廣西南寧三中2023-2024學(xué)年高二數(shù)學(xué)第一學(xué)期期末監(jiān)測(cè)試題含解析

廣西南寧三中2023-2024學(xué)年高二數(shù)學(xué)第一學(xué)期期末監(jiān)測(cè)試題注意事項(xiàng)1．考試結(jié)束后，請(qǐng)將本試卷和答題卡一并交回．2．答題前，請(qǐng)務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)用0．5毫米黑色墨水的簽字筆填寫(xiě)在試卷及答題卡的規(guī)定位置．3．請(qǐng)認(rèn)真核對(duì)監(jiān)考員在答題卡上所粘貼的條形碼上的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)與本人是否相符．4．作答選擇題，必須用2B鉛筆將答題卡上對(duì)應(yīng)選項(xiàng)的方框涂滿(mǎn)、涂黑；如需改動(dòng)，請(qǐng)用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案．作答非選擇題，必須用05毫米黑色墨水的簽字筆在答題卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律無(wú)效．5．如需作圖，須用2B鉛筆繪、寫(xiě)清楚，線(xiàn)條、符號(hào)等須加黑、加粗．一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，若，則一定是（）A.等邊三角形 B.等腰三角形C.直角三角形 D.等腰直角三角形2．已知數(shù)列滿(mǎn)足，，則（）A. B.C. D.3．一部影片在4個(gè)單位輪流放映，每個(gè)單位放映一場(chǎng)，不同的放映次序有（）A.種 B.4種C.種 D.種4．若直線(xiàn)：與直線(xiàn)：平行，則a的值是（）A.1 B.C.或6 D.或75．已知是雙曲線(xiàn)的左焦點(diǎn)，圓與雙曲線(xiàn)在第一象限的交點(diǎn)為，若的中點(diǎn)在雙曲線(xiàn)的漸近線(xiàn)上，則此雙曲線(xiàn)的離心率是（）A. B.2C. D.6．?dāng)?shù)列是等比數(shù)列，是其前n項(xiàng)之積，若，則的值是（）A.1024 B.256C.2 D.5127．已知數(shù)列滿(mǎn)足，，數(shù)列的前n項(xiàng)和為，若，，成等差數(shù)列，則n=（）A.6 B.8C.16 D.228．如圖，在直三棱柱中，，，E是的中點(diǎn)，則直線(xiàn)BC與平面所成角的正弦值為（）A. B.C. D.9．在空間直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)關(guān)于軸的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為點(diǎn)，則點(diǎn)到直線(xiàn)的距離為（）A. B.C. D.610．若命題“對(duì)任意，使得成立”是真命題，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（）A. B.C. D.11．已知下列四個(gè)命題，其中正確的是（）A. B.C. D.12．已知，則下列不等式一定成立的是（）A B.C. D.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知函數(shù)，，對(duì)一切，恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍為_(kāi)_______.14．若滿(mǎn)足約束條件，則的最大值為_(kāi)____________15．已知平面和兩條不同的直線(xiàn)，則下列判斷中正確的序號(hào)是___________.①若，則；②若，則；③若，則；④若，則；16．方程的曲線(xiàn)的一條對(duì)稱(chēng)軸是_______，的取值范圍是______.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17．（12分）已知拋物線(xiàn)的焦點(diǎn)為，點(diǎn)在拋物線(xiàn)上，當(dāng)以為始邊，為終邊的角時(shí)，.（1）求的方程（2）過(guò)點(diǎn)的直線(xiàn)交于兩點(diǎn)，以為直徑的圓平行于軸的直線(xiàn)相切于點(diǎn)，線(xiàn)段交于點(diǎn)，求的面積與的面積的比值18．