貴州省遵義航天高中2024屆高二數(shù)學(xué)第一學(xué)期期末復(fù)習(xí)檢測(cè)試題含解析

貴州省遵義航天高中2024屆高二數(shù)學(xué)第一學(xué)期期末復(fù)習(xí)檢測(cè)試題注意事項(xiàng)：1．答題前，考生先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫(xiě)清楚，將條形碼準(zhǔn)確粘貼在考生信息條形碼粘貼區(qū)。2．選擇題必須使用2B鉛筆填涂；非選擇題必須使用0．5毫米黑色字跡的簽字筆書(shū)寫(xiě)，字體工整、筆跡清楚。3．請(qǐng)按照題號(hào)順序在各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書(shū)寫(xiě)的答案無(wú)效；在草稿紙、試題卷上答題無(wú)效。4．保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，不準(zhǔn)使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．函數(shù)是偶函數(shù)且在上單調(diào)遞減，，則的解集為（）A. B.C. D.2．橢圓：與雙曲線(xiàn)：的離心率之積為2，則雙曲線(xiàn)的漸近線(xiàn)方程為（）A. B.C. D.3．“”是“”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充分必要條件 D.即不充分也不必要條件4．雙曲線(xiàn)的漸近線(xiàn)的斜率是（）A.1 B.C. D.5．如圖，P是橢圓第一象限上一點(diǎn)，A，B，C是橢圓與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，過(guò)A作AN平行于直線(xiàn)BP交y軸于N，直線(xiàn)CP交x軸于M，直線(xiàn)BP交x軸于E.現(xiàn)有下列三個(gè)式子：①；②；③.其中為定值的所有編號(hào)是（）A.①③ B.②③C.①② D.①②③6．已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為，，焦距為，過(guò)點(diǎn)作軸的垂線(xiàn)與橢圓相交，其中一個(gè)交點(diǎn)為點(diǎn)(如圖所示)，若的面積為，則橢圓的方程為()A B.C. D.7．下列命題中的假命題是()A.若log2x<2,則0<x<4B.若與共線(xiàn),則與的夾角為0°C.已知各項(xiàng)都不為零的數(shù)列{an}滿(mǎn)足an+1-2an=0,則該數(shù)列為等比數(shù)列D.點(diǎn)(π,0)是函數(shù)y=sinx圖象上一點(diǎn)8．五行學(xué)說(shuō)是中華民族創(chuàng)造的哲學(xué)思想.古代先民認(rèn)為，天下萬(wàn)物皆由五種元素組成，分別是金、木、水、火、土，彼此之間存在如圖所示的相生相克關(guān)系.若從金、木、水、火、土五種元素中任取兩種，則這兩種元素恰是相生關(guān)系的概率是（）A. B.C. D.9．已知分別是雙曲線(xiàn)的左、右焦點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)P在雙曲線(xiàn)的左支上，點(diǎn)Q為圓上一動(dòng)點(diǎn)，則的最小值為（）A.6 B.7C. D.510．隨機(jī)抽取甲乙兩位同學(xué)連續(xù)9次成績(jī)（單位：分），得到如圖所示的成績(jī)莖葉圖，關(guān)于這9次成績(jī)，則下列說(shuō)法正確的是（）A.甲成績(jī)的中位數(shù)為33 B.乙成績(jī)的極差為40C.甲乙兩人成績(jī)的眾數(shù)相等 D.甲成績(jī)的平均數(shù)低于乙成績(jī)的平均數(shù)11．