專題01相交線與平行線(原卷版+解析)

2022-2023學年人教版七年級數(shù)學下冊精選壓軸題培優(yōu)卷專題01相交線與平行線姓名：___________班級：___________考號：___________題號一二三總分得分評卷人得分一．選擇題（共9小題，滿分18分，每小題2分）1．（2分）（2022秋?丹東期末）若將一副三角板按如圖所示的方式放置，則下列結論正確的是（）A．∠1＝∠2 B．如果∠2＝30°，則有AC∥DE C．如果∠2＝45°，則有∠4＝∠D D．如果∠2＝50°，則有BC∥AE2．（2分）（2022春?宜州區(qū)期中）如圖，AB∥CD，BF交CD于點E，AE⊥BF，∠CEF＝35°，則∠A是（）A．35° B．45° C．55° D．65°3．（2分）（2022春?江漢區(qū)校級月考）如圖，給出了過直線外一點作已知直線的平行線的方法，其依據是（）A．同位角相等，兩直線平行 B．內錯角相等，兩直線平行 C．同旁內角互補，兩直線平行 D．對頂角相等，兩直線平行4．（2分）（2022春?新羅區(qū)期中）如圖，將一個寬度相等的紙條沿AB折疊一下，若∠1＝140°，則∠2的值為（）A．100° B．110° C．120° D．130°5．（2分）（2022春?溫江區(qū)期末）將一副直角三角板如圖放置，已知∠B＝60°，∠F＝45°，AB∥EF，則∠CGD＝（）A．45° B．60° C．75° D．105°6．（2分）（2022春?牡丹江期中）如圖，AB∥CD，F(xiàn)為AB上一點，F(xiàn)D∥EH，且FE平分∠AFG，過點F作FG⊥EH于點G，且∠AFG＝2∠D，則下列結論：①∠D＝30°；②2∠D+∠EHC＝90°；③FD平分∠HFB；④FH平分∠GFD．其中正確結論的個數(shù)是（）A．1個 B．2個 C．3個 D．4個7．（2分）（2019秋?淮陰區(qū)期末）如圖，將長方形ABCD沿線段EF折疊到EB'C'F的位置，若∠EFC'＝100°，則∠DFC'的度數(shù)為（）A．20° B．30° C．40° D．50°8．（2分）（2021春?奉化區(qū)校級期末）如圖，AD∥BC，∠D＝∠ABC，點E是邊DC上一點，連接AE交BC的延長線于點H．點F是邊AB上一點．使得∠FBE＝∠FEB，作∠FEH的角平分線EG交BH于點G，若∠DEH＝100°，則∠BEG的度數(shù)為（）A．30° B．40° C．50° D．60°9．（2分）（2022春?大觀區(qū)校級期末）如圖，AB∥CD，P為AB上方一點，H、G分別為AB、CD上的點，∠PHB、∠PGD的角平分線交于點E，∠PGC的角平分線與EH的延長線交于點F，下列結論：①EG⊥FG；②∠P+∠PHB＝∠PGD；③∠P＝2∠E；④若∠AHP﹣∠PGC＝∠F，則∠F＝60°．其中正確的結論有（）個．A．1 B．2 C．3 D．4評卷人得分二．填空題（共10小題，滿分20分，每小題2分）10．（2分）（2022秋?寧強縣期末）將一張長方形紙片按如圖所示的方式折疊，BD、BE為折痕，若∠ABE＝20°，則∠DBC為度．11．（2分）（2022春?新樂市校級月考）如圖，直線EF，CD相交于點O，OA⊥OB，垂足為O，且OC平分∠AOF．（1）若∠AOE＝40°，則∠DOE的度數(shù)為；（2）∠AOE與∠BOD的數(shù)量關系為．12．（2分）（2022春?環(huán)翠區(qū)期末）如圖，AB∥EF，∠C＝90°，則α、β和γ的關系是．13．（2分）（2022春?紹興期末）如圖，已知直線AB∥CD，點M、N分別在直線AB、CD上，點E為AB、CD之間一點，且點E在MN的右側，∠MEN＝128°．若∠BME與∠DNE的平分線相交于點E1，∠BME1與∠DNE1的平分線相交于點E2，∠BME2與∠DNE2的平分線相交于點E3，……，依此類推，若∠MEnN＝8°，則n的值是．14．（2分）（2022春?鏡湖區(qū)校級期末）有長方形紙片，E，F(xiàn)分別是AD，BC上一點∠DEF＝x（0°＜x＜45°），將紙片沿EF折疊成圖1，再沿GF折疊成圖2．（1）如圖1，當x＝32°時，∠FGD′＝度；（2）如圖2，作∠MGF的平分線GP交直線EF于點P，則∠GPE＝.