（12分）已知圓C的圓心在直線(xiàn)上，圓心到x軸的距離為2，且截y軸所得弦長(zhǎng)為（1）求圓C的方程；（2）若圓C上至少有三個(gè)不同的點(diǎn)到直線(xiàn)的距離為，求實(shí)數(shù)k的取值范圍19．（12分）在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB⊥AC，AB=AC=2，A1A=4，點(diǎn)D是BC的中點(diǎn)；（I）求異面直線(xiàn)A1B，AC1所成角的余弦值；（II）求直線(xiàn)AB1與平面C1AD所成角的正弦值20．（12分）平面直角坐標(biāo)系xOy中，點(diǎn)，，點(diǎn)M滿(mǎn)足.記M的軌跡為C.（1）說(shuō)明C是什么曲線(xiàn)，并求C的方程；（2）已知經(jīng)過(guò)的直線(xiàn)l與C交于A，B兩點(diǎn)，若，求.21．（12分）如圖，在棱長(zhǎng)為的正方體中，為中點(diǎn)（1）求二面角的大小；（2）探究線(xiàn)段上是否存在點(diǎn)，使得平面？若存在，確定點(diǎn)的位置；若不存在，說(shuō)明理由22．（10分）設(shè)函數(shù)（1）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（2）若有兩個(gè)零點(diǎn)，，求的取值范圍，并證明：

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、B【解析】利用余弦定理化角為邊，從而可得出答案.【詳解】解：因?yàn)?，所以，則，所以，所以是等腰三角形.故選：B.2、A【解析】根據(jù)遞推關(guān)系依次求出即可.【詳解】，，，，，.故選：A.3、C【解析】根據(jù)題意得到一部影片在4個(gè)單位輪流放映，相當(dāng)于四個(gè)單位進(jìn)行全排列，即可得到答案.【詳解】一部影片在4個(gè)單位輪流放映，相當(dāng)于四個(gè)單位進(jìn)行全排列，所以不同的放映次序有種，故選：C4、D【解析】根據(jù)直線(xiàn)平行的充要條件即可求出【詳解】依題意可知，顯然，所以由可得，，解得或7故選：D5、A【解析】根據(jù)雙曲線(xiàn)的幾何性質(zhì)和平面幾何性質(zhì)，建立關(guān)于a,b,c的方程，從而可求得雙曲線(xiàn)的離心率得選項(xiàng).【詳解】由題意可設(shè)右焦點(diǎn)為，因?yàn)?，且圓：，所以點(diǎn)在以焦距為直徑的圓上，則，設(shè)的中點(diǎn)為點(diǎn)，則為的中位線(xiàn)，所以，則，又點(diǎn)在漸近線(xiàn)上，所以，且，則，，所以，所以，則在中，可得，，即，解得，所以，故選：A【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：(1)求雙曲線(xiàn)的離心率時(shí)，將提供的雙曲線(xiàn)的幾何關(guān)系轉(zhuǎn)化為關(guān)于雙曲線(xiàn)基本量的方程或不等式，利用和轉(zhuǎn)化為關(guān)于e的方程或不等式，通過(guò)解方程或不等式求得離心率的值或取值范圍（2）對(duì)于焦點(diǎn)三角形，要注意雙曲線(xiàn)定義的應(yīng)用，運(yùn)用整體代換的方法可以減少計(jì)算量6、D【解析】設(shè)數(shù)列的公比為q，由已知建立方程求得q，再利用等比數(shù)列的通項(xiàng)公式可求得答案.【詳解】解：因?yàn)閿?shù)列是等比數(shù)列，是其前n項(xiàng)之積，，設(shè)數(shù)列的公比為q，所以，解得，所以，故選：D.7、D【解析】利用累加法求得列的通項(xiàng)公式，再利用裂項(xiàng)相消法求得數(shù)列的前n項(xiàng)和為，再根據(jù)，，成等差數(shù)列，得，從而可得出答案.【詳解】解：因?yàn)椋?，所以?dāng)時(shí)，，因?yàn)橐矟M(mǎn)足，所以.因?yàn)?，所?若，，成等差數(shù)列，則，即，得.故選：D.8、D【解析】以，，的方向分別為x軸、y軸、z軸的正方向，建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法即可求出答案.【詳解】解：由題意知，CA，CB，CC1兩兩垂直，以，，的方向分別為x軸、y軸、z軸的正方向，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則，，，，設(shè)平面的法向量為，則令，得.因?yàn)椋?，故直線(xiàn)BC與平面所成角的正弦值為.