根據與不共線，可判定B不符合題意；根據與不共線，可判定C不符合題意；根據法向量的求法，求得的值，可判定D不符合題意.

9．【答案】D

【解析】【解答】，，，故與不垂直，即直線與平面不平行；

若，則，無解，故與不平行，即直線與平面不垂直.

故答案為：D.

【分析】根據題意，由，的坐標分析可得與不共線，不垂直，結合直線的方向向量和平面向量法向量的定義分析可得答案.

10．【答案】A

【解析】【解答】以為原點，，，為，，軸建立坐標系，如圖

則，，，，，

，，

，

.

故答案為：A

【分析】以為原點，，，為，，軸建立坐標系，利用空間向量求解。

11．【答案】B

【解析】【解答】

如圖，取BD中點為坐標原點，建立空間直角坐標系，

令，，，，，

則，，

，

，所成角的余弦值為.

故答案為：.

【分析】取BD中點為坐標原點，建立空間直角坐標系，令，利用向量夾角公式，即可求出異面直線AB與CD所成角的余弦值.

12．【答案】A

【解析】【解答】以為坐標原點，為軸，為軸，為軸，建立空間直角坐標系，

則，，，，

∴，，

∴，

故答案為：A.

【分析】以為坐標原點，為軸，為軸，為軸，建立空間直角坐標系，然后可求出點A，D1，D和B1點的坐標，進而得出向量，的坐標，根據向量夾角的余弦公式即可求出異面直線與所成角的余弦值.

13．【答案】B

【解析】【解答】取線段的中點，則，設直三棱柱的棱長為，

以點為原點，、、的方向分別為、、的正方向建立如下圖所示的空間直角坐標系，

則、、、，

所以，，，.

所以，.

則

故答案為：B.

【分析】取線段的中點，則，設直三棱柱的棱長為2，以點為原點，、、的方向分別為、、的正方向建立如下圖所示的空間直角坐標系，利用空間向量法結合同角三角函數的基本關系可求得答案.

14．【答案】C

【解析】【解答】對于①.如圖所示，連接，取中點取中點.連接.

由等邊三角形的性質得，由等腰梯形的性質得.又平面，所以平面.所以.同理又平面，所以平面，所以該結論正確；

對于②，首先計算等腰梯形的高，再計算幾何體的高.

取AB中點O，建立如圖所示的空間直角坐標系，設是的中心，是的中心.過作，過作..

.所以幾何體的高為.

所以.

所以，

設平面的法向量為，則

，

所以，

所以平面不正確；

對于③，由題得.

所以直線與成角的余弦值為，所以該結論正確；

對于④，由題得.

.

設平面的法向量為，則

，

所以直線與平面所成角的正弦值為．所以該結論正確.

故答案為：C

【分析】對于①.如圖所示，連接，取中點取中點.連接，證明，即可判斷；對于②③④，設是的中心，是的中心.過作，過作，再利用向量法計算即可判斷得解.

15．【答案】D

【解析】【解答】因為直三棱柱，所以底面，

又因為，所以兩兩垂直，

以為軸建立如圖所示坐標系，

設，則，，，，

所以，，，

設平面的法向量，

則，解得，

所以直線與側面所成的角的正弦值，

解得，

所以，，

設異面直線與所成的角為，

則，

所以異面直線與所成的角的正弦值為.

故答案為：D

【分析】以B為原點，以為軸建立如圖所示坐標系，設，利用線面角的向量求法求出，再求異面直線所成角即可.

16．【答案】A

【解析】【解答】在四棱錐中，平面，四邊形是正方形，

以點A為原點，建立如圖所示的空間直角坐標系，

令，而分別是棱的中點，則，

由得：，則，，

所以異面直線與所成角的余弦值為.

故答案為：A

【分析】根據給定條件，以點A為原點，建立空間直角坐標系，求出所需點的坐標和向量的坐標，利用向量法可求出異面直線與所成角的余弦值.