（用x的式子表示）．15．（2分）（2022春?諸暨市期末）從汽車燈的點O處發(fā)出的一束光線經燈的反光罩反射后沿CO方向平行射出，已知入射光線OA的反射光線為AB，∠OAB＝∠COA＝72°．在如圖中所示的截面內，若入射光線OD經反光罩反射后沿DE射出，且∠ODE＝27°．則∠AOD的度數(shù)是．16．（2分）（2022春?九龍坡區(qū)校級期中）如圖，將長方形ABCD沿EF翻折，再沿ED翻折，若∠FEA″＝105°，則∠CFE＝度．17．（2分）（2022春?東湖區(qū)校級月考）如圖，直線EF上有兩點A、C，分別引兩條射線AB、CD，∠DCF＝60°，∠EAB＝70°，射線AB、CD分別繞A點，C點以1度/秒和3度/秒的速度同時順時針轉動，在射線CD轉動一周的時間內，使得CD與AB平行所有滿足條件的時間＝．18．（2分）（2022春?沙坪壩區(qū)校級月考）已知如圖，AD∥BC，BD∥AE，DE平分∠ADB，且ED⊥CD，若∠AED+∠BAD＝127.5°，則∠BCD﹣∠EAB＝度．19．（2分）（2022春?渭濱區(qū)期末）把一張長方形紙片ABCD沿EF折疊后ED與BC的交點為G，D、C分別在M、N的位置上，若∠EFG＝49°，則∠2﹣∠1＝．評卷人得分三．解答題（共9小題，滿分62分）20．（6分）（2022秋?丹東期末）如圖，已知∠1＝∠BDC，∠2+∠3＝180°．（1）求證：AD∥CE；（2）若DA平分∠BDC，DA⊥FE于點A，∠FAB＝55°，求∠ABD的度數(shù)．21．（6分）（2019春?本溪期中）已知如圖AB∥CD，①由圖（1）易得∠B、∠BED、∠D的關系（直接寫結論）．由圖（2）易得∠B、∠BED、∠D的關系（直接寫結論）．②從圖（1）圖（2）任選一個圖形說明①中其中一個結論成立的理由．[延伸拓展]利用上面（1）（2）得出的結論完成下題③已知，AB∥CD，∠ABE與∠CDE兩個角的角平分線相交于點F．若∠E＝60°，求∠BFD的度數(shù)．22．（6分）（2022?衡東縣校級開學）如圖1，AB∥CD，∠PAB＝124°，∠PCD＝120°，求∠APC的大?。∶鞯慕忸}思路：過點P作PM∥AB，通過平行線的性質來求∠APC．（1）按小明的解題思路，可求得∠APC的大小為度；（2）如圖2，已知直線m∥n，直線a，b分別與直線m，n相交于點B、D和點A、C．點P在線段BD上運動（不與B、D兩點重合），記∠PAB＝α，∠PCD＝β，問∠APC與α，β之間有何數(shù)量關系？判斷并說明理由；（3）在（2）的條件下，若把“線段BD”改為“直線BD”，請求出∠APC與α，β之間的數(shù)量關系．23．（6分）（2022春?鹿邑縣月考）如圖，已知AB∥CD，∠ABE與∠CDE的平分線相交于點F．（1）如圖1，若∠E＝70°，求∠BFD的度數(shù)；（2）如圖2，若∠ABM＝∠ABF，∠CDM＝∠CDF，寫出∠M和∠E之間的數(shù)量關系，并證明你的結論．24．（6分）（2022秋?綠園區(qū)期末）【問題情景】如圖1，若AB∥CD，∠AEP＝45°，∠PFD＝120°．過點P作PM∥AB，則∠EPF＝；【問題遷移】如圖2，AB∥CD，點P在AB的上方，點E，F(xiàn)分別在AB，CD上，連接PE，PF，過P點作PN∥AB，問∠PEA，∠PFC，∠EPF之間的數(shù)量關系是，請在下方說明理由；【聯(lián)想拓展】如圖3所示，在（2）的條件下，已知∠EPF＝36°，∠PFA的平分線和∠PFC的平分線交于點G，過點G作GH∥AB，則∠EGF＝．25．（8分）（2022春?富縣期末）如圖，AD∥BC，∠BAD的平分線交BC于點G，∠BCD＝90°．（1）求證：∠BAG＝∠BGA；（2）如圖②，線段AG上有一點P，滿足∠ABP＝3∠PBG，過點C作CH∥AG．若在直線AG上有一點M，使∠PBM＝∠DCH，求的值．26．（8分）（2022春?武漢期末）已知，點E，F(xiàn)分別在直線AB，CD上，點P在直線AB上方．問題探究：（1）如圖1，∠CFP+∠EPF＝∠AEP，證明：AB∥CD；問題拓展：（2）如圖2，AB∥CD，∠AEP的角平分線EK所在的直線和∠DFP的角平分線FR所在的直線交于Q點，請寫出∠EPF和∠EQF之間的數(shù)量關系，并證明．