河南省安陽市安陽縣一中2024屆數(shù)學(xué)高二上期末學(xué)業(yè)水平測試試題含解析

河南省安陽市安陽縣一中2024屆數(shù)學(xué)高二上期末學(xué)業(yè)水平測試試題注意事項1．考試結(jié)束后，請將本試卷和答題卡一并交回．2．答題前，請務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號用0．5毫米黑色墨水的簽字筆填寫在試卷及答題卡的規(guī)定位置．3．請認真核對監(jiān)考員在答題卡上所粘貼的條形碼上的姓名、準(zhǔn)考證號與本人是否相符．4．作答選擇題，必須用2B鉛筆將答題卡上對應(yīng)選項的方框涂滿、涂黑；如需改動，請用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案．作答非選擇題，必須用05毫米黑色墨水的簽字筆在答題卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律無效．5．如需作圖，須用2B鉛筆繪、寫清楚，線條、符號等須加黑、加粗．一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．已知點是點在坐標(biāo)平面內(nèi)的射影，則點的坐標(biāo)為（）A. B.C. D.2．已知雙曲線的右焦點為F，關(guān)于原點對稱的兩點A、B分別在雙曲線的左、右兩支上，，且點C在雙曲線上，則雙曲線的離心率為（）A.2 B.C. D.3．拋物線的準(zhǔn)線方程是A. B.C. D.4．若拋物線與直線：相交于兩點，則弦的長為（）A.6 B.8C. D.5．已知點、是雙曲線C：的左、右焦點，P是C左支上一點，若直線的斜率為2，且為直角三角形，則雙曲線C的離心率為()A.2 B.C. D.6．已知橢圓C：的左右焦點為F1，F(xiàn)2，離心率為，過F2的直線l交C與A，B兩點，若△AF1B的周長為，則C的方程為（）A. B.C. D.7．已知，且，則的最大值為（）A. B.C. D.8．為了更好地解決就業(yè)問題，國家在2020年提出了“地攤經(jīng)濟”為響應(yīng)國家號召，有不少地區(qū)出臺了相關(guān)政策去鼓勵“地攤經(jīng)濟”.某攤主2020年4月初向銀行借了免息貸款8000元，用于進貨，因質(zhì)優(yōu)價廉，供不應(yīng)求，據(jù)測算：每月獲得的利潤是該月初投入資金的20%，每月底扣除生活費800元，余款作為資金全部用于下月再進貨，如此繼續(xù)，預(yù)計到2021年3月底該攤主的年所得收入為（）（取，）A.24000元 B.26000元C.30000元 D.32000元9．已知函數(shù)，若對任意的，，且，總有，則的取值范圍是（）A B.C. D.10．?dāng)?shù)列中，，，若，則（）A.2 B.3C.4 D.511．在三棱錐中，點E，F(xiàn)分別是的中點，點G在棱上，且滿足，若，則（）A. B.C. D.12．已知拋物線的焦點為F，且點F與圓上點的距離的最大值為6，則拋物線的準(zhǔn)線方程為（）A. B.C. D.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．在平面直角坐標(biāo)系xOy中，AB是圓O：x2＋y2＝1的直徑，且點A在第一象限；圓O1：(x﹣a)2＋y2＝r2(a＞0)與圓O外離，線段AO1與圓O1交于點M，線段BM與圓O交于點N，且，則a的取值范圍為_______.14．千年一遇對稱日，萬事圓滿在今朝，年月日又是一個難得的“世界完全對稱日”（公歷紀年日期中數(shù)字左右完全對稱的日期）.數(shù)學(xué)上把這樣的對稱自然數(shù)叫回文數(shù)，兩位數(shù)的回文數(shù)共有個（），其中末位是奇數(shù)的又叫做回文奇數(shù)，則在內(nèi)的回文奇數(shù)的個數(shù)為___15．橢圓的弦被點平分，則這條弦所在的直線方程是________16．某校老年、中年和青年教師的人數(shù)見如表，采用分層抽樣的方法調(diào)查教師的身體狀況，在抽取的樣本中，青年教師有人，則該樣本的老年教師人數(shù)為______.類別老年教師中年教師青年教師合計人數(shù)900180016004300三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）如圖，在空間四邊形中，分別是的中點，分別是上的點，滿足.（1）求證：四點共面；（2）設(shè)與交于點，求證：三點共線.18．（12分）已知橢圓的離心率為，過左焦點且垂直于長軸的弦長為.（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）點為橢圓的長軸上的一個動點，過點且斜率為的直線交橢圓于兩點，證明為定值.19．（12分）已知函數(shù)（1）討論函數(shù)的單調(diào)性；（2）證明：對任意正整數(shù)n，20．（12分）已知數(shù)列{an}的前n項和為Sn，.