河南省洛陽(yáng)市汝陽(yáng)縣實(shí)驗(yàn)高中2024屆數(shù)學(xué)高二上期末學(xué)業(yè)水平測(cè)試模擬試題含解析

河南省洛陽(yáng)市汝陽(yáng)縣實(shí)驗(yàn)高中2024屆數(shù)學(xué)高二上期末學(xué)業(yè)水平測(cè)試模擬試題注意事項(xiàng)1．考生要認(rèn)真填寫(xiě)考場(chǎng)號(hào)和座位序號(hào)。2．試題所有答案必須填涂或書(shū)寫(xiě)在答題卡上，在試卷上作答無(wú)效。第一部分必須用2B鉛筆作答；第二部分必須用黑色字跡的簽字筆作答。3．考試結(jié)束后，考生須將試卷和答題卡放在桌面上，待監(jiān)考員收回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．在三棱錐中，，，則異面直線PC與AB所成角的余弦值是（）A. B.C. D.2．圓心，半徑為的圓的方程是（）A. B.C. D.3．已知命題是真命題，那么的取值范圍是（）A. B.C. D.4．過(guò)拋物線（）的焦點(diǎn)作斜率大于的直線交拋物線于，兩點(diǎn)（在的上方），且與準(zhǔn)線交于點(diǎn)，若，則A. B.C. D.5．拋物線的準(zhǔn)線方程是A. B.C. D.6．已知圓，圓，M，N分別是圓上的動(dòng)點(diǎn)，P為x軸上的動(dòng)點(diǎn)，則以的最小值為（）A B.C. D.7．酒駕是嚴(yán)重危害交通安全的違法行為.根據(jù)國(guó)家有關(guān)規(guī)定：100血液中酒精含量在20~80之間為酒后駕車(chē)，80及以上為醉酒駕車(chē).假設(shè)某駕駛員喝了一定量的酒后，其血液中的酒精含量上升到了1.2，且在停止喝酒以后，他血液中的酒精含量會(huì)以每小時(shí)20%的速度減少，若他想要在不違法的情況下駕駛汽車(chē)，則至少需經(jīng)過(guò)的小時(shí)數(shù)約為（）（參考數(shù)據(jù)：，）A.6 B.7C.8 D.98．在中，已知，則的形狀是（）A.等腰三角形 B.直角三角形C.等腰直角三角形 D.正三角形9．已知F1、F2是雙曲線E：(a>0，b>0）的左、右焦點(diǎn)，過(guò)F1的直線與雙曲線左、右兩支分別交于點(diǎn)P、Q．若，M為PQ的中點(diǎn)，且，則雙曲線的離心率為（）A. B.C. D.10．將一枚骰子先后拋擲兩次，若先后出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)分別記為a，b，則直線到原點(diǎn)的距離不超過(guò)1的概率是（）A. B.C. D.11．已知圓，則圓上的點(diǎn)到坐標(biāo)原點(diǎn)的距離的最小值為（）A.-1 B.C.+1 D.612．已知，，且，則向量與的夾角為（）A. B.C. D.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．直線與直線間的距離為_(kāi)__________.14．已知函數(shù)f（x）=ex-2x+a有零點(diǎn)，則a的取值范圍是___________15．如圖，在棱長(zhǎng)為2的正方體中，點(diǎn)分別是棱的中點(diǎn)，是側(cè)面正方形內(nèi)一點(diǎn)（含邊界），若平面，則線段長(zhǎng)度的取值范圍是__________16．雙曲線的漸近線方程為_(kāi)__________.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17．（12分）已知橢圓，焦點(diǎn)，A，B是上關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的兩點(diǎn)，的周長(zhǎng)的最小值為（1）求的方程；（2）直線FA與交于點(diǎn)M（異于點(diǎn)A），直線FB與交于點(diǎn)N（異于點(diǎn)B），證明：直線MN過(guò)定點(diǎn)18．（12分）已知數(shù)列是等差數(shù)列，其前n項(xiàng)和為，，，數(shù)列滿足(且)，.（1）求和的通項(xiàng)公式；（2）求數(shù)列的前n項(xiàng)和.19．