已知△的頂點(diǎn)B，C在橢圓上，頂點(diǎn)A是橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)，且橢圓的另一個(gè)焦點(diǎn)在BC邊上，則△的周長(zhǎng)是（）A. B.C.8 D.1612．直線(xiàn)過(guò)點(diǎn)且與雙曲線(xiàn)僅有一個(gè)公共點(diǎn)，則這樣的直線(xiàn)有（）A.1條 B.2條C.3條 D.4條二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．橢圓x2+=1上的點(diǎn)到直線(xiàn)x+y-4=0的距離的最小值為_(kāi)________.14．如圖，將一個(gè)正方體沿相鄰三個(gè)面的對(duì)角線(xiàn)截出一個(gè)棱錐，若該棱錐的體積為，則該正方體的體對(duì)角線(xiàn)長(zhǎng)為_(kāi)__________.15．已知向量，，若與垂直，則___________.16．圓錐的母線(xiàn)長(zhǎng)為2，母線(xiàn)所在直線(xiàn)與圓錐的軸所成角為，則該圓錐的側(cè)面積大小為_(kāi)___________.(結(jié)果保留)三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17．（12分）如圖，在正方體中，為的中點(diǎn)，點(diǎn)在棱上（1）若，證明：與平面不垂直；（2）若平面，求平面與平面的夾角的余弦值18．（12分）已知拋物線(xiàn)C的頂點(diǎn)在坐標(biāo)原點(diǎn)，焦點(diǎn)在x軸上，點(diǎn)在拋物線(xiàn)C上（1）求拋物線(xiàn)C的方程；（2）過(guò)拋物線(xiàn)C焦點(diǎn)F的直線(xiàn)l交拋物線(xiàn)于P，Q兩點(diǎn)，若求直線(xiàn)l的方程19．（12分）已知函數(shù)圖像在點(diǎn)處的切線(xiàn)方程為.（1）求實(shí)數(shù)、的值；（2）求函數(shù)在上的最值.20．（12分）已知圓的圓心在第一象限內(nèi)，圓關(guān)于直線(xiàn)對(duì)稱(chēng)，與軸相切，被直線(xiàn)截得的弦長(zhǎng)為.（1）求圓的方程；（2）若點(diǎn)，求過(guò)點(diǎn)的圓的切線(xiàn)方程.21．（12分）已知圓，點(diǎn)，點(diǎn)是圓上任意一點(diǎn)，線(xiàn)段的垂直平分線(xiàn)交直線(xiàn)于點(diǎn)，點(diǎn)的軌跡記為曲線(xiàn).（1）求曲線(xiàn)的方程；（2）已知曲線(xiàn)上一點(diǎn)，動(dòng)圓，且點(diǎn)在圓外，過(guò)點(diǎn)作圓的兩條切線(xiàn)分別交曲線(xiàn)于點(diǎn)，.（i）求證：直線(xiàn)的斜率為定值；（ii）若直線(xiàn)與交于點(diǎn)，且時(shí)，求直線(xiàn)的方程.22．（10分）設(shè)等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，已知.（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式;（2）當(dāng)為何值時(shí)，最大，并求的最大值.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、D【解析】分析可知函數(shù)在上為增函數(shù)，且有，將所求不等式變形為，可得出關(guān)于實(shí)數(shù)的不等式，由此可解得實(shí)數(shù)的取值范圍.【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)是偶函數(shù)且在上單調(diào)遞減，則該函數(shù)在上為增函數(shù)，且，由可得，所以，，可得或，解得或.因此，不等式的解集為.故選：D.2、C【解析】先求出橢圓的離心率，再由題意得出雙曲線(xiàn)的離心率，根據(jù)離心率即可求出漸近線(xiàn)斜率得解.