湖北省荊州市沙市區(qū)沙市中學(xué)2023年高二數(shù)學(xué)第一學(xué)期期末質(zhì)量跟蹤監(jiān)視試題含解析

湖北省荊州市沙市區(qū)沙市中學(xué)2023年高二數(shù)學(xué)第一學(xué)期期末質(zhì)量跟蹤監(jiān)視試題注意事項(xiàng)：1．答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫(xiě)在答題卡上。2．回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑，如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其它答案標(biāo)號(hào)。回答非選擇題時(shí)，將答案寫(xiě)在答題卡上，寫(xiě)在本試卷上無(wú)效。3．考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．設(shè)兩個(gè)變量與之間具有線性相關(guān)關(guān)系，相關(guān)系數(shù)為，回歸方程為，那么必有（）A.與符號(hào)相同 B.與符號(hào)相同C.與符號(hào)相反 D.與符號(hào)相反2．已知數(shù)列為等比數(shù)列，，則的值為（）A. B.C. D.23．圓x2＋y2－4＝0與圓x2＋y2－4x＋4y－12＝0公共弦所在直線方程為（）A. B.C. D.4．過(guò)點(diǎn)作圓的切線，則切線的方程為（）A. B.C.或 D.或5．已知m，n表示兩條不同直線，表示兩個(gè)不同平面.設(shè)有兩個(gè)命題：：若，則；：若，則.則下列命題中為真命題的是（）A. B.C. D.6．已知平面直角坐標(biāo)系內(nèi)一動(dòng)點(diǎn)P，滿足圓上存在一點(diǎn)Q使得，則所有滿足條件的點(diǎn)P構(gòu)成圖形的面積為（）A. B.C. D.7．已知拋物線C：，則過(guò)拋物線C的焦點(diǎn)，弦長(zhǎng)為整數(shù)且不超過(guò)2022的直線的條數(shù)是（）A.4037 B.4044C.2019 D.20228．平面的法向量，平面的法向量，已知，則等于（）A B.C. D.9．已知雙曲線上點(diǎn)到點(diǎn)的距離為15，則點(diǎn)到點(diǎn)的距離為（）A.9 B.6C.6或36 D.9或2110．已知是拋物線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn),是圓上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn),是一個(gè)定點(diǎn),則的最小值為A. B.C. D.11．函數(shù)的最大值為（）A.32 B.27C.16 D.4012．在中，B=60°，，，則AC邊的長(zhǎng)等于（）A. B.C. D.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．不大于100的正整數(shù)中，被3除余1的所有數(shù)的和是___________14．根據(jù)某市有關(guān)統(tǒng)計(jì)公報(bào)顯示，隨著“一帶一路”經(jīng)貿(mào)合作持續(xù)深化，該市對(duì)外貿(mào)易近幾年持續(xù)繁榮，2017年至2020年每年進(jìn)口總額（單位：千億元）和出口總額（單位：千億元）之間的一組數(shù)據(jù)如下：2017年2018年2019年2020年若每年的進(jìn)出口總額，滿足線性相關(guān)關(guān)系，則______；若計(jì)劃2022年出口總額達(dá)到千億元，預(yù)計(jì)該年進(jìn)口總額為_(kāi)_____億元15．已知拋物線的頂點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，焦點(diǎn)坐標(biāo)是，則該拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為_(kāi)__________16．圓(x＋2)2＋y2＝4與圓(x－2)2＋(y－1)2＝9的位置關(guān)系為_(kāi)_______三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17．（12分）已知數(shù)列的首項(xiàng)，，，.（1）證明：為等比數(shù)列；（2）求數(shù)列的前項(xiàng)和18．（12分）已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，且（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）記，求數(shù)列的前項(xiàng)和19．（12分）已知等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，數(shù)列是等比數(shù)列，，，，.