（12分）已知甲組數(shù)據(jù)的莖葉圖如圖所示，其中數(shù)據(jù)的整數(shù)部分為莖，數(shù)據(jù)的小數(shù)部分(僅一位小數(shù))為葉，例如第一個(gè)數(shù)據(jù)為5.3（1）求：甲組數(shù)據(jù)的平均值、方差、中位數(shù)；（2）乙組數(shù)據(jù)為，且甲、乙兩組數(shù)據(jù)合并后的30個(gè)數(shù)據(jù)的平均值為，方差為，求：乙組數(shù)據(jù)的平均值和方差，寫(xiě)出必要的計(jì)算步驟.參考公式：平均值，方差20．（12分）已知拋物線C：的焦點(diǎn)為F，為拋物線C上一點(diǎn)，且（1）求拋物線C的方程：（2）若以點(diǎn)為圓心，為半徑圓與C的準(zhǔn)線交于A，B兩點(diǎn)，過(guò)A，B分別作準(zhǔn)線的垂線交拋物線C于D，E兩點(diǎn)，若，證明直線DE過(guò)定點(diǎn)21．（12分）已知是公差不為零等差數(shù)列，，且、、成等比數(shù)列（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式：（2）設(shè)．?dāng)?shù)列{}的前項(xiàng)和為，求證：22．（10分）已知橢圓C：的離心率為，，是橢圓的左、右焦點(diǎn)，過(guò)且垂直于x軸的直線被橢圓C截得的線段長(zhǎng)為1（1）求橢圓C的方程；（2）過(guò)點(diǎn)的直線l與橢圓C交于A，B兩點(diǎn)，求（O為坐標(biāo)原點(diǎn)）的面積的最大值

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、A【解析】分別取、、的中點(diǎn)、、，連接、、、、，由題意結(jié)合平面幾何的知識(shí)可得、、或其補(bǔ)角即為異面直線PC與AB所成角，再由余弦定理即可得解.【詳解】分別取、、的中點(diǎn)、、，連接、、、、，如圖：由可得，所以，在，，可得由中位線的性質(zhì)可得且，且，所以或其補(bǔ)角即為異面直線PC與AB所成角，在中，，所以異面直線AB與PC所成角的余弦值為.故選：A.【點(diǎn)睛】思路點(diǎn)睛：平移線段法是求異面直線所成角的常用方法，其基本思路是通過(guò)平移直線，把異面直線的問(wèn)題化歸為共面直線問(wèn)題來(lái)解決，具體步驟如下：（1）平移：平移異面直線中的一條或兩條，作出異面直線所成的角；（2）認(rèn)定：證明作出的角就是所求異面直線所成的角；（3）計(jì)算：求該角的值，常利用解三角形；（4）取舍：由異面直線所成的角的取值范圍是，當(dāng)所作的角為鈍角時(shí)，應(yīng)取它的補(bǔ)角作為兩條異面直線所成的角2、D【解析】根據(jù)圓心坐標(biāo)及半徑，即可得到圓的方程.【詳解】因?yàn)閳A心為，半徑為，所以圓的方程為:.故選：D.3、C【解析】依據(jù)題意列出關(guān)于的不等式，即可求得的取值范圍.【詳解】當(dāng)時(shí)，僅當(dāng)時(shí)成立，不符合題意；當(dāng)時(shí)，若成立，則，解之得綜上，取值范圍是故選：C4、A【解析】分別過(guò)作準(zhǔn)線的垂線，垂足分別為，設(shè)，則，，故選A.5、C【解析】根據(jù)拋物線的概念，可得準(zhǔn)線方程為6、A【解析】求出圓關(guān)于軸的對(duì)稱圓的圓心坐標(biāo)，以及半徑，然后求解圓與圓的圓心距減去兩個(gè)圓的半徑和，即可求出的最小值.【詳解】圓關(guān)于軸對(duì)稱圓的圓心坐標(biāo)，半徑為1，圓的圓心坐標(biāo)為，半徑為3，易知，當(dāng)三點(diǎn)共線時(shí)，取得最小值，的最小值為圓與圓的圓心距減去兩個(gè)圓的半徑和，即：.故選：A.注意:9至12題為多選題7、C【解析】根據(jù)題意列出不等式，利用指對(duì)數(shù)冪的互化和對(duì)數(shù)的運(yùn)算公式即可解出不等式.【詳解】設(shè)該駕駛員至少需經(jīng)過(guò)x個(gè)小時(shí)才能駕駛汽車(chē)，則，所以，則，所以該駕駛員至少需經(jīng)過(guò)約8個(gè)小時(shí)才能駕駛汽車(chē).