【詳解】橢圓：的離心率為，則，依題意，雙曲線(xiàn)；的離心率為，而，于是得，解得：，所以雙曲線(xiàn)的漸近線(xiàn)方程為故選：C3、D【解析】根據(jù)充分條件、必要條件的判定方法，結(jié)合不等式的性質(zhì)，即可求解.【詳解】由，可得，即，當(dāng)時(shí)，，但的符號(hào)不確定，所以充分性不成立；反之當(dāng)時(shí)，也不一定成立，所以必要性不成立，所以是的即不充分也不必要條件.故選：D.4、B【解析】由雙曲線(xiàn)的漸近線(xiàn)方程為：，化簡(jiǎn)即可得到答案.【詳解】雙曲線(xiàn)的漸近線(xiàn)方程為：，即，漸近線(xiàn)的斜率是.故選：B5、D【解析】根據(jù)斜率的公式，可以得到的值是定值，然后結(jié)合已知逐一判斷即可.【詳解】設(shè)，所以有，，因此，所以有，，，，，，故，，.故選：D【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：利用斜率公式得到之間的關(guān)系是解題的關(guān)鍵.6、A【解析】由題意可得，令，可得，再由三角形的面積公式，解方程可得，，即可得到所求橢圓的方程【詳解】由題意可得，即，即有，令，則，可得，則，即，解得，，∴橢圓的方程為故選：A7、B【解析】四個(gè)選項(xiàng)中需要分別利用對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，向量共線(xiàn)的定義，等比數(shù)列的定義以及三角函數(shù)圖像判斷，根據(jù)題意結(jié)合知識(shí)點(diǎn)，即可得出結(jié)果.【詳解】選項(xiàng)A，由于此對(duì)數(shù)函數(shù)單調(diào)遞增，并且結(jié)合對(duì)數(shù)函數(shù)定義域，即可求得結(jié)果，所以是真命題；選項(xiàng)B，向量共線(xiàn)，夾角可能是或，所以是假命題；選項(xiàng)C，將式子變形可得，符合等比數(shù)列定義，所以是真命題；選項(xiàng)D，將點(diǎn)代入解析式，等號(hào)成立，所以是真命題；故選B.【點(diǎn)睛】本題考查命題真假的判定，根據(jù)題意結(jié)合各知識(shí)點(diǎn)即可判斷真假，需要熟練掌握對(duì)數(shù)函數(shù)、等比數(shù)列、向量夾角以及三角函數(shù)的基本性質(zhì).8、C【解析】先計(jì)算從金、木、水、火、土五種元素中任取兩種的所有基本事件數(shù)，再計(jì)算其中兩種元素恰是相生關(guān)系的基本事件數(shù)，利用古典概型概率公式，即得解【詳解】由題意，從金、木、水、火、土五種元素中任取兩種，共有（金，木），（金，水），（金，火），（金，土），（木，水），（木，火），（木土），（水，火），（水，土），（火，土），共10個(gè)基本事件，其中兩種元素恰是相生關(guān)系包含（金，木），（木，土），（土，水），（水，火）（火，金）共5個(gè)基本事件，所以所求概率.故選：C9、A【解析】由雙曲線(xiàn)的定義及三角形的幾何性質(zhì)可求解.【詳解】如圖，圓的圓心為，半徑為1，，，當(dāng)，，三點(diǎn)共線(xiàn)時(shí)，最小，最小值為，而，所以故選：A10、D【解析】按照莖葉圖所給的數(shù)據(jù)計(jì)算即可.【詳解】由莖葉圖可知，甲的成績(jī)?yōu)椋?1，22，23，24，32，32，33，41，52，其中位數(shù)為32，眾數(shù)為32，平均數(shù)為；乙的成績(jī)?yōu)椋?0，22，31，32，35，42，42，50，52，極差為52-10=42，眾數(shù)為42，平均數(shù)為；由以上數(shù)據(jù)可知，A錯(cuò)誤，B錯(cuò)誤，C錯(cuò)誤，D正確；故選：D.11、D【解析】根據(jù)橢圓定義求解【詳解】由橢圓定義得△的周長(zhǎng)是，故選：D.12、C【解析】根據(jù)直線(xiàn)的斜率存在與不存在，分類(lèi)討論，結(jié)合雙曲線(xiàn)的漸近線(xiàn)的性質(zhì)，即可求解.