問題遷移：（3）如圖3，AB∥CD，直線MN分別交AB，CD于點M，N，若點H在線段MN上，且∠MEF＝α，請直接寫出∠HFE，∠MEH和∠EHF之間滿足的數(shù)量關系（用含α的式子表示）．27．（8分）（2022春?建鄴區(qū)校級期末）【探究結論】（1）如圖1，AB∥CD，E為形內一點，連結AE、CE得到∠AEC，則∠AEC、∠A、∠C的關系是（直接寫出結論，不需要證明）：【探究應用】利用（1）中結論解決下面問題：（2）如圖2，AB∥CD，直線MN分別交AB、CD于點E、F，EG1和EG2為∠BEF內滿足∠1＝∠2的兩條線，分別與∠EFD的平分線交于點G1和G2，求證：∠FG1E+∠G2＝180°．（3）如圖3，已知AB∥CD，F(xiàn)為CD上一點，∠EFD＝60°，∠AEC＝3∠CEF，若8°＜∠BAE＜20°，∠C的度數(shù)為整數(shù)，則∠C的度數(shù)為．28．（8分）（2022春?潁州區(qū)期末）（1）問題背景：如圖1，已知AB∥CD，點P的位置如圖所示，連結PA，PC，試探究∠APC與∠A、∠C之間的數(shù)量關系，并說明理由．解：（1）∠APC與∠A、∠C之間的數(shù)量關系是：∠APC＝∠A+∠C．理由：如圖1，過點P作PE∥AB，∴∠APE＝∠A，∵AB∥CD，∴PE∥CD，∴∠CPE＝∠C，∴∠APE+∠CPE＝∠A+∠C，∴∠APC＝∠A+∠C．總結：本題通過添加適當?shù)妮o助線，從而利用平行線的性質，使問題得以解決．（2）類比探究：如圖2，已知AB∥CD，線段AD與BC相交于點E，點B在點A右側．若∠ABC＝40°，∠ADC＝80°，求∠AEC的度數(shù)．（3）拓展延伸：如圖3，若∠ABC與∠ADC的角平分線相交于點F，請直接寫出∠BFD與∠AEC之間的數(shù)量關系2022-2023學年人教版七年級數(shù)學下冊精選壓軸題培優(yōu)卷專題01相交線與平行線一．選擇題（共9小題，滿分18分，每小題2分）1．（2分）（2022秋?丹東期末）若將一副三角板按如圖所示的方式放置，則下列結論正確的是（）A．∠1＝∠2 B．如果∠2＝30°，則有AC∥DE C．如果∠2＝45°，則有∠4＝∠D D．如果∠2＝50°，則有BC∥AE解：∵∠CAB＝∠DAE＝90°，∴∠1＝∠3，故A錯誤．∵∠2＝30°，∴∠1＝∠3＝60°∴∠CAE＝90°+60°＝150°，∴∠E+∠CAE＝180°，∴AC∥DE，故B正確，∵∠2＝45°，∴∠1＝∠2＝∠3＝45°，∵∠E+∠3＝∠B+∠4，∴∠4＝30°，∵∠D＝60°，∴∠4≠∠D，故C錯誤，∵∠2＝50°，∴∠3＝40°，∴∠B≠∠3，∴BC不平行AE，故D錯誤．故選：B．2．（2分）（2022春?宜州區(qū)期中）如圖，AB∥CD，BF交CD于點E，AE⊥BF，∠CEF＝35°，則∠A是（）A．35° B．45° C．55° D．65°解：∵AE⊥BF，∴∠AEF＝90°，∴∠AEC＝90°﹣∠CEF＝90°﹣35°＝55°，∵AB∥CD，∴∠A＝∠AEC＝55°．故選：C．3．（2分）（2022春?江漢區(qū)校級月考）如圖，給出了過直線外一點作已知直線的平行線的方法，其依據是（）A．同位角相等，兩直線平行 B．內錯角相等，兩直線平行 C．同旁內角互補，兩直線平行 D．對頂角相等，兩直線平行解：如圖，給出了過直線外一點作已知直線的平行線的方法，其依據是同位角相等，兩直線平行．故選：A．4．（2分）（2022春?新羅區(qū)期中）如圖，將一個寬度相等的紙條沿AB折疊一下，若∠1＝140°，則∠2的值為（）A．100° B．110° C．120° D．130°解：如圖：∵寬度相等的紙條沿AB折疊一下，∴紙條兩邊互相平行，∴2∠3＝∠1，∠2+∠3＝180°，∵∠1＝140°，∴∠3＝∠1＝70°，∴∠2＝180°﹣∠3＝110°，故選：B．5．（2分）（2022春?溫江區(qū)期末）將一副直角三角板如圖放置，已知∠B＝60°，∠F＝45°，AB∥EF，則∠CGD＝（）A．45° B．60° C．75° D．105°解：∵∠B＝60°，∴∠A＝30°，∵EF∥BC，∴∠FDA＝∠F＝45°，∴∠CGD＝∠A+∠FDA＝45°+30°＝75°．故選：C．6．（2分）（2022春?