(1)求數(shù)列和的通項(xiàng)公式；(2)若，設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為，求.20．（12分）已知等比數(shù)列的公比，且，是的等差中項(xiàng).數(shù)列的前n項(xiàng)和為，滿足，.（1）求和的通項(xiàng)公式；（2）設(shè)，求的前2n項(xiàng)和.21．（12分）已知點(diǎn)及圓，點(diǎn)P是圓B上任意一點(diǎn)，線段的垂直平分線l交半徑于點(diǎn)T，當(dāng)點(diǎn)P在圓上運(yùn)動(dòng)時(shí)，記點(diǎn)T的軌跡為曲線E（1）求曲線E的方程；（2）設(shè)存在斜率不為零且平行的兩條直線，，它們與曲線E分別交于點(diǎn)C、D、M、N，且四邊形是菱形，求該菱形周長(zhǎng)的最大值22．（10分）已知兩條直線，.設(shè)為實(shí)數(shù)，分別根據(jù)下列條件求的值.（1）；（2）直線在軸、軸上截距之和等于.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、A【解析】利用相關(guān)系數(shù)的性質(zhì)，分析即得解【詳解】相關(guān)系數(shù)r為正，表示正相關(guān)，回歸直線方程上升，r為負(fù)，表示負(fù)相關(guān)，回歸直線方程下降，與r的符號(hào)相同故選：A2、B【解析】根據(jù)等比數(shù)列的性質(zhì)計(jì)算.【詳解】由等比數(shù)列的性質(zhì)可知，且等比數(shù)列奇數(shù)項(xiàng)的符號(hào)相同，所以，即.故選：B3、B【解析】?jī)蓤A的方程消掉二次項(xiàng)后的二元一次方程即為公共弦所在直線方程.【詳解】由x2＋y2－4＝0與x2＋y2－4x＋4y－12＝0兩式相減得：，即.故選：B4、C【解析】設(shè)切線的方程為，然后利用圓心到直線的距離等于半徑建立方程求解即可.【詳解】圓的圓心為原點(diǎn)，半徑為1，當(dāng)切線的斜率不存在時(shí)，即直線的方程為，不與圓相切，當(dāng)切線的斜率存在時(shí)，設(shè)切線的方程為，即所以，解得或所以切線的方程為或故選：C5、B【解析】利用直線與平面，平面與平面的位置關(guān)系判斷2個(gè)命題的真假，再利用復(fù)合命題的真值表判斷選項(xiàng)的正誤即可【詳解】，表示兩條不同直線，，表示兩個(gè)不同平面：若，，則也可能，也可能與相交，所以是假命題，為真命題；：令直線的方向向量為，直線的方向向量為，若，則，則，所以是真命題，所以為假命題；所以為假命題，是真命題，為假命題，是真命題，所以為假命題故選：6、D【解析】先找臨界情況當(dāng)PQ與圓C相切時(shí)，，進(jìn)而可得滿足條件的點(diǎn)P形成的圖形為大圓（包括內(nèi)部），即求.【詳解】當(dāng)PQ與圓C相切時(shí)，，這種情況為臨界情況，當(dāng)P往外時(shí)無(wú)法找到點(diǎn)Q使，當(dāng)P往里時(shí)，可以找到Q使，故滿足條件的點(diǎn)P形成的圖形為大圓（包括內(nèi)部），如圖，由圓，可知圓心，半徑為1，則大圓的半徑為，∴所有滿足條件的點(diǎn)P構(gòu)成圖形的面積為.故選：D.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題的關(guān)鍵是找出臨界情況時(shí)點(diǎn)所滿足的條件，進(jìn)而即可得到動(dòng)點(diǎn)滿足條件的圖形，問(wèn)題即可解決.7、A【解析】根據(jù)已知條件，結(jié)合拋物線的性質(zhì)，先求出過(guò)焦點(diǎn)的最短弦長(zhǎng)，再結(jié)合拋物線的對(duì)稱性，即可求解【詳解】∵拋物線C：，即，由拋物線的性質(zhì)可得，過(guò)拋物線焦點(diǎn)中，長(zhǎng)度最短的為垂直于y軸的那條弦，則過(guò)拋物線C的焦點(diǎn)，長(zhǎng)度最短的弦的長(zhǎng)為，由拋物線的對(duì)稱性可得，弦長(zhǎng)在5到2022之間的有共有條，故弦長(zhǎng)為整數(shù)且不超過(guò)2022的直線的條數(shù)是故選：A8、A【解析】根據(jù)兩個(gè)平面平行得出其法向量平行，根據(jù)向量共線定理進(jìn)行計(jì)算即可.【詳解】由題意得，因?yàn)?，所以（），即，解得，所?故選:A9、D【解析】利用雙曲線的定義可得答案.【詳解】設(shè)，，，為雙曲線的焦點(diǎn)，則由雙曲線定義，知，而所以或21故選：D.10、A【解析】恰好為拋物線的焦點(diǎn)，等于到準(zhǔn)線的距離，要想最小，過(guò)圓心作拋物線的準(zhǔn)線的垂線交拋物線于點(diǎn)，交圓于，最小值等于圓心到準(zhǔn)線的距離減去半徑4-1=.考點(diǎn):1.拋物線的定義；2.圓中的最值問(wèn)題；11、A【解析】利用導(dǎo)數(shù)即可求解.【詳解】因?yàn)椋援?dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，.