廣東省深圳市2024屆高二上數(shù)學(xué)期末經(jīng)典模擬試題含解析

廣東省深圳市2024屆高二上數(shù)學(xué)期末經(jīng)典模擬試題注意事項(xiàng)1．考生要認(rèn)真填寫考場(chǎng)號(hào)和座位序號(hào)。2．試題所有答案必須填涂或書(shū)寫在答題卡上，在試卷上作答無(wú)效。第一部分必須用2B鉛筆作答；第二部分必須用黑色字跡的簽字筆作答。3．考試結(jié)束后，考生須將試卷和答題卡放在桌面上，待監(jiān)考員收回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．據(jù)記載，歐拉公式是由瑞士著名數(shù)學(xué)家歐拉發(fā)現(xiàn)的，該公式被譽(yù)為“數(shù)學(xué)中的天橋”特別是當(dāng)時(shí)，得到一個(gè)令人著迷的優(yōu)美恒等式，將數(shù)學(xué)中五個(gè)重要的數(shù)（自然對(duì)數(shù)的底，圓周率，虛數(shù)單位，自然數(shù)的單位和零元）聯(lián)系到了一起，有些數(shù)學(xué)家評(píng)價(jià)它是“最完美的數(shù)學(xué)公式”.根據(jù)歐拉公式，復(fù)數(shù)的虛部（）A. B.C. D.2．若拋物線焦點(diǎn)與橢圓的右焦點(diǎn)重合，則的值為A. B.C. D.3．如圖，在三棱錐中，是線段的中點(diǎn)，則（）A. B.C. D.4．已知直線與直線垂直，則實(shí)數(shù)a為（）A. B.或C. D.或5．甲，乙、丙、丁、戊共5人隨機(jī)地排成一行，則甲、乙相鄰，丙、丁不相鄰的概率為（）A. B.C. D.6．已知命題：；：若，則，則下列判斷正確的是（）A.為真，為真，為假 B.為真，為假，為真C.為假，為假，為假 D.為真，為假，為假7．設(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，拋物線的焦點(diǎn)為，為拋物線上一點(diǎn)．若，則的面積為（）A. B.C. D.8．如圖，直四棱柱的底面是菱形，，，M是的中點(diǎn)，則異面直線與所成角的余弦值為（）A. B.C. D.9．曲線的離心率為（）A. B.C. D.10．已知命題“若，則”，命題“若，則”，則下列命題中為真命題的是（）A. B.C. D.11．已知等比數(shù)列的前項(xiàng)和為，公比為，則（）A. B.C. D.12．已知拋物線C：的焦點(diǎn)為F，過(guò)點(diǎn)P（-1，0）且斜率為的直線l與拋物線C相交于A，B兩點(diǎn)，則（）A. B.14C. D.15二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．函數(shù)在點(diǎn)處的切線方程是_________14．若實(shí)數(shù)x，y滿足約束條件，則的最大值是_________.15．橢圓（a＞b＞0）的左、右頂點(diǎn)分別是A,B,左、右焦點(diǎn)分別是F1，F(xiàn)2．若|AF1|，|F1F2|，|F1B|成等比數(shù)列，則此橢圓的離心率為_(kāi)__________16．古希臘著名數(shù)學(xué)家阿波羅尼斯與歐幾里得、阿基米德齊名.他發(fā)現(xiàn)：“平面內(nèi)到兩個(gè)定點(diǎn)A、B的距離之比為定值（且）的點(diǎn)的軌跡是圓”.后來(lái)人們將這個(gè)圓以他的名字命名，稱為阿波羅尼斯圓，簡(jiǎn)稱阿氏圓，在平面直角坐標(biāo)系中，，，點(diǎn)滿足，則點(diǎn)P的軌跡方程為_(kāi)_________.（答案寫成標(biāo)準(zhǔn)方程），的最小值為_(kāi)__________.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17．（12分）在數(shù)列中，，，(1)設(shè)，證明：數(shù)列是等差數(shù)列；(2)求數(shù)列的前項(xiàng)和.18．（12分）在等差數(shù)列中，記為數(shù)列的前項(xiàng)和，已知：.（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）求使成立的的值.19．（12分）在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)到兩點(diǎn)的距離之和等于4，設(shè)點(diǎn)的軌跡為曲線（1）求曲線的方程；（2）設(shè)直線與交于兩點(diǎn)，為何值時(shí)？20．（12分）已知集合，.（1）當(dāng)時(shí)，求AB；（2）設(shè)，，若是成立的充分不必要條件，求實(shí)數(shù)的取值范圍.21．（12分）已知橢圓的左，右頂點(diǎn)分別是，，且，是橢圓上異于，的不同的兩點(diǎn)（1）若，證明：直線必過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)；（2）設(shè)點(diǎn)是以為直徑的圓和以為直徑的圓的另一個(gè)交點(diǎn)，記線段的中點(diǎn)為，若，求動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程22．（10分）計(jì)算：（1）求函數(shù)（a，b為正常數(shù)）的導(dǎo)數(shù)（2）已知點(diǎn)P在曲線上，為曲線在點(diǎn)P處的切線的傾斜角，則的取值范圍