故選：D.9、C【解析】按照空間中點(diǎn)到直線(xiàn)的距離公式直接求解.【詳解】由題意，，，的方向向量，，則點(diǎn)到直線(xiàn)的距離為.故選：C.10、A【解析】由題得對(duì)任意恒成立，求出的最大值即可.【詳解】解：由題得對(duì)任意恒成立，(當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立)所以故選：A11、B【解析】根據(jù)基本初等函數(shù)的求導(dǎo)公式和求導(dǎo)法則即可求解判斷.【詳解】，故A錯(cuò)誤；，故B正確；，故C錯(cuò)誤；，故D錯(cuò)誤.故選：B.12、B【解析】運(yùn)用不等式的性質(zhì)及舉反例的方法可求解.【詳解】對(duì)于A，如，滿(mǎn)足條件，但不成立，故A不正確；對(duì)于B，因?yàn)?，所以，所以，故B正確；對(duì)于C，因?yàn)?，所以，所以不成立，故C不正確；對(duì)于D，因?yàn)椋?，所以，故D不正確.故選：B二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】通過(guò)分離參數(shù)，得到關(guān)于x的不等式；再構(gòu)造函數(shù)，通過(guò)導(dǎo)數(shù)求得函數(shù)的最值，進(jìn)而求得a的取值范圍【詳解】因?yàn)椋虢馕鍪娇傻梅蛛x參數(shù)a可得令（）則，令解得所以當(dāng)0＜x＜1，，所以h（x）在（0，1）上單調(diào)遞減當(dāng)1＜x，，所以h（x）在（1，+∞）上單調(diào)遞增，所以h（x）在x=1時(shí)取得極小值，也即最小值所以h（x）≥h（1）=4因?yàn)閷?duì)一切x∈（0，+∞），2f（x）≥g（x）恒成立，所以a≤h（x）min=4所以a的取值范圍為【點(diǎn)睛】本題綜合考查了函數(shù)與導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，分離參數(shù)法，利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最值，屬于中檔題14、【解析】由下圖可得在處取得最大值，即.考點(diǎn)：線(xiàn)性規(guī)劃.【方法點(diǎn)晴】本題考查線(xiàn)性規(guī)劃問(wèn)題，靈活性較強(qiáng)，屬于較難題型.考生應(yīng)注總結(jié)解決線(xiàn)性規(guī)劃問(wèn)題的一般步驟（1）在直角坐標(biāo)系中畫(huà)出對(duì)應(yīng)的平面區(qū)域，即可行域；（2）將目標(biāo)函數(shù)變形為；（3）作平行線(xiàn)：將直線(xiàn)平移，使直線(xiàn)與可行域有交點(diǎn)，且觀察在可行域中使最大（或最小）時(shí)所經(jīng)過(guò)的點(diǎn)，求出該點(diǎn)的坐標(biāo)；（4）求出最優(yōu)解：將（3）中求出的坐標(biāo)代入目標(biāo)函數(shù)，從而求出的最大（?。┲?15、②④【解析】根據(jù)直線(xiàn)與直線(xiàn)，直線(xiàn)與平面的位置關(guān)系依次判斷每個(gè)選項(xiàng)得到答案.詳解】若，則或，異面，或，相交，①錯(cuò)誤；若，則，②正確；若，則或或與相交，③錯(cuò)誤；若，則，④正確；故答案為：②④.16、①.x軸或直線(xiàn)②.【解析】根據(jù)給定條件分析方程的性質(zhì)即可求得對(duì)稱(chēng)軸及x的取值范圍作答.【詳解】方程中，因，則曲線(xiàn)關(guān)于x軸對(duì)稱(chēng)，又，解得，此時(shí)曲線(xiàn)與都關(guān)于直線(xiàn)對(duì)稱(chēng)，曲線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)軸是x軸或直線(xiàn)，的取值范圍是.故答案為：x軸或直線(xiàn)；三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17、（1）（2）【解析】（1）過(guò)點(diǎn)作，垂足為，過(guò)點(diǎn)作，垂足為，根據(jù)拋物線(xiàn)的定義，得到，求得，即可求得拋物線(xiàn)的方程；（2）設(shè)直線(xiàn)的方程為，聯(lián)立方程組求得，得到，由拋物線(xiàn)的定義得到，根據(jù)，求得，設(shè)，得到，進(jìn)而求得，因?yàn)闉榈闹悬c(diǎn)，求得，即可求解.