17．【答案】D

【解析】【解答】解：如圖，以為坐標原點，分別以，，所在直線為，，軸建立空間直角坐標系．

設正方體的棱長為2，則，0，，，1，，，2，，，0，，

．

則，

異面直線與所成角的正弦弦值為，

故答案為：D．

【分析】以為坐標原點，分別以，，所在直線為，，軸建立空間直角坐標系，求出所需點的坐標和向量的坐標，利用向量法可求出異面直線與所成角的正弦弦值.

18．【答案】D

【解析】【解答】如圖，以為坐標原點，分別以為軸，建立空間直角坐標系，

不妨設正方體邊長為1，則，

則，

設異面直線AD，所成角為，

則.

故答案為：D

【分析】以為坐標原點，建立空間直角坐標系，設正方體邊長為1，求得向量則的坐標，結合向量的夾角公式，即可求解.

19．【答案】C

【解析】【解答】以A為原點，，，的方向分別為x，y，z軸的正方向，建立如圖所示的空間直角坐標系，設，則，，，，

所以，，設，所成的角為，

則．

故答案為：C

【分析】以A為原點，，，的方向分別為x，y，z軸的正方向，建立空間直角坐標系，求出所需點的坐標和向量的坐標，利用向量法可求出，所成角的余弦值.

20．【答案】C

【解析】【解答】如下圖所示，設正四面體的底面中心為點，連接，則平面，

以點為坐標原點，、所在直線分別為、軸建立空間直角坐標系，

設正四面體的棱長為2，

則，，，，，

設，其中，

對于A，若存在某個位置使得，，，

所以，解得，不滿足題意，A不符合題意；

對于B，若存在某個位置使得，，，

則，該方程無解，B不符合題意；

對于C，設平面的一個法向量為，

，，

由，令，則，

若存在某個位置，使得直線DE與平面DBF所成角的正弦值為，又，

則，

整理得，解得或（舍去），

所以存在，即為的中點，滿足題意，C符合題意；

對于D，設平面的一個法向量為，

又，，

由，取，得，

設平面的一個法向量為，

，，

由，取，則，

若存在某個位置，使得平面DEF與平面DAC夾角的余弦值為，

則，

整理得，易得，所以該方程無解，D不符合題意.

故答案為：C.

【分析】以點為坐標原點，、所在直線分別為、軸建立空間直角坐標系，利用空間向量法逐項進行判斷，可得答案.

21．【答案】D

【解析】【解答】解：如圖：

設正方體的邊長為2，以D點為坐標原點，DA為x軸，DC為y軸，為z軸建立空間直角坐標系，

則A(2，0，0)，E(2，1，0)，設平面的法向量為

令z=1可得x=1，y=-1，所以

設直線與平面所成的角為，則（當時等號成立）故D選項正確.

故答案為：D

【分析】先建立空間直角坐標系，求出點和向量的坐標，用線面角的向量求法公式把表示成的式子，結合二次函數求出最大值即可.

22．【答案】A

【解析】【解答】解：以點D為坐標原點，建立如圖所示的空間直角坐標系.設正方體的邊長為2.

則，，

由題得.

設平面ACE的法向量為，則.

取z=1，得.

設直線與平面所成角為，

則.

故選：A.

【分析】以點D為坐標原點，建立空間直角坐標系，設正方體的邊長為2，利用向量法求出直線與平面所成角的正弦值得解.

23．【答案】A

【解析】【解答】由，，可得，，

，則，

PA，PF，PE三線兩兩垂直，以P為坐標原點，PE，PF，PA分別為坐標軸建立如圖所示的空直角坐標系，

可得，

設，由，，

有，解得，即得，

所以可得，，

設平面PCE的一個法向量，

，令，則，

所以平面PCE的一個法向量為，

又，設PA與平面PCE所成角為，

所以.