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、D【解析】由歐拉公式的定義和復(fù)數(shù)的概念進(jìn)行求解.【詳解】由題意，得，則復(fù)數(shù)的虛部為.故選：D.2、D【解析】解：橢圓的右焦點(diǎn)為(2,0)，所以拋物線的焦點(diǎn)為(2,0)，則，故選D3、A【解析】根據(jù)給定幾何體利用空間向量基底結(jié)合向量運(yùn)算計(jì)算作答.【詳解】在三棱錐中，是線段的中點(diǎn)，所以：.故選：A4、B【解析】由題可得，即得.【詳解】∵直線與直線垂直，∴，解得或.故選：B.5、A【解析】先求出所有的基本事件，再求出甲、乙相鄰，丙、丁不相鄰的基本事件，根據(jù)古典概型的概率公式求解即可【詳解】甲，乙、丙、丁、戊共5人隨機(jī)地排成一行有種方法，甲、乙相鄰，丙、丁不相鄰的排法為先將甲、乙捆綁在一起，再與戊進(jìn)行排列，然后丙、丁從3個(gè)空中選2個(gè)空插入，則共有種方法，所以甲、乙相鄰，丙、丁不相鄰的概率為，故選：A6、D【解析】先判斷出命題，的真假，即可判斷.【詳解】因?yàn)槌闪?，所以命題為真，由可得或，所以命題為假命題，所以為真，為假，為假.故選：D.7、D【解析】先由拋物線方程求出點(diǎn)的坐標(biāo)，準(zhǔn)線方程為，再由可求得點(diǎn)的橫坐標(biāo)為4，從而可求出點(diǎn)的縱坐標(biāo)，進(jìn)而可求出的面積【詳解】由題意可得點(diǎn)的坐標(biāo)，準(zhǔn)線方程為，因?yàn)闉閽佄锞€上一點(diǎn)，，所以點(diǎn)的橫坐標(biāo)為4，當(dāng)時(shí)，，所以，所以的面積為，故選：D8、D【解析】用向量分別表示,利用向量的夾角公式即可求解.【詳解】由題意可得，故選：D【點(diǎn)睛】本題主要考查用向量的夾角公式求異面直線所成的角，屬于基礎(chǔ)題.9、C【解析】由曲線方程直接求離心率即可.【詳解】由題設(shè)，，，∴離心率.故選：C.10、D【解析】利用指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性可判斷命題的真假，利用特殊值法可判斷命題的真假，結(jié)合復(fù)合命題的真假可判斷出各選項(xiàng)中命題的真假.【詳解】對(duì)于命題，由于函數(shù)為上的增函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，命題為真命題；對(duì)于命題，若，取，，則，命題為假命題.所以，、、均為假命題，為真命題.故選：D.【點(diǎn)睛】本題考查簡(jiǎn)單命題和復(fù)合命題真假的判斷，考查推理能力，屬于基礎(chǔ)題.11、D【解析】利用等比數(shù)列的求和公式可求得的值.【詳解】由等比數(shù)列的求和公式可得，解得.故選：D.12、C【解析】設(shè)A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為，，根據(jù)拋物線的定義求出，然后將直線的方程代入拋物線方程并化簡(jiǎn)，進(jìn)而結(jié)合根與系數(shù)的關(guān)系求得答案.【詳解】設(shè)A、B兩點(diǎn)坐標(biāo)分別為，，直線的方程為，拋物線的準(zhǔn)線方程為：，由拋物線定義可知：.聯(lián)立方程，消去y后整理為，可得，，.故選：C.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】求得函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，得到且，再結(jié)合直線的點(diǎn)斜式，即可求解.【詳解】由題意，函數(shù)，可得，則且，所以在點(diǎn)處切線方程是，即故答案為：.14、##【解析】畫(huà)出可行域，通過(guò)平移基準(zhǔn)直線到可行域邊界位置，由此求得的最大值.【詳解】，畫(huà)出可行域如下圖所示，由圖可知，平移基準(zhǔn)直線到點(diǎn)時(shí)，取得最大值為.故答案為：15、【解析】本題著重考查等比中項(xiàng)的性質(zhì)，以及橢圓的離心率等幾何性質(zhì)，同時(shí)考查了函數(shù)與方程，轉(zhuǎn)化與化歸思想.利用橢圓及等比數(shù)列的性質(zhì)解題.由橢圓的性質(zhì)可知：，，.又已知，，成等比數(shù)列，故，即，則.故.即橢圓的離心率為.【點(diǎn)評(píng)】求雙曲線的離心率一般是通過(guò)已知條件建立有關(guān)的方程，然后化為有關(guān)的齊次式方程，進(jìn)而轉(zhuǎn)化為只含有離心率的方程，從而求解方程即可.體現(xiàn)考綱中要求掌握橢圓的基本性質(zhì).來(lái)年需要注意橢圓的長(zhǎng)軸，短軸長(zhǎng)及其標(biāo)準(zhǔn)方程的求解等.16、①.②.