廣東省肇慶市百花中學2023-2024學年數(shù)學高二上期末監(jiān)測試題含解析

廣東省肇慶市百花中學2023-2024學年數(shù)學高二上期末監(jiān)測試題注意事項：1．答卷前，考生務必將自己的姓名、準考證號填寫在答題卡上。2．回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑，如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其它答案標號。回答非選擇題時，將答案寫在答題卡上，寫在本試卷上無效。3．考試結束后，將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．設等比數(shù)列的前項和為，且，則（）A. B.C. D.2．設實數(shù)x，y滿足，則目標函數(shù)的最大值是（）A. B.C.16 D.323．已知，，若，則實數(shù)的值為（）A. B.C. D.24．設，則當數(shù)列{an}的前n項和取得最小值時，n的值為（）A.4 B.5C.4或5 D.5或65．從裝有2個紅球和2個白球的口袋內任取兩個球，則下列選項中的兩個事件為互斥事件的是（）A.至多有1個白球；都是紅球 B.至少有1個白球；至少有1個紅球C.恰好有1個白球；都是紅球 D.至多有1個白球；至多有1個紅球6．過點且與直線垂直的直線方程是（）A. B.C. D.7．在等差數(shù)列中，為其前項和，若．則（）A. B.C. D.8．若動點在方程所表示的曲線上，則以下結論正確的是（）①曲線關于原點成中心對稱圖形；②動點到坐標原點的距離的取值范圍為；③動點與點的最小距離為；④動點與點的連線斜率的取值范圍是.A.①② B.①②③C.③④ D.①②④9．函數(shù)的導函數(shù)的圖像如圖所示，則（）A.為的極大值點B.為的極大值點C.為的極大值點D.為的極小值點10．一質點的運動方程為（位移單位：m，時間單位：s），則該質點在時的瞬時速度為（）A.4 B.12C.15 D.2111．對任意實數(shù)k，直線與圓的位置關系是（）A.相交 B.相切C.相離 D.與k有關12．阿基米德是古希臘著名的數(shù)學家、物理學家，他利用“逼近法”得到橢圓的面積除以圓周率等于橢圓的長半軸長與短半軸長的乘積，已知在平面直角坐標系中，橢圓的面積為，兩焦點與短軸的一個端點構成等邊三角形，則橢圓的標準方程是（）A. B.C. D.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．直線l過拋物線的焦點F，與拋物線交于A，B兩點，與其準線交于點C，若，則直線l的斜率為______.14．《周髀算經(jīng)》是中國最古老的天文學和數(shù)學著作，書中提到：從冬至之日起，小寒、大寒、立春、雨水、驚蟄、春分、清明、谷雨、立夏、小滿、芒種這十二個節(jié)氣的日影子長依次成等差數(shù)列，若冬至、立春、春分的日影子長的和是37.5尺，芒種的日影子長為4.5尺，則立夏的日影子長為___________尺.15．已知數(shù)列的前項和為，且滿足，，則___________.16．如圖，在棱長為2的正方體中，點分別是棱的中點，是側面正方形內一點（含邊界），若平面，則線段長度的取值范圍是__________三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）等比數(shù)列中，，（1）求的通項公式；（2）記為的前n項和．若，求m的值18．（12分）已知圓C的圓心在直線上，且過點，（1）求圓C的方程；（2）若圓C與直線交于A，B兩點，______，求m的值從下列三個條件中任選一個補充在上面問題中并作答：條件①：；條件②：圓上一點P到直線的最大距離為；條件③：19．（12分）已知橢圓：的長軸長為6，離心率為，長軸的左，右頂點分別為A，B（1）求橢圓的方程；（2）已知過點的直線交橢圓于M、N兩個不同的點，直線AM，AN分別交軸于點S、T，記，（為坐標原點），當直線的傾斜角為銳角時，求的取值范圍20．（12分）現(xiàn)將兩個班的藝術類考生報名表分別裝進2個檔案袋，第一個檔案袋內有6名男生和4名女生的報名表，第二個檔案袋內有5名男生和5名女生的報名表．隨機選擇一個檔案袋，然后從中隨機抽取2份報名表（1）若選擇的是第一個檔案袋，求從中抽到兩名男生報名表的概率；（2）求抽取的報名表是一名男生一名女生的概率21．（12分）已知為各項均為正數(shù)的等比數(shù)列，且，.（1）求數(shù)列的通項公式；（2）令，求數(shù)列前n項和.22．（10分）已知函數(shù)，記f（x）的導數(shù)為f′（x）．若曲線f（x）在點（1，f（1））處的切線斜率為﹣3，且x＝2時y＝f（x）有極值，（Ⅰ）求函數(shù)f（x）的解析式；（Ⅱ）求函數(shù)f（x）在[﹣1，1]上的最大值和最小值