（1）求數(shù)列{an}通項公式；（2）求數(shù)列的前n項和，求使不等式成立的最大整數(shù)m的值.21．（12分）已知橢圓：的左、右焦點分別為，，離心率等于，點，且的面積等于（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）已知斜率存在且不為0的直線與橢圓交于A，B兩點，當(dāng)點A關(guān)于y軸的對稱點在直線PB上時，直線是否過定點?若過定點，求出此定點；若不過，請說明理由22．（10分）已知數(shù)列的前n項和為,且,,數(shù)列滿足，.(1)求和的通項公式；(2)求數(shù)列{}的前n項和.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、D【解析】根據(jù)空間中射影的定義即可得到答案.【詳解】因為點是點在坐標(biāo)平面內(nèi)的射影，所以的豎坐標(biāo)為0，橫、縱坐標(biāo)與A點的橫、縱坐標(biāo)相同，所以點的坐標(biāo)為.故選：D2、D【解析】設(shè)，由，得到四邊形是矩形，在中，利用勾股定理求得，再在中，利用勾股定理求解.【詳解】如圖所示：設(shè)，則，，，因為，所以，則四邊形是矩形，在中，，即，解得，在中，，即，解得，故選：D3、C【解析】根據(jù)拋物線的概念，可得準(zhǔn)線方程為4、B【解析】由題得拋物線的焦點坐標(biāo)為剛好在直線上，再聯(lián)立直線和拋物線的方程，利用韋達定理和拋物線的定義求解.【詳解】解：由題得.由題得拋物線的焦點坐標(biāo)為剛好在直線上，設(shè)，聯(lián)立直線和拋物線方程得,所以.所以.故選：B5、B【解析】根據(jù)雙曲線的定義和勾股定理利用即可得離心率.【詳解】∵直線的斜率為2，為直角三角形，∴，又，∴，.∵，即，∴故選：B.6、A【解析】根據(jù)橢圓的定義可得△AF1B的周長為4a，由題意求出a，結(jié)合離心率計算即可求出c，再求出b即可.【詳解】由橢圓的定義知，△AF1B的周長為，又△AF1B的周長為4，則，，，，，所以方程為，故選：A.7、A【解析】由基本不等式直接求解即可得到結(jié)果.【詳解】由基本不等式知；（當(dāng)且僅當(dāng)時取等號），的最大值為.故選：A.8、D【解析】設(shè)，從4月份起每月底用于下月進借貨的資金依次記為，由題意得出的遞推關(guān)系，變形構(gòu)造出等比數(shù)列，由得其通項公式后可得結(jié)論【詳解】設(shè)，從4月份起每月底用于下月進借貨的資金依次記為，，、同理可得，所以，而，所以數(shù)列是等比數(shù)列，公比為，所以，，總利潤為故選：D【點睛】思路點睛：本題考查數(shù)列的實際應(yīng)用．解題方法是用數(shù)列表示月初進貨款，得出遞推關(guān)系，然后構(gòu)造等比數(shù)列求解9、B【解析】根據(jù)函數(shù)單調(diào)性定義、二次函數(shù)性質(zhì)及對稱軸方程，即可求解參數(shù)取值范圍.【詳解】依題意可得，在上為減函數(shù)，則，即的取值范圍是故選：B【點睛】本題考查函數(shù)單調(diào)性定義，二次函數(shù)性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題.10、C【解析】由已知得數(shù)列是以2為首項，以2為公比的等比數(shù)列，求出，再利用等比數(shù)列求和可得答案.【詳解】∵，∴，所以，數(shù)列是以2為首項，以2為公比的等比數(shù)列，則，∴，∴，則，解得.故選：C.11、B【解析】利用空間向量的加、減運算即可求解.【詳解】由題意可得故選：B.12、D【解析】先求得拋物線的焦點坐標(biāo)，再根據(jù)點F與圓上點的距離的最大值為6求解.【詳解】因為拋物線的焦點為F，且點F與圓上點的距離的最大值為6，所以，解得，所以拋物線準(zhǔn)線方程為，故選：D二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】根據(jù)判斷出四邊形為平行四邊形，由此求得圓的方程以及的長，進而判斷出點在圓上，根據(jù)圓與圓的位置關(guān)系，求得的取值范圍.【詳解】四邊形ONO1M為平行四邊形，即ON＝MO1＝r＝1，所以圓的方程為，且ON為△ABM的中位線AM＝2ON＝2AO1＝3，故點A在以O(shè)1為圓心，3為半徑的圓上，該圓的方程為：，故與x2＋y2＝1在第一象限有交點，即2＜a＜4，由，解得，故a的取值范圍為(，4).故答案為：【點睛】本小題主要考查圓與圓的位置關(guān)系，考查化歸與轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想方法，考查數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想方法，屬于難題.14、【解析】根據(jù)分類加法計數(shù)原理，結(jié)合題中定義、組合的定義進行求解即可.