【詳解】當(dāng)直線(xiàn)的斜率不存在時(shí)，直線(xiàn)過(guò)雙曲線(xiàn)的右頂點(diǎn)，方程為，滿(mǎn)足題意；當(dāng)直線(xiàn)的斜率存在時(shí)，若直線(xiàn)與兩漸近線(xiàn)平行，也能滿(mǎn)足與雙曲線(xiàn)有且僅有一個(gè)公共點(diǎn).綜上可得，滿(mǎn)足條件的直線(xiàn)共有3條.故選：C.【點(diǎn)睛】本題主要考查了直線(xiàn)與雙曲線(xiàn)的位置關(guān)系，以及雙曲線(xiàn)的漸近線(xiàn)的性質(zhì)，其中解答中忽視斜率不存在的情況是解答的一個(gè)易錯(cuò)點(diǎn)，著重考查了分析問(wèn)題和解答問(wèn)題的能力，以及分類(lèi)討論思想的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】設(shè)與直線(xiàn)x+y-4=0平行的直線(xiàn)方程為,求出即得解.【詳解】解：設(shè)與直線(xiàn)x+y-4=0平行的直線(xiàn)方程為,所以，代入橢圓方程得，令或.當(dāng)時(shí)，平行線(xiàn)間的距離為；當(dāng)時(shí)，平行線(xiàn)間的距離為.所以最小距離為.故答案為：.14、.【解析】先根據(jù)棱錐的體積求出正方體的棱長(zhǎng)，進(jìn)而求出正方體的體對(duì)角線(xiàn)長(zhǎng).【詳解】如圖，連接，設(shè)正方體棱長(zhǎng)為，則.所以，體對(duì)角線(xiàn).故答案為：.15、【解析】根據(jù)與垂直，可知，根據(jù)空間向量的數(shù)量積運(yùn)算可求出的值，結(jié)合向量坐標(biāo)求向量模的求法，即可得出結(jié)果.【詳解】解：與垂直，，則，解得：，，則，.故答案為：.16、【解析】由題設(shè)知：圓錐的軸截面為等邊三角形，進(jìn)而求圓錐的底面周長(zhǎng)，由扇形面積公式求圓錐的側(cè)面積大小.【詳解】由題設(shè)，圓錐的軸截面為等邊三角形，又圓錐的母線(xiàn)長(zhǎng)為2，∴底面半徑為1，則底面周長(zhǎng)為，∴圓錐的側(cè)面積大小為.故答案為：.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17、（1）證明見(jiàn)解析（2）【解析】（1）設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為，以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，、、所在直線(xiàn)分別為、、軸建立空間直角坐標(biāo)系，計(jì)算出，即可證得結(jié)論成立；（2）利用空間向量法可求得平面與平面的夾角的余弦值.【小問(wèn)1詳解】證明：以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，、、所在直線(xiàn)分別為、、軸建立如下圖所示的空間直角坐標(biāo)系，設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為，則、、、，由得點(diǎn)的坐標(biāo)為，，，因?yàn)?，所以與不垂直，所以與平面不垂直【小問(wèn)2詳解】解：設(shè)，則，，因?yàn)槠矫?，所以，所以，得，且，即，所以，，設(shè)平面的法向量為，由，取，可得，因?yàn)槠矫?，所以平面的一個(gè)法向量為，所以，所以平面與平面所成夾角的余弦值為18、（1）（2）或【解析】(1)把點(diǎn)的坐標(biāo)代入方程即可；(2)設(shè)直線(xiàn)方程，解聯(lián)立方程組，消未知數(shù)，得到一元二次方程，再利用韋達(dá)定理和已知條件求斜率.