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、C【解析】根據(jù)給定條件求出等比數(shù)列公比q的關系，再利用前n項和公式計算得解.【詳解】設等比數(shù)列的的公比為q，由得：，解得，所以.故選：C2、C【解析】求的最大值即求的最大值，根據(jù)約束條件畫出可行域，將目標函數(shù)看成直線，直線經(jīng)過可行域內的點，將目標與直線的截距建立聯(lián)系，然后得到何時目標值取得要求的最值，進而求得的最大值，最后求出的最大值.【詳解】要求的最大值即求的最大值.根據(jù)實數(shù)，滿足的條件作出可行域，如圖.將目標函數(shù)化為.則表示直線在軸上的截距的相反數(shù).要求的最大值，即求直線在軸上的截距最小值.如圖當直線過點時，在軸上的截距最小值.由，解得所以的最大值為，則的最大值為16.故選：C.3、D【解析】由，然后根據(jù)向量數(shù)量積的坐標運算即可求解.【詳解】解：因，，所以，因為，所以，即，解得，故選：D.4、A【解析】結合等差數(shù)列的性質得到，解不等式組即可求出結果.【詳解】由，即，解得，因為,故.故選：A.5、C【解析】根據(jù)試驗過程進行分析，利用互斥事件的定義對四個選項一一判斷即可.【詳解】對于A：“至多有1個白球”包含都是紅球和一紅一白，“都是紅球”包含都是紅球，所以“至多有1個白球”與“都是紅球”不是互斥事件.故A錯誤；對于B：“至少有1個白球”包含都是白球和一紅一白，“至少有1個紅球”包含都是紅球和一紅一白，所以“至少有1個白球”與“至少有1個紅球”不是互斥事件.故B錯誤；對于C：“恰好有1個白球”包含一紅一白，“都是紅球”包含都是紅球，所以“恰好有1個白球”與“都是紅球”是互斥事件.故C錯誤；對于D：“至多有1個紅球”包含都是白球和一紅一白，“至多有1個白球”包含都是紅球和一紅一白，所以“至多有1個白球”與“至多有1個紅球”不是互斥事件.故D錯誤.故選：C6、C【解析】根據(jù)兩直線垂直時斜率乘積為，可以直接求出所求直線的斜率，再根據(jù)點斜式求出直線方程，最后化成一般式方程即可.【詳解】因為直線的斜率為，故所求直線的斜率等于，所求直線的方程為，即，故選：C7、C【解析】利用等差數(shù)列的性質和求和公式可求得的值.【詳解】由等差數(shù)列的性質和求和公式可得.故選：C.8、A【解析】將原方程等價變形為，將方程中的換為，換為，方程不變，可判斷①；利用兩點間的距離公式，結合二次函數(shù)知識可判斷②和③；取特殊點可判斷④.【詳解】因為等價于，即，對于①，將方程中的換為，換為，方程不變，所以曲線關于原點成中心對稱圖形，故①正確；對于②，設，則動點到坐標原點的距離，因為，所以，故②正確；對于③，設，動點與點的距離為，因為函數(shù)在上遞減，所以當時，函數(shù)取得最小值，從而取得最小值，故③不正確；對于④，當時，因為，所以，故④不正確.綜上所述：結論正確的是：①②.故選：A9、A【解析】由導函數(shù)的圖像可得函數(shù)的單調區(qū)間，從而可求得函數(shù)的極值【詳解】由的圖像可知，在和上單調遞減，在和上單調遞增，所以為的極大值點，和為的極小值點，不是函數(shù)的極值點，故選：A10、B【解析】由瞬時變化率的定義，代入公式求解計算.【詳解】由題意，該質點在時的瞬時速度為.故選：B11、A【解析】判斷直線恒過定點，可知定點在圓內，即可判斷直線與圓的位置關系.【詳解】由可知，即該圓的圓心坐標為，半徑為,由可知，則該直線恒過定點，將點代入圓的方程可得，則點在圓內，則直線與圓的位置關系為相交.故選：.12、A【解析】由橢圓的面積為和兩焦點與短軸的一個端點構成等邊三角形，得到求解.【詳解】由題意得，解得，所以橢圓的標準方程是.故選：A二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】由拋物線方程求出焦點坐標與準線方程，設直線為，、，即可得到的坐標，再聯(lián)立直線與拋物線方程，消元列出韋達定理，表示出、的坐標，根據(jù)得到方程，求出，即可得解；【詳解】解：拋物線方程為，則焦點，準線為，設直線為，、，則，由，消去得，所以，，則，，因為，所以，所以，所以，解得，所以，即直線為，所以直線的斜率為；故答案為：14、【解析】利用等差數(shù)列的通項公式求出首項和公差，然后求出其中某一項.