牡丹江期中）如圖，AB∥CD，F(xiàn)為AB上一點，F(xiàn)D∥EH，且FE平分∠AFG，過點F作FG⊥EH于點G，且∠AFG＝2∠D，則下列結論：①∠D＝30°；②2∠D+∠EHC＝90°；③FD平分∠HFB；④FH平分∠GFD．其中正確結論的個數(shù)是（）A．1個 B．2個 C．3個 D．4個解：延長FG，交CH于I．∵AB∥CD，∴∠BFD＝∠D，∠AFI＝∠FIH，∵FD∥EH，∴∠EHC＝∠D，∵FE平分∠AFG，∴∠FIH＝2∠AFE＝2∠EHC，∴3∠EHC＝90°，∴∠EHC＝30°，∴∠D＝30°，∴2∠D+∠EHC＝2×30°+30°＝90°，∴①∠D＝30°；②2∠D+∠EHC＝90°正確，∵FE平分∠AFG，∴∠AFI＝30°×2＝60°，∵∠BFD＝30°，∴∠GFD＝90°，∴∠GFH+∠HFD＝90°，可見，∠HFD的值未必為30°，∠GFH未必為45°，只要和為90°即可，∴③FD平分∠HFB，④FH平分∠GFD不一定正確．故選B．7．（2分）（2019秋?淮陰區(qū)期末）如圖，將長方形ABCD沿線段EF折疊到EB'C'F的位置，若∠EFC'＝100°，則∠DFC'的度數(shù)為（）A．20° B．30° C．40° D．50°解：由翻折知，∠EFC＝∠EFC'＝100°，∴∠EFC+∠EFC'＝200°，∴∠DFC'＝∠EFC+∠EFC'﹣180°＝200°﹣180°＝20°，故選：A．8．（2分）（2021春?奉化區(qū)校級期末）如圖，AD∥BC，∠D＝∠ABC，點E是邊DC上一點，連接AE交BC的延長線于點H．點F是邊AB上一點．使得∠FBE＝∠FEB，作∠FEH的角平分線EG交BH于點G，若∠DEH＝100°，則∠BEG的度數(shù)為（）A．30° B．40° C．50° D．60°解：設FBE＝∠FEB＝α，則∠AFE＝2α，∠FEH的角平分線為EG，設∠GEH＝∠GEF＝β，∵AD∥BC，∴∠ABC+∠BAD＝180°，而∠D＝∠ABC，∴∠D+∠BAD＝180°，∴AB∥CD，∠DEH＝100°，則∠CEH＝∠FAE＝80°，∠AEF＝180°﹣∠FEG﹣∠HEG＝180°﹣2β，在△AEF中，80°+2α+180﹣2β＝180°故β﹣α＝40°，而∠BEG＝∠FEG﹣∠FEB＝β﹣α＝40°，故選：B．9．（2分）（2022春?大觀區(qū)校級期末）如圖，AB∥CD，P為AB上方一點，H、G分別為AB、CD上的點，∠PHB、∠PGD的角平分線交于點E，∠PGC的角平分線與EH的延長線交于點F，下列結論：①EG⊥FG；②∠P+∠PHB＝∠PGD；③∠P＝2∠E；④若∠AHP﹣∠PGC＝∠F，則∠F＝60°．其中正確的結論有（）個．A．1 B．2 C．3 D．4解：∵GF平分∠PGC，GE平分∠PGD，∴∠PGF＝∠PGC，∠PGE＝∠PGD，∴∠EGF＝∠PGF+∠PGE＝（∠PGC+∠PGD）＝，即EG⊥FG，故①正確；設PG與AB交于M，GE于AB交于N，∵AB∥CD，∴∠PMB＝∠PGD，∵∠PMB＝∠P+∠PHM，∴∠P+∠PHB＝∠PGD，故②正確；∵HE平分∠BHP，GE平分∠PGD，∴∠PHB＝2∠EHB，∠PGD＝2∠EGD，∵AB∥CD，∴∠PMB＝∠PGD，∠ENB＝∠EGD，∴∠PMB＝2∠ENB，∵∠PMB＝∠P+∠PHB，∠ENB＝∠E+∠EHB，∴∠P＝2∠E，故③正確；∵∠AHP﹣∠PMC＝∠P，∠PMH＝∠PGC，∠AHP﹣∠PGC＝∠F，∴∠P＝∠F，∵∠FGE＝90°，∴∠E+∠F＝90°，∴∠E+∠P＝90°，∵∠P＝2∠E，∴3∠E＝90，解得∠E＝30°，∴∠F＝∠P＝60°，故④正確．綜上，正確答案有4個，故選：D．二．填空題（共10小題，滿分20分，每小題2分）10．（2分）（2022秋?寧強縣期末）將一張長方形紙片按如圖所示的方式折疊，BD、BE為折痕，若∠ABE＝20°，則∠DBC為70度．解：根據翻折的性質可知，∠ABE＝∠A′BE，∠DBC＝∠DBC′，又∵∠ABE+∠A′BE+∠DBC+∠DBC′＝180°，∴∠ABE+∠DBC＝90°，又∵∠ABE＝20°，∴∠DBC＝70°．故答案為：70．11．（2分）（2022春?新樂市校級月考）如圖，直線EF，CD相交于點O，OA⊥OB，垂足為O，且OC平分∠AOF．