【小問(wèn)1詳解】因?yàn)閽佄锞€(xiàn)C的頂點(diǎn)在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在x軸上，所以設(shè)拋物線(xiàn)方程為又因?yàn)辄c(diǎn)在拋物線(xiàn)C上，所以，解得，所以?huà)佄锞€(xiàn)的方程為；【小問(wèn)2詳解】拋物線(xiàn)C的焦點(diǎn)為，當(dāng)直線(xiàn)l的斜率不存在時(shí)，，不符合題意；當(dāng)直線(xiàn)l的斜率存在時(shí)，設(shè)直線(xiàn)l的方程為，設(shè)直線(xiàn)l交拋物線(xiàn)的兩點(diǎn)坐標(biāo)為，，由得，，，，由拋物線(xiàn)得定義可知，所以，解得，即，所以直線(xiàn)l的方程為或19、（1）a=3，b=-9.（2）最小值=-24，最大值=8.【解析】由曲線(xiàn)在的值以及切線(xiàn)斜率容易確定a與b的值；根據(jù)導(dǎo)數(shù)很容易確定函數(shù)單調(diào)區(qū)間以及極值點(diǎn).【小問(wèn)1詳解】，，，由于切線(xiàn)方程是，當(dāng)x=1時(shí)，y=-8，即，即=-8……①；又切線(xiàn)的斜率為-12，∴……②；聯(lián)立①②得.【小問(wèn)2詳解】由（1）得：，；當(dāng)時(shí)，，導(dǎo)函數(shù)圖像如下：在時(shí)，單調(diào)遞增，時(shí)，單調(diào)遞減，時(shí)單調(diào)遞增；∴在x=-1有極大值，x=3有極小值；在區(qū)間內(nèi)：在x=-1有最大值；在x=3有最小值.20、（1）（2）或【解析】（1）結(jié)合點(diǎn)到直線(xiàn)的距離公式、弦長(zhǎng)公式求得，由此求得圓的方程.（2）根據(jù)過(guò)的圓的切線(xiàn)的斜率是否存在進(jìn)行分類(lèi)討論，結(jié)合點(diǎn)到直線(xiàn)的距離公式求得切線(xiàn)方程.【小問(wèn)1詳解】由題意，設(shè)圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為：，圓關(guān)于直線(xiàn)對(duì)稱(chēng)，圓與軸相切：…①點(diǎn)到的距離為：，圓被直線(xiàn)截得的弦長(zhǎng)為，，結(jié)合①有：，，又，，，圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為：.【小問(wèn)2詳解】當(dāng)直線(xiàn)的斜率不存在時(shí)，滿(mǎn)足題意當(dāng)直線(xiàn)的斜率存在時(shí)，設(shè)直線(xiàn)的斜率為，則方程為.又圓C的圓心為，半徑，由，解得.所以直線(xiàn)方程為，即即直線(xiàn)的方程為或.21、（1）（2）（i）答案見(jiàn)解析（ii）或【解析】（1）通過(guò)幾何關(guān)系可知，且,由此可知點(diǎn)的軌跡是以點(diǎn)、為焦點(diǎn)，且實(shí)軸長(zhǎng)為的雙曲線(xiàn)，通過(guò)雙曲線(xiàn)的定義即可求解；（2）（i）設(shè)點(diǎn)，，直線(xiàn)的方程為，將直線(xiàn)方程與雙曲線(xiàn)方程聯(lián)立利用韋達(dá)定理及求出，即得到直線(xiàn)的斜率為定值；（ii）由（i）可知，由已知可得，聯(lián)立方程即可求出，的值，代入即可求出的值，即可得到直線(xiàn)方程.【小問(wèn)1詳解】由題意可知,∵,且,∴根據(jù)雙曲線(xiàn)的定義可知，點(diǎn)的軌跡是以點(diǎn)、為焦點(diǎn)，且實(shí)軸長(zhǎng)為的雙曲線(xiàn)，即，，，則點(diǎn)的軌跡方程為；【小問(wèn)2詳解】（i）設(shè)點(diǎn)，，直線(xiàn)的方程為，聯(lián)立得，其中，且，，，∵曲線(xiàn)上