故選：C8、B【解析】利用誘導(dǎo)公式、兩角和的正弦公式化簡(jiǎn)已知條件，由此判斷出三角形的形狀.【詳解】由，得，得，由于，所以，所以.故選：B9、D【解析】由題干條件得到，設(shè)出，利用雙曲線定義表達(dá)出其他邊長(zhǎng)，得到方程，求出，從而得到，，利用勾股定理求出的關(guān)系，求出離心率.【詳解】因?yàn)镸為PQ的中點(diǎn)，且，所以△為等腰三角形，即，因?yàn)?，設(shè)，則，由雙曲線定義可知：，所以，則，又，所以，解得：，由勾股定理得：，其中，在三角形中，由勾股定理得：，即，解得：故選：D10、C【解析】先由條件得出a，b滿足，得出滿足的基本事件數(shù)，再求出總的基本事件數(shù)，從而可得答案.【詳解】直線到原點(diǎn)的距離不超過(guò)1，則所以當(dāng)時(shí)，可以為5，6當(dāng)時(shí)，可以為4，5，6當(dāng)時(shí)，可以為4，5，6當(dāng)時(shí)，可以為2，3，4，5，6當(dāng)時(shí)，可以為1，2，3，4，5，6當(dāng)時(shí)，可以為1，2，3，4，5，6滿足的共有25種結(jié)果.將一枚骰子先后拋擲兩次，若先后出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)分別記為a，b，共有種結(jié)果所以滿足條件的概率為故選：C11、A【解析】先求出圓心和半徑，求出圓心到坐標(biāo)原點(diǎn)的距離，從而求出圓上的點(diǎn)到坐標(biāo)原點(diǎn)的距離的最小值.【詳解】變形為，故圓心為，半徑為1，故圓心到原點(diǎn)的距離為，故圓上的點(diǎn)到坐標(biāo)原點(diǎn)的距離最小值為.故選：A12、B【解析】先求出向量與的夾角的余弦值，即可求出與的夾角.【詳解】，所以，∴，∴，∴，又∵，∴與的夾角為.故選：B.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】利用平行間的距離公式可求得結(jié)果.【詳解】由平行線間的距離公式可知，直線、間的距離為.故答案為：.14、【解析】根據(jù)零點(diǎn)定義，分離出，構(gòu)造函數(shù)，通過(guò)研究的值域來(lái)確定的取值范圍【詳解】根據(jù)零點(diǎn)定義，則所以令則，令解得當(dāng)時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞減當(dāng)時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞增所以當(dāng)時(shí)取得最小值，最小值為所以由零點(diǎn)的條件為所以，即的取值范圍為【點(diǎn)睛】本題考查了函數(shù)零點(diǎn)的意義，通過(guò)導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的值域，分離參數(shù)法的應(yīng)用，屬于中檔題15、【解析】取的中點(diǎn)G，連接FG，BG，F(xiàn)B，由正方體的幾何特征，易證平面AEC//平面BFG，再根據(jù)是側(cè)面內(nèi)一點(diǎn)（含邊界），且平面，得到點(diǎn)P在線段BG上運(yùn)動(dòng)，然后在等腰中求解.【詳解】如圖所示：取的中點(diǎn)G，連接FG，BG，F(xiàn)B，在正方體中，易得又因?yàn)槠矫鍮FG，平面BFG，所以平面BFG，同理證得平面BFG，又因?yàn)?，所以平面AEC//平面BFG，因?yàn)槭莻?cè)面內(nèi)一點(diǎn)（含邊界），且平面，所以點(diǎn)P線段BG上運(yùn)動(dòng)，如圖所示：在等腰中，作，且，所以，設(shè)點(diǎn)F到線段BG的距離為d，由等面積法得，解得，所以線段長(zhǎng)度的取值范圍是，故答案為：16、【解析】將雙曲線化為標(biāo)準(zhǔn)方程后求解【詳解】，化簡(jiǎn)得，其漸近線方程故答案為：三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17、（1）（2）證明見(jiàn)解析【解析】（1）設(shè)