【解析】設(shè)點(diǎn)P坐標(biāo)，然后用直接法可求；根據(jù)軌跡方程和數(shù)量積的坐標(biāo)表示對(duì)化簡(jiǎn)，結(jié)合軌跡方程可得x的范圍，然后可解.【詳解】設(shè)P點(diǎn)坐標(biāo)為，則由，得，化簡(jiǎn)得，即.因?yàn)?，所以因?yàn)辄c(diǎn)P在圓上，故所以，故的最小值為.故答案為：，三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17、（1）略（2）【解析】（1）題中條件，而要證明的是數(shù)列是等差數(shù)列，因此需將條件中所給的的遞推公式轉(zhuǎn)化為的遞推公式：，從而，，進(jìn)而得證；（2）由（1）可得，，因此數(shù)列的通項(xiàng)公式可以看成一個(gè)等差數(shù)列與等比數(shù)列的乘積，故可考慮采用錯(cuò)位相減法求其前項(xiàng)和，即有：①，①得：②，②-①得.試題解析：（1）∵，，又∵，∴，，∴則是為首項(xiàng)為公差的等差數(shù)列；由（1）得，∴，∴①，①得：②，②-①得.考點(diǎn)：1.數(shù)列的通項(xiàng)公式；2.錯(cuò)位相減法求數(shù)列的和.18、（1）；（2）或.【解析】(1)根據(jù)給定條件求出數(shù)列的公差及首項(xiàng)即可計(jì)算作答.(2)由(1)求出，建立方程求解作答.【小問(wèn)1詳解】設(shè)等差數(shù)列公差為，因，則，解得，于是得，所以數(shù)列的通項(xiàng)公式為：.【小問(wèn)2詳解】由(1)知，，由得：，即，解得或，所以使成立的的值是或.19、（1）；（2）.【解析】（1）由題意可得：點(diǎn)的軌跡為橢圓，設(shè)標(biāo)準(zhǔn)方程為：，則，，，解出可得橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程（2）設(shè)，，直線方程與橢圓聯(lián)立，化為：，恒成立，由，可得，把根與系數(shù)的關(guān)系代入解得【詳解】解：（1）由題意可得：點(diǎn)的軌跡為橢圓，設(shè)標(biāo)準(zhǔn)方程為：，則，，，可得橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為：（2）設(shè)，，聯(lián)立，化為：，恒成立，，，，，，解得．滿足當(dāng)時(shí)，能使【點(diǎn)睛】本題考查了橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程及其性質(zhì)、直線與橢圓相交弦長(zhǎng)問(wèn)題、數(shù)量積運(yùn)算性質(zhì)、一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于難題20、（1）；（2）.【解析】（1）由，解得范圍，可得，由可得：，解得．即可得出（2）由，解得．根據(jù)是成立的必要條件，利用包含關(guān)系列不等式即可得出實(shí)數(shù)的取值范圍【詳解】（1）由，解得，可得：，可得：，化為：，解得，所以=.（2）q是p成立的充分不必要條件，所以集合B是集合A的真子集.由，解得，又集合A=，所以或解得0≤a≤2，即實(shí)數(shù)a的取值范圍是.【點(diǎn)睛】本題考查了簡(jiǎn)易邏輯的判定方法、集合之間的關(guān)系、不等式的解法，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題21、（1）證明見(jiàn)解析；（2）.【解析】（1）設(shè)，首先證明，從而可得到，即得到；進(jìn)而可得到四邊形為平行四邊形；再根據(jù)為的中點(diǎn)，即可證明直線必過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)（2）設(shè)出直線的方程，與橢圓方程聯(lián)立，消元，寫韋達(dá)；根據(jù)條件可求出直線MN過(guò)定點(diǎn)，從而可得到過(guò)定點(diǎn)，進(jìn)而可得到點(diǎn)在以為直徑的圓上運(yùn)動(dòng)，從而可求出動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程【小問(wèn)1詳解】設(shè)，則，即因?yàn)?，，所以因?yàn)?，所以，所?同理可證.因?yàn)?，，所以四邊形為平行四邊形，因?yàn)闉榈闹悬c(diǎn)，所以直線必過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)【小問(wèn)2詳解】當(dāng)直線的斜率存在時(shí)，設(shè)直線的方程為，，聯(lián)立，整理得，則，，.因?yàn)?，所以，因?yàn)?，解得?當(dāng)時(shí)，直線的方程為過(guò)點(diǎn)A，不滿足題意，所以舍去；所以直線的方程為，所以直線過(guò)定點(diǎn).當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)，因?yàn)?，所以直線的方程為，經(jīng)驗(yàn)證，符合題意.故直線過(guò)定點(diǎn).因?yàn)闉榈闹悬c(diǎn)，為的中點(diǎn)