故答案為：A

【分析】由，，可得，，再利用勾股定理得出，所以PA，PF，PE三線兩兩垂直，以P為坐標原點，PE，PF，PA分別為坐標軸建立空直角坐標系，再由已知條件得出點的坐標，再結合勾股定理得出點C的坐標，再根據向量的坐標表示得出向量的坐標，從而由平面的法向量求解方法得出平面PCE的一個法向量，再利用和數量積求向量夾角公式和誘導公式得出直線PA與平面PCE所成角的正弦值。

24．【答案】C

【解析】【解答】令直線的方向向量為，平面的法向量為，直線與平面所成的夾角為，

，，.

故答案為：C

【分析】根據線面角的正弦值等于線與面法向量夾角余弦值的絕對值，求解可得答案.

25．【答案】C

【解析】【解答】取中點，連接、，在直三棱柱中，棱長均為，

所以三棱柱為正三棱柱，則，，平面，

所以平面，

如圖建立空間直角坐標系，則，，，，，

所以，，，

設平面的法向量為，則，令，則，，

所以，

所以直線與平面所成角為，則，

所以直線與平面所成角的正弦值是.

故答案為：C

【分析】取中點，連接、，建立空間直角坐標系，求出所需點的坐標和向量的坐標，求出平面的法向量，利用向量法求出直線與平面所成角的正弦值.

26．【答案】B

【解析】【解答】如圖所示，

以，，所在直線分別為，，軸建立空間直角坐標系，

則，，，，

所以，，，

設平面的一個法向量為，

則，令，則，

設直線與平面所成的角為，所以，

故答案為：B.

【分析】以，，所在直線分別為，，軸建立空間直角坐標系，求出平面的一個法向量，利用向量法可求出直線與平面所成角的正弦值.

27．【答案】C

【解析】【解答】因為點在底面的射影為中點，則平面，

又因為四邊形為正方形，以點為坐標原點，、、的方向分別為、、軸的

正方向建立如下圖所示的空間直角坐標系，

因為平面，平面，則，

因為，，則，

則、、、，

所以，，

易知平面的一個法向量為，

，

因此，直線與平面所成角的正弦值為.

故答案為：C.

【分析】由已知可得平面，以點為坐標原點，、、的方向分別為、、軸的正方向建立空間直角坐標系，，平面的一個法向量為，利用空間向量法可求得直線與平面所成角的正弦值.

【答案】28．D

29．B

30．D

【解析】【分析】（1）設，取中點，連接，證明出平面，即是四棱錐的高，，計算求解即可；

（2）分別取的中點為，連接，由底面，得出，，從而得到為平面與平面所成二面角的平面角，計算求解即可；

（3）以為原點，分別為軸建立空間直角坐標系，，所以，所以，求出平面的法向量，從而可利用空間向量的坐標運算求得直線與平面所成角的正弦值.

28．由已知，設，則矩形的面積，

取中點，連接，

∵是等邊三角形，，

∴，且，∵平面平面，

平面平面，平面，

∴平面，即是四棱錐的高，

∴四棱錐的體積

∴解得，，∴.

故答案為：D.

29．分別取的中點為，連接，

設，則.因為是等邊三角形，所以，

又因為平面平面，平面平面，平面，底面，

因為四棱錐的體積為，所以，

解得.則，，所以，，

又因為底面為矩形，所以，

所以為平面與平面所成二面角的平面角，.

故答案為：B

30．取中點為，中點為，連接，因為是等邊三角形，為中點，所以，

因為平面底面，平面底面，平面，

所以平面，又平面，則，

如圖，以為原點，分別為軸建立空間直角坐標系，

又，所以，

則，所以，

設平面的法向量為，又，

則，

令，則，

所以，

則直線與平面所成角的正弦值是.

故答案為：D.

31．【答案】D

【解析】【解答】取的中點，過點在平面內作，再過點在平面內作，垂足為點.

在正方體中，平面，平面，，