【詳解】解：由題意得從冬至之日起，小寒、大寒、立春、雨水、驚蟄、春分、清明、谷雨、立夏、小滿、芒種這十二個節(jié)氣的日影子長依次成等差數(shù)列，設其公差為，解得故立夏的日影子長為尺.故答案為：15、【解析】當時，，可得，可得數(shù)列隔項成等比數(shù)列，即所以數(shù)列的奇數(shù)項和偶數(shù)項分別是等比數(shù)列，分別求和，即可得解.【詳解】因為，，所以，當時，，∴，所以數(shù)列的奇數(shù)項和偶數(shù)項分別是等比數(shù)列，所以.故答案為：.16、【解析】取的中點G，連接FG，BG，F(xiàn)B，由正方體的幾何特征，易證平面AEC//平面BFG，再根據(jù)是側面內一點（含邊界），且平面，得到點P在線段BG上運動，然后在等腰中求解.【詳解】如圖所示：取的中點G，連接FG，BG，F(xiàn)B，在正方體中，易得又因為平面BFG，平面BFG，所以平面BFG，同理證得平面BFG，又因為，所以平面AEC//平面BFG，因為是側面內一點（含邊界），且平面，所以點P線段BG上運動，如圖所示：在等腰中，作，且，所以，設點F到線段BG的距離為d，由等面積法得，解得，所以線段長度的取值范圍是，故答案為：三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）或；（2）5.【解析】（1）設的公比為q，解方程即得解；（2）分兩種情況解方程即得解.【小問1詳解】解：設的公比為q，由題設得由已知得，解得（舍去），或故或【小問2詳解】解：若，則由，得，解得若，則由，得，因為，所以此方程沒有正整數(shù)解綜上，18、（1）（2）【解析】（1）根據(jù)圓心在過點，的線段的中垂線上，同時圓心圓心在直線上，可求出圓心的坐標，進而求得半徑，最后求出其標準方程；（2）選①利用用垂徑定理可求得答案，選②根據(jù)圓上一點P到直線的最大距離為可求得答案，選③先利用向量的數(shù)量積可求得，解法就和選①時相同.【小問1詳解】由題意可知，圓心在點的中垂線上，該中垂線的方程為，于是，由，解得圓心，圓C的半徑所以，圓C的方程為；【小問2詳解】①，因為，，所以圓心C到直線l的距離，則，解得，②，圓上一點P到直線的最大距離為，可知圓心C到直線l的距離則，解得，③，因為，所以，得，又，所以圓心C到直線l的距離，則，解得19、（1）（2）【解析】（1）根據(jù)橢圓的長軸和離心率，可求得，進而得橢圓方程；（2）先判斷直線斜率為正，然后設出直線方程，和橢圓方程聯(lián)立，整理得根與系數(shù)的關系，利用直線方程求出點S、T的坐標，再根據(jù)確定的表達式，將根與系數(shù)的關系式代入化簡，求得結果.【小問1詳解】由題意可得：解得：，所以橢圓的方程：【小問2詳解】當直線l的傾斜角為銳角時，設，設直線，由得，從而，又，得，所以，又直線的方程是：，令，解得，所以點S為；直線的方程是：，同理點T為·所以，因為，所以，所以∵，∴，綜上，所以的范圍是20、（1）；（2）.【解析】（1）選擇的是第一個檔案袋，從中隨機抽取2份報名表，基本事件總數(shù)，從中抽到兩名男生報名表包含的基本事件個數(shù)為，由此能求出從中抽到兩名男生報名表的概率；（2）設事件表示抽取到第個檔案袋，，設事件表示抽取的報名表是一名男生一名女生，利用全概率公式能求出抽取的報名表是一名男生一名女生的概率【小問1詳解】（1）第一個檔案袋內有6名男生和4名女生的報名表，選擇的是第一個檔案袋，從中隨機抽取2份報名表，基本事件總數(shù)，從中抽到兩名男生報名表包含的基本事件個數(shù)為，從中抽到兩名男生報名表的概率【小問2詳解】設事件表示抽取到第個檔案袋，，設事件表示抽取的報名表是一名男生一名女生，則，，，，抽取的報名表是一名男生一名女生的概率為：21、（1）；（2）.【解析】（1）先通過等比數(shù)列的基本量運算求出公比，進而求出通項公式；（2）結合（1）求出，然后根據(jù)錯位相減法求得答案.【小問1詳解】設等比數(shù)列公比為q,,,，（負值舍去），所以.【小問2詳解】，，所以，解得：.22、（Ⅰ）f（x）＝x3﹣3x2+1；（Ⅱ）最大值為1，最小值為﹣3【解析】（Ⅰ）求導可得f′（x）的解析式，根據(jù)導數(shù)的幾何意義，可得k=f′（1）=-3，又在x＝2處有極值，所以f′（2）＝0，即可求得a，b的值，即可得答案；（Ⅱ）由（Ⅰ）可得f′（x）的解析式，令f′（x）=0，解得x＝0或x＝2，討論f（x）在﹣1＜x＜0，0＜x＜1上