橢圓的左焦點(diǎn)為，根據(jù)橢圓的對(duì)稱性可得，則三角形的周長(zhǎng)為，再設(shè)根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)得到，即可求出的周長(zhǎng)的最小值為，從而得到，再根據(jù)，即可求出、，從而求出橢圓方程；（2）設(shè)直線MN的方程，，，，聯(lián)立直線與橢圓方程，消元列出韋達(dá)定理，再設(shè)直線的方程、，直線的方程、，聯(lián)立直線方程，消元列出韋達(dá)定理，即可表示，即可得到，整理得，再代入，，即可得到，從而求出，即可得解；【小問(wèn)1詳解】設(shè)橢圓的左焦點(diǎn)為，則由對(duì)稱性，，所以的周長(zhǎng)為設(shè)，則，當(dāng)A，B是橢圓的上下頂點(diǎn)時(shí)，的周長(zhǎng)取得最小，所以，即，又橢圓焦點(diǎn)，所以，所以，所以，解得，，所以橢圓的方程為.【小問(wèn)2詳解】解：當(dāng)A，B為橢圓左右頂點(diǎn)時(shí)，直線MN與x軸重合；當(dāng)A，B為橢圓上下頂點(diǎn)時(shí)，可得直線MN的方程為；設(shè)直線MN的方程，，，，由得，，，，設(shè)直線的方程，其中，，，由得，，，，設(shè)直線的方程，其中，，由得，，，所以，所以，所以，則，即，代入，，得，整理得，又所以，直線MN的方程為，綜上直線MN過(guò)定點(diǎn)18、（1），；（2）.【解析】(1)根據(jù)，列方程組即可求解數(shù)列的通項(xiàng)公式，根據(jù)可求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)化簡(jiǎn)，利用裂項(xiàng)相消法求該數(shù)列前n項(xiàng)和.【小問(wèn)1詳解】設(shè)等差數(shù)列公差為d，∵，∴，∵公差，∴.由得，即，∴數(shù)列是首項(xiàng)為，公比為2的等比數(shù)列，∴；【小問(wèn)2詳解】∵，∴，.19、（1），，；（2），.【解析】（1）根據(jù)莖葉圖求平均值，再由方差與均值的關(guān)系求，將莖葉圖中的數(shù)據(jù)從小到大排列確定中位數(shù)M.（2）由甲乙平均數(shù)及（1）的結(jié)果列方程求乙組數(shù)據(jù)的平均值，再由方差與均值的關(guān)系列方程組求出，進(jìn)而求方差.【小問(wèn)1詳解】，∴，由莖葉圖知：數(shù)據(jù)從小到大排列為∴.【小問(wèn)2詳解】由題意，，又，因此.20、（1）；（2）證明見(jiàn)解析.【解析】（1）解方程和即得解；（2）設(shè)，，將與圓P方程聯(lián)立得到韋達(dá)定理，再寫(xiě)出直線的方程即得解.【小問(wèn)1詳解】解：因?yàn)闉閽佄锞€C上一點(diǎn)，且，所以到拋物線C的準(zhǔn)線的距離為2則，，則，所以，故拋物線C的方程為【小問(wèn)2詳解】證明：由（1）知，則圓P的方程為設(shè)，，將與圓P的方程聯(lián)立，可得，則，當(dāng)時(shí)，，不妨令，則，此時(shí)；當(dāng)時(shí)，直線DE的斜率為，則直線DE的方程為，即，即，令且，得，直線過(guò)點(diǎn)；綜上，直線DE過(guò)定點(diǎn)21、（1）；（2）證明見(jiàn)解析.【解析】（1）設(shè)等差數(shù)列的公差為，則，根據(jù)題意可得出關(guān)于的方程，求出的值，利用等差數(shù)列的通項(xiàng)公式可求得數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）求得，利用裂項(xiàng)相消法求出，即可證得結(jié)論成立.【小問(wèn)1詳解】解：設(shè)等差數(shù)列的公差為，則，由題意可得，即，整理可得，，解得，因此，.【小問(wèn)2詳解】證明：，因此，，故原不等式得證.22、（1）；（2）1.【解析】(1)根據(jù)給定條件結(jié)合列式計(jì)算得解.(2)設(shè)出直線l的方程，與橢圓C的方程聯(lián)立，借助韋達(dá)定理結(jié)合均值不等式計(jì)算作答.【小問(wèn)1詳解】橢圓C的半焦距為c，離心率