（1）若∠AOE＝40°，則∠DOE的度數(shù)為70°；（2）∠AOE與∠BOD的數(shù)量關系為∠AOE＝2∠BOD．解：（1）∵OA⊥OB，∴∠AOB＝90°，∵∠AOF+∠AOE＝180°，∠AOE＝40°，∴∠AOF＝140°，∵OC平分∠AOF，∴∠AOC＝∠COF＝70°，∵∠BOD+∠AOB+∠AOC＝180°，∴∠DOE＝∠COF＝70°．故答案為：70°；（2）∵∠AOE+∠AOF＝180°，∠AOC＝∠COF，∴∠AOC＝（180°﹣∠AOE）＝90°﹣∠AOE，∵∠BOD+∠AOB+∠AOC＝180°，∴∠BOD＝180°﹣90°﹣∠AOC＝90°﹣（90°﹣∠AOE）＝﹣∠AOE，∴∠AOE＝2∠BOD．故答案為：∠AOE＝2∠BOD．12．（2分）（2022春?環(huán)翠區(qū)期末）如圖，AB∥EF，∠C＝90°，則α、β和γ的關系是α+β﹣γ＝90°．解：過點C作CM∥AB，過點D作DN∥EF，則：∠BCM＝∠ABC＝α，∠EDN＝∠DEF＝γ，∵AB∥EF，∴CM∥DN，∴∠DCM＝∠CDN，∵∠BCM+∠DCM＝90°，∠CDN+∠EDN＝β，∴α+（β﹣γ）＝90°，∴α+β﹣γ＝90°．故答案為：α+β﹣γ＝90°．13．（2分）（2022春?紹興期末）如圖，已知直線AB∥CD，點M、N分別在直線AB、CD上，點E為AB、CD之間一點，且點E在MN的右側，∠MEN＝128°．若∠BME與∠DNE的平分線相交于點E1，∠BME1與∠DNE1的平分線相交于點E2，∠BME2與∠DNE2的平分線相交于點E3，……，依此類推，若∠MEnN＝8°，則n的值是4．解：過E作EH∥AB，E1G∥AB，∵AB∥CD，∴EH∥CD，E1G∥CD，∴∠BME＝∠MEH，∠DNE＝∠NEH，∴∠BME+∠DNE＝∠MEH+∠NEH＝∠MEN＝128°，同理∠ME1N＝∠BME1+∠DNE1，∵ME1平分∠BME，NE1平分∠DNE，∴∠BME1+∠DNE1＝（∠BME+∠DNE）＝∠MEN，∴∠ME1N＝∠MEN，同理，∠ME2N＝∠ME1N＝∠MEN，∠ME3N＝∠ME2N＝∠MEN，???，∴∠MEnN＝∠MEn﹣1N＝∠MEN，若∠MEnN＝8°，則∠MEN＝×128°＝8°，∴n＝4．故答案為：4．14．（2分）（2022春?鏡湖區(qū)校級期末）有長方形紙片，E，F(xiàn)分別是AD，BC上一點∠DEF＝x（0°＜x＜45°），將紙片沿EF折疊成圖1，再沿GF折疊成圖2．（1）如圖1，當x＝32°時，∠FGD′＝64度；（2）如圖2，作∠MGF的平分線GP交直線EF于點P，則∠GPE＝2x.（用x的式子表示）．解：（1）由折疊可得∠GEF＝∠DEF＝32°，∵長方形的對邊是平行的，∴∠DEG＝∠FGD′，∴∠DEG＝∠GFE+∠DEF＝64°，∴∠FGD′＝∠EGD＝64°，∴當x＝32°時，∠GFD′的度數(shù)是64°．故答案為：64；（2）∠GPE＝2∠GEP＝2x．由折疊可得∠GEF＝∠DEF，∵長方形的對邊是平行的，∴設∠BFE＝∠DEF＝x，∴∠EGB＝∠BFE+∠D′EF＝2x，∴∠FGD′＝∠EGB＝2x，由折疊可得∠MGF＝∠D′GF＝2x，∵GP平分∠MGF，∴∠PGF＝x，∴∠GPE＝∠PGF+∠BFE＝2x，∴∠GPE＝2∠GEP＝2x．故答案為：∠GPE＝2x．15．（2分）（2022春?諸暨市期末）從汽車燈的點O處發(fā)出的一束光線經燈的反光罩反射后沿CO方向平行射出，已知入射光線OA的反射光線為AB，∠OAB＝∠COA＝72°．在如圖中所示的截面內，若入射光線OD經反光罩反射后沿DE射出，且∠ODE＝27°．則∠AOD的度數(shù)是45°或99°．解：∵DE∥CF，∴∠COD＝∠ODE．（兩直線平行，內錯角相等）∵∠ODE＝27°，∴∠COD＝27°．在圖1的情況下，∠AOD＝∠COA﹣∠COD＝72°﹣27°＝45°．在圖2的情況下，∠AOD＝∠COA+∠COD＝72°+27°＝99°．∴∠AOD的度數(shù)為45°或99°．故答案為：45°或99°．16．（2分）（2022春?九龍坡區(qū)校級期中）如圖，將長方形ABCD沿EF翻折，再沿ED翻折，若∠FEA″＝105°，則∠CFE＝155度．