【小問(wèn)1詳解】解：由題意，拋物線(xiàn)，可得其準(zhǔn)線(xiàn)方程，如圖所示，過(guò)點(diǎn)作，垂足為，過(guò)點(diǎn)作，垂足為，因?yàn)闀r(shí)，，可得，又由拋物線(xiàn)的定義，可得，解得，所以?huà)佄锞€(xiàn)的方程為.【小問(wèn)2詳解】解：由拋物線(xiàn)，可得，設(shè)，因?yàn)橹本€(xiàn)的直線(xiàn)過(guò)點(diǎn)，設(shè)直線(xiàn)的方程為聯(lián)立方程組，整理得，可得，則，因?yàn)闉榈闹悬c(diǎn)，所以，由拋物線(xiàn)的定義得，設(shè)圓與直線(xiàn)相切于點(diǎn)，因?yàn)榻挥邳c(diǎn)，所以且，所以，即，解得，設(shè)，則，且，可得，因?yàn)椋渣c(diǎn)為的中點(diǎn)，所以，又因?yàn)闉榈闹悬c(diǎn)，可得，所以，即的面積與的面積的比值為.18、（1）或；（2）.【解析】（1）設(shè)圓心為，由題意及圓的弦長(zhǎng)公式即可列方程組，解方程組即可；（2）由題意可將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為圓心到直線(xiàn)l：的距離，解不等式即可.【詳解】解：（1）設(shè)圓心為，半徑為r，根據(jù)題意得，解得，所以圓C的方程為或（2）由（1）知圓C的圓心為或，半徑為，由圓C上至少有三個(gè)不同的點(diǎn)到直線(xiàn)l：的距離為，可知圓心到直線(xiàn)l：的距離即，所以，解得所以直線(xiàn)l斜率的取值范圍為19、（I）（II）【解析】（I）以，，為x，y，z軸建立空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)﹣xyz，可得和的坐標(biāo)，可得cos＜，＞，可得答案；（II）由（I）知，=（2，0，﹣4），=（1，1，0），設(shè)平面C1AD的法向量為=（x，y，z），由可得=（1，﹣1，），設(shè)直線(xiàn)AB1與平面C1AD所成的角為θ，則sinθ=|cos＜，＞|=，進(jìn)而可得答案解：（I）以，，x，y，z軸建立空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)﹣xyz，則可得B（2，0，0），A1（0，0，4），C1（0，2，4），D（1，1，0），∴=（2，0，﹣4），=（0，2，4），∴cos＜，＞==∴異面直線(xiàn)A1B，AC1所成角的余弦值為：；（II）由（I）知，=（2，0，﹣4），=（1，1，0），設(shè)平面C1AD的法向量為=（x，y，z），則可得，即，取x=1可得=（1，﹣1，），設(shè)直線(xiàn)AB1與平面C1AD所成的角為θ，則sinθ=|cos＜，＞|=∴直線(xiàn)AB1與平面C1AD所成角的正弦值為：考點(diǎn)：異面直線(xiàn)及其所成的角；直線(xiàn)與平面所成的角20、（1）C是以點(diǎn)，為左右焦點(diǎn)的橢圓，（2）【解析】（1）根據(jù)橢圓的定義即可得到答案.（2）當(dāng)垂直于軸時(shí)，，舍去.當(dāng)不垂直于軸時(shí)，可設(shè)，再根據(jù)題意結(jié)合韋達(dá)定理求解即可.【小問(wèn)1詳解】因?yàn)?，，所以C是以點(diǎn)，為左右焦點(diǎn)的橢圓.于是，，故，因此C的方程為.【小問(wèn)2詳解】當(dāng)垂直于軸時(shí)，，，舍去.當(dāng)不垂直于軸時(shí)，可設(shè)，代入可得.因?yàn)?，設(shè)，，則，.因?yàn)?，所?同理.因此.由可得，，于是.根據(jù)橢圓定義可知，于是.21、（1）（2）點(diǎn)為線(xiàn)段上靠近點(diǎn)的三等分點(diǎn)【解析】（1）建立空間直角坐標(biāo)系，分別寫(xiě)出點(diǎn)的坐標(biāo)，求出兩個(gè)平面的法向量代入公式求解即可；（2）假設(shè)存在，設(shè)，利用相等向量求出坐標(biāo)，利用線(xiàn)面平行的向量法代入公式計(jì)算即可.【小問(wèn)1詳解】如下圖所示，以為原點(diǎn)，，，所在直線(xiàn)分別為軸，軸，軸建立空間直角坐標(biāo)系，則，，，，，，．所以，設(shè)平面的法向量，所以，即，令，則，，所以，連接，因?yàn)椋?，，平面，平面，平面，所以平面，所以為平面的一個(gè)法向量，所以，由圖知，二面角為銳二面角，所以二面角的大小為【小問(wèn)2詳解】假設(shè)在線(xiàn)段上存在點(diǎn)，使得平面，設(shè)，，，因?yàn)槠矫妫?，即所以，即解得所以在線(xiàn)段上存在點(diǎn)，