【詳解】兩位數(shù)的回文奇數(shù)有，共個，三位數(shù)的回文奇數(shù)有，四位數(shù)的回文奇數(shù)有，所以在內(nèi)的回文奇數(shù)的個數(shù)為，故答案為：15、2x＋4y－3＝0【解析】設(shè)弦端點為，又A，B在橢圓上，、即直線AB的斜率為直線AB的方程為，.16、【解析】由題意，總體中青年教師與老年教師比例為；設(shè)樣本中老年教師的人數(shù)為x，由分層抽樣的性質(zhì)可得總體與樣本中青年教師與老年教師的比例相等，即，解得.故答案為.考點：分層抽樣.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）證明見解析（2）證明見解析【解析】【小問1詳解】連接AC，分別是的中點，.在中，，所以四點共面.【小問2詳解】，所以，又平面平面，同理平面，為平面與平面的一個公共點.又平面平面，即三點共線.18、(1)；(2)證明見解析.【解析】(1)借助題設(shè)條件建立方程組求解；(2)依據(jù)題設(shè)運用直線與橢圓的位置關(guān)系探求.試題解析：（1）由，可得橢圓方程.（2）設(shè)的方程為，代入并整理得：.設(shè)，，則，同理則.所以，是定值.考點：橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程幾何性質(zhì)及直線與橢圓的位置關(guān)系等有關(guān)知識的綜合運用【易錯點晴】本題考查的是橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程等基礎(chǔ)知識及直線與橢圓的位置關(guān)系等知識的綜合性問題.解答本題的第一問時,直接依據(jù)題設(shè)條件運用橢圓的幾何性質(zhì)和橢圓的有關(guān)概念建立方程組,進而求得橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為；第二問的求解過程中,先設(shè)直線的方程為,再借助二次方程中根與系數(shù)之間的關(guān)系，依據(jù)坐標(biāo)之間的關(guān)系進行計算探求，從而使得問題獲解.19、（1）見解析（2）見解析【解析】(1)由，令，得，或，又的定義域為，討論兩個根及的大小關(guān)系，即可判定函數(shù)的單調(diào)性；(2)當(dāng)時，在，上遞減，則，即，由此能夠證明【小問1詳解】的定義域為，，令，得，或，①當(dāng)，即時，若，則，遞增；若，則，遞減；②當(dāng)，即時，若，則，遞減；若，則，遞增；若，則，遞減；綜上所述，當(dāng)－2＜a＜0時，f(x)在，單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增；當(dāng)a≥0時，f(x)在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減.【小問2詳解】由(2)知當(dāng)時，在，上遞減，，即，，，，2，3，，，，【點睛】本題考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，本題的關(guān)鍵是令a＝1，用已知函數(shù)的單調(diào)性構(gòu)造，再令x＝恰當(dāng)?shù)乩脤?shù)求和進行解題20、（1）；（2）.【解析】（1）根據(jù)給定的遞推公式變形，再構(gòu)造常數(shù)列求解作答.（2）利用（1）的結(jié)論求出，再利用裂項相消法求和，由單調(diào)性求出最大整數(shù)m值作答.【小問1詳解】依題意，，當(dāng)時，，兩式相減得：，即，整理得：，于是得，所以數(shù)列{an}的通項公式是.【小問2詳解】由（1）得，，數(shù)列是遞增數(shù)列，因此，，于是有，則，不等式成立，則，，于是得，所以使不等式成立的最大整數(shù)m的值是505.【點睛】思路點睛：使用裂項法求和時，要注意正負項相消時消去了哪些項，保留了哪些項，切不可漏寫未被消去的項，未被消去的項有前后對稱的特點，實質(zhì)上造成正負相消是此法的根源與目的21、（1）（2）【解析】（1）用待定系數(shù)法求出橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）設(shè)直線的方程為,設(shè)，用“設(shè)而不求法”表示出和.表示出直線PB，把A關(guān)于y軸的對稱點為帶入后整理化簡，即可得到，從而可以判斷出直線恒過定點.【小問1詳解】由題意可得：，解得：，所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為：.【小問2詳解】由題意可知,直線的斜率存在且不為0,設(shè)直線的方程為,設(shè)設(shè)點A關(guān)于y軸的對稱點為.聯(lián)立方程組，消去y可得：,所以.因為直線PB的方程為,且點D在直線PB上,所以則，所以，則,故，因為k≠0,所以，則直線l的方程為，所以直線恒過定點.22、（1）；；（2）【解析】（1）求數(shù)列的通項公式主要利用求解，分情況求解后要驗證是否滿足的通項公式，將求得的代入整理即可得到的通項公式；（2）整理數(shù)列的通項公式得，依據(jù)特點采用錯