解：由四邊形ABFE沿EF折疊得四邊形A′B′FE，∴∠A′EF＝∠AEF．∵∠A′EF＝∠A′ED+∠DEF，∠AEF＝180°﹣∠DEF．∴∠A′ED+∠DEF＝180°﹣∠DEF．由四邊形A′B′ME沿AD折疊得四邊形A″B″ME，∴∠A′ED＝∠A″ED．∵∠A″ED＝∠A″EF+∠DEF＝105°+∠DEF，∴∠A′ED＝105°+∠DEF．∴105°+∠DEF+∠DEF＝180°﹣∠DEF．∴∠DEF＝25°．∵AD∥BC，∴∠DEF＝∠EFB＝25°．∴∠CFE＝180°﹣∠EFB＝180°﹣25°＝155°．故答案為：155．17．（2分）（2022春?東湖區(qū)校級月考）如圖，直線EF上有兩點A、C，分別引兩條射線AB、CD，∠DCF＝60°，∠EAB＝70°，射線AB、CD分別繞A點，C點以1度/秒和3度/秒的速度同時順時針轉動，在射線CD轉動一周的時間內，使得CD與AB平行所有滿足條件的時間＝5秒或95秒．解：∵∠EAB＝70°，∠DCF＝60°，∴∠BAC＝110°，∠ACD＝120°，分三種情況：如圖①，AB與CD在EF的兩側時，∠ACD＝120°﹣（3t）°，∠BAC＝110°﹣t°，要使AB∥CD，則∠ACD＝∠BAC，即120°﹣（3t）°＝110°﹣t°，解得t＝5；②CD旋轉到與AB都在EF的右側時，∠DCF＝360°﹣（3t）°﹣60°＝300°﹣（3t）°，∠BAC＝110°﹣t°，要使AB∥CD，則∠DCF＝∠BAC，即300°﹣（3t）°＝110°﹣t°，解得t＝95；③CD旋轉到與AB都在EF的左側時，∠DCF＝（3t）°﹣（180°﹣60°+180°）＝（3t）°﹣300°，∠BAC＝t°﹣110°，要使AB∥CD，則∠DCF＝∠BAC，即（3t）°﹣300°＝t°﹣110°，解得t＝95，∴此情況不存在．綜上所述，當時間t的值為5秒或95秒時，CD與AB平行．故答案為：5秒或95秒．18．（2分）（2022春?沙坪壩區(qū)校級月考）已知如圖，AD∥BC，BD∥AE，DE平分∠ADB，且ED⊥CD，若∠AED+∠BAD＝127.5°，則∠BCD﹣∠EAB＝37.5度．解：設∠ADE＝x，∵DE平分∠ADB，∴∠EDB＝∠ADE＝x，又ED⊥CD，∴∠EDC＝90°，∴∠BDC＝90°﹣x，∵AD∥BC，∴∠DBC＝∠ADB＝2x，∠BCD＝180°﹣（90°﹣x+2x）＝90°﹣x，∵BD∥AE，∴∠AED＝∠EDB＝x，∵∠AED+∠BAD＝127.5°，∴∠BAD＝127.5°﹣x，∠EAB＝180°﹣（127.5°﹣x+2x）＝52.5°﹣x，∴∠BCD﹣∠EAB＝（90°﹣x）﹣（52.5°﹣x）＝37.5°．故答案為：37.5．19．（2分）（2022春?渭濱區(qū)期末）把一張長方形紙片ABCD沿EF折疊后ED與BC的交點為G，D、C分別在M、N的位置上，若∠EFG＝49°，則∠2﹣∠1＝16°．解：∵AD∥BC，∴∠2＝∠DEG，∠EFG＝∠DEF＝49°，∵長方形紙片ABCD沿EF折疊后ED與BC的交點為G，∴∠DEF＝∠GEF＝49°，∴∠2＝2×49°＝98°，∴∠1＝180°﹣98°＝82°，∴∠2﹣∠1＝98°﹣82°＝16°．故答案為16°．三．解答題（共9小題，滿分62分）20．（6分）（2022秋?丹東期末）如圖，已知∠1＝∠BDC，∠2+∠3＝180°．（1）求證：AD∥CE；（2）若DA平分∠BDC，DA⊥FE于點A，∠FAB＝55°，求∠ABD的度數(shù)．（1）證明：∵∠1＝∠BDC，∴AB∥CD，∴∠2＝∠ADC，∵∠2+∠3＝180°，∴∠ADC+∠3＝180°，∴AD∥CE；（2）解：∵CE⊥AE于E，∴∠CEF＝90°，由（1）知AD∥CE，∴∠DAF＝∠CEF＝90°，∴∠ADC＝∠2＝∠DAF﹣∠FAB，∵∠FAB＝55°，∴∠ADC＝35°，∵DA平分∠BDC，∠1＝∠BDC，∴∠1＝∠BDC＝2∠ADC＝70°∴∠ABD＝180°﹣70°＝110°．21．（6分）（2019春?本溪期中）已知如圖AB∥CD，①由圖（1）易得∠B、∠BED、∠D的關系∠BED＝∠B+∠D（直接寫結論）．由圖（2）易得∠B、∠BED、∠D的關系∠BED＝360°﹣（∠B+∠D）（直接寫結論）．②從圖（1）圖（2）任選一個圖形說明①中其中一個結論成立的理由．[延伸拓展]利用上面（1）（2）得出的結論完成下題③已知，AB∥CD，∠ABE與∠CDE兩個角的角平分線相交于點F．若∠E＝60°，求∠BFD的度數(shù)．解：①由圖（1）易得∠B、∠BED、∠D的關系∠BED＝∠B+∠D．由圖（2）易得∠B、∠BED、∠D的關系∠BED＝360°﹣（∠B+∠D）．故答案為：∠BED＝∠B+∠D；∠BED＝360°﹣（∠B+∠D）；②如圖（1）所示：過點E作EM∥AB，∵AB∥CD，EM∥AB，∴EM∥CD∥AB，∴∠B＝∠BEM，∠MED＝∠D，∴∠BED＝∠BEM+∠MED＝∠B+∠D，∴∠BED＝∠B+∠D；如圖（2）所示：過點E作EM∥AB，∵AB∥CD，EM∥AB，∴EM∥CD∥AB，∴∠B+∠BEM＝180°，∠MED+∠D＝180°，∴∠BED＝∠BEM+∠MED＝360°﹣（∠B+∠D）；③如圖（3），過點E作EN∥AB，∵BF、DF分別是∠ABE和∠CDE的平分線，∴∠EBF＝∠ABE，∠EDF＝∠CDE，∵AB∥CD，∴∠ABE+∠BEN＝180°，∵AB∥CD，AB∥NE，∴NE∥CD，∴∠CDE+∠NED＝180°，∴∠ABE+∠E+∠CDE＝360°，∵∠E＝60°，∴∠ABE+∠CDE＝300°，∴∠EBF+∠EDF＝150°，∴∠BFD＝360°﹣60°﹣150°＝150°．22．（6分）（2022?衡東縣校級開學）如圖1，AB∥CD，∠PAB＝124°，∠PCD＝120°，求∠APC的大?。∶鞯慕忸}思路：過點P作PM∥AB，通過平行線的性質來求∠APC．（1）按小明的解題思路，可求得∠APC的大小為116度；（2）如圖2，已知直線m∥n，直線a，b分別與直線m，n相交于點B、D和點A、C．點P在線段BD上運動（不與B、D兩點重合），記∠PAB＝α，∠PCD＝β，問∠APC與α，β之間有何數(shù)量關系？判斷并說明理由；（3）在（2）的條件下，若把“線段BD”改為“直線BD”，請求出∠APC與α，β之間的數(shù)量關系．解：（1）過P作PM∥AB，如圖：∴∠APM+∠PAB＝180°，∴∠APM＝180°﹣124°＝56°，∵AB∥CD，∴PM∥CD，∴∠CPM+∠PCD＝180°，∴∠CPM＝180°﹣120°＝60°，∴∠APC＝56°+60°＝116°；故答案為：116；（2）∠APC＝∠α+∠β，理由如下：過P作PE∥AB交AC于E，如圖：∵AB∥CD，∴AB∥PE∥CD，∴∠α＝∠APE，∠β＝∠CPE，∴∠APC＝∠APE+∠CPE＝∠α+∠β；（3）當P在線段BD延長線時，∠APC＝∠α﹣∠β；理由如下：過P作PE∥AB，如圖：∵AB∥CD，∴AB∥PE∥CD，∴∠α＝∠APE，∠β＝∠CPE，∵∠APC＝∠APE﹣∠CPE，∴∠APC＝∠α﹣∠β；當P在DB延長線時，∠APC＝∠β﹣∠α；理由如下：過P作PE∥AB，如圖：∵AB∥CD，∴AB∥PE∥CD，∴∠α＝∠APE，∠β＝∠CPE，∵∠APC＝∠CPE﹣∠APE，∴∠APC＝∠β﹣∠α，綜上所述，當P在線段BD延長線時，∠APC＝∠α﹣∠β；當P在DB延長線時，∠APC＝∠β﹣∠α；當P在線段BD上時，∠APC＝∠α+∠β．23．（6分）（2022春?鹿邑縣月考）如圖，已知AB∥CD，∠ABE與∠CDE的平分線相交于點F．（1）如圖1，若∠E＝70°，求∠BFD的度數(shù)；（2）如圖2，若∠ABM＝∠ABF，∠CDM＝∠CDF，寫出∠M和∠E之間的數(shù)量關系，并證明你的結論．解：（1）如圖1，過點E作EN∥AB，∵EN∥AB，∴∠ABE+∠BEN＝180°，∵AB∥CD，AB∥NE，∴NE∥CD，∴∠CDE+∠NED＝180°，∴∠ABE+∠E+∠CDE＝360°，∵∠E＝70°，∴∠ABE+∠CDE＝290°，∵∠ABE與∠CDE的平分線相交于點F，∴∠ABF+∠CDF＝（∠ABE+∠CDE）＝145°，過點F作FG∥AB，∵FG∥AB，∴∠ABF＝∠BFG，∵AB∥CD，F(xiàn)G∥AB，∴FG∥CD，∴∠CDF＝∠GFD，∴∠BFD＝∠ABF+∠CDF＝145°；（2）結論：∠E+6∠M＝360°，證明：∵設∠ABM＝x，∠CDM＝y(tǒng)，則∠FBM＝2x，∠EBF＝3x，∠FDM＝2y，∠EDF＝3y，由（1）得：∠ABE+∠E+∠CDE＝360°，∴6x+6y+∠E＝360°，∵∠M+∠EBM+∠E+∠EDM＝360°，∴6x+6y+∠E＝∠M+5x+5y+∠E，∴∠M＝x+y，∴∠E+6∠M＝360°．24．（6分）（2022秋?綠園區(qū)期末）【問題情景】如圖1，若AB∥CD，∠AEP＝45°，∠PFD＝120°．過點P作PM∥AB，則∠EPF＝105°；【問題遷移】如圖2，AB∥CD，點P在AB的上方，點E，F(xiàn)分別在AB，CD上，連接PE，PF，過P點作PN∥AB，問∠PEA，∠PFC，∠EPF之間的數(shù)量關系是∠PFC＝∠PEA+∠FPE，請在下方說明理由；【聯(lián)想拓展】如圖3所示，在（2）的條件下，已知∠EPF＝36°，∠PFA的平分線和∠PFC的平分線交于點G，過點G作GH∥AB，則∠EGF＝18°．解：（1）∵AB∥PM，∴∠1＝∠AEP＝45°，∵AB∥CD，∴PM∥CD，∴∠2+∠PFD＝180°，∵∠PFD＝120°，∴∠2＝180°﹣120°＝60°，∴∠1+∠2＝45°+60°＝105°．即∠EPF＝105°，故答案為：105°．（2）∠PFC＝∠PEA+∠EPF．理由：∵PN∥AB，∴∠PEA＝∠NPE，∵∠FPN＝∠NPE+∠FPE，∴∠FPN＝∠PEA+∠FPE，∵PN∥AB，AB∥CD，∴PN∥CD，∴∠FPN＝∠PFC，∴∠PFC＝∠PEA+∠FPE，故答案為：∠PFC＝∠PEA+∠FPE．（3）∵GH∥AB，AB∥CD，∴GH∥AB∥CD，∴∠HGE＝∠AEG，∠HGF＝∠CFG，又∵∠PEA的平分線和∠PFC的平分線交于點G，∴，由（2）可知，∠CFP＝∠FPE+∠AEP，∴∠HGF＝（∠FPE+∠AEP），∴∠EGF＝∠HGF﹣∠HGE＝（36°+∠AEP）﹣∠HGE＝18°．故答案為：18°．25．（8分）（2022春?富縣期末）如圖，AD∥BC，∠BAD的平分線交BC于點G，∠BCD＝90°．（1）求證：∠BAG＝∠BGA；（2）如圖②，線段AG上有一點P，滿足∠ABP＝3∠PBG，過點C作CH∥AG．若在直線AG上有一點M，使∠PBM＝∠DCH，求的值．（1）證明：∵AD∥BC，∴∠GAD＝∠BGA，∵AG平分∠BAD，∴∠BAG＝∠GAD∴∠BAG＝∠BGA；（2）解：有兩種情況：①當M在BP的下方時，如圖，設∠ABC＝4x，∵∠ABP＝3∠PBG，∴∠ABP＝3x，∠PBG＝x，∵AG∥CH，∴∠BCH＝∠AGB＝＝90°﹣2x，∵∠BCD＝90°，∴∠DCH＝∠PBM＝90°﹣（90°﹣2x）＝2x∴∠ABM＝∠ABP+∠PBM＝3x+2x＝5x，∠GBM＝2x﹣x＝x，∴∠ABM：∠GBM＝5x：x＝5；②當M在BP的上方時，如圖，同理得：∠ABM＝∠ABP﹣∠PBM＝3x﹣2x＝x，∠GBM＝2x+x＝3x，∴∠ABM：∠GBM＝x：3x＝．綜上，的值是5或．26．（8分）（2022春?武漢期末）已知，點E，F(xiàn)分別在直線AB，CD上，點P在直線AB上方．問題探究：（1）如圖1，∠CFP+∠EPF＝∠AEP，證明：AB∥CD；問題拓展：（2）如圖2，AB∥CD，∠AEP的角平分線EK所在的直線和∠DFP的角平分線FR所在的直線交于Q點，請寫出∠EPF和∠EQF之間的數(shù)量關系，并證明．問題遷移：（3）如圖3，AB∥CD，直線MN分別交AB，CD于點M，N，若點H在線段MN上，且∠MEF＝α，請直接寫出∠HFE，∠MEH和∠EHF之間滿足的數(shù)量關系（用含α的式子表示）．（1）證明：如圖，∵∠AEP是△PEH的外角，∴∠AEP＝∠EPF+∠EHP，∵∠CFP+∠EPF＝∠AEP，∴∠EHP＝∠CFP，∴AB∥CD；（2）解：如圖，2∠Q+∠P＝180°理由如下：∵AB∥CD，∴∠AEK＝∠CME，∠EHF＝∠PFD，∵EK平分∠AEP，∴∠AEK＝∠KEP，∴∠AEK＝∠KEP＝∠CME，設∠AEK＝∠KEP＝∠CME＝x，則∠QMF＝x，∠AEP＝2x，∴∠PEH＝180°﹣2x，∵FR平分∠PFD，∴∠PFR＝∠DFR，設∠PFR＝∠DFR＝y(tǒng)，則∠MFQ＝y(tǒng)，∠EHF＝2y，∴∠Q＝180°﹣∠QMF﹣∠MFQ＝180