所以函數(shù)在上單調(diào)遞增；在上單調(diào)遞增,，因此，的最大值為.故選：A12、B【解析】根據(jù)正弦定理直接計(jì)算可得答案.【詳解】由正弦定理，,得,故選：B.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、1717【解析】利用等差數(shù)列的前項(xiàng)和公式可求所有數(shù)的和.【詳解】100以內(nèi)的正整數(shù)中，被3除余1由小到大構(gòu)成等差數(shù)列，其首項(xiàng)為1，公差為3，共有項(xiàng)，它們的和為，故答案為：.14、①.1.6②.3.65千##3650【解析】根據(jù)給定數(shù)表求出樣本中心點(diǎn)，代入即可求得，取可求出該年進(jìn)口總額.【詳解】由數(shù)表得：，，因此，回歸直線過(guò)點(diǎn)，由，解得，此時(shí)，，當(dāng)時(shí)，即，解得，所以，預(yù)計(jì)該年進(jìn)口總額為千億元.故答案為：1.6；3.65千15、【解析】根據(jù)焦點(diǎn)坐標(biāo)即可得到拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程【詳解】因?yàn)閽佄锞€的頂點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，焦點(diǎn)坐標(biāo)是，所以，解得，拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為故答案為：16、相交【解析】由題意知，兩圓的圓心分別為(－2,0)，(2,1)，故兩圓的圓心距離為，兩圓的半徑之差為1，半徑之和為5，而1<<5，所以兩圓的位置關(guān)系為相交三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17、（1）證明見(jiàn)解析（2）【解析】（1）利用等比數(shù)列的定義即可證明.（2）利用錯(cuò)位相減法即可求解.【小問(wèn)1詳解】當(dāng)時(shí)，，所以：數(shù)列是公比為3的等比數(shù)列；【小問(wèn)2詳解】由（1）知，數(shù)列是以3為首項(xiàng)，以3為公比的等比數(shù)列，所以：，所以：，，所以，①所以，②①②可得.18、（1）（2）【解析】（1）結(jié)合作差法可直接求解；（2）由錯(cuò)位相減法可直接求解.【小問(wèn)1詳解】當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，滿足上式，所以；【小問(wèn)2詳解】由（1）知，所以①，②，①-②得，所以.19、（1），；（2）.【解析】（1）設(shè)等差數(shù)列的公差為，等比數(shù)列的公比為,根據(jù)題意列出表達(dá)式，解出公比和公差，再根據(jù)等差數(shù)等比列的通項(xiàng)公式的求法求出通項(xiàng)即可；（2）根據(jù)第一問(wèn)得到前n項(xiàng)和，數(shù)列,分組求和即可.解析：(1)設(shè)等差數(shù)列的公差為，等比數(shù)列的公比為，∵，，，，∴，∴，，∴，.(2)由(1)知，，∴，∴.20、（1），（）（2）【解析】（1）等差數(shù)列和等比數(shù)列的基本量的計(jì)算，根據(jù)條件列出方程，并解方程即可；（2）數(shù)列根據(jù)的奇偶分段表示，奇數(shù)項(xiàng)通過(guò)乘公比錯(cuò)位相減法克求得前項(xiàng)和，偶數(shù)項(xiàng)則是通過(guò)裂項(xiàng)求和.【小問(wèn)1詳解】由得，.又，，所以，即，解得或（舍去）.所以（），當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，經(jīng)檢驗(yàn)，時(shí)，適合上式，故（）.綜上可得：，【小問(wèn)2詳解】由（1）可知，當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，，當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，，由題意，有①②①-②得：，則有：..故.21、（1）（2）【解析】（1）根據(jù)橢圓的定義和性質(zhì)，建立方程求出，即可（2）設(shè)的方程為，，，，，設(shè)的方程為，，，，，分別聯(lián)立直線方程和橢圓方程，運(yùn)用韋達(dá)定理和判別式大于0，以及弦長(zhǎng)公式，求得，，運(yùn)用菱形和橢圓的對(duì)稱性可得，關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，結(jié)合菱形的對(duì)角線垂直和向量數(shù)量積為0，可得，設(shè)菱形的周長(zhǎng)為，運(yùn)用基本不等式，計(jì)算可得所求最大值【小問(wèn)1詳解】點(diǎn)在線段的垂直平分線上，，又，曲線是以坐標(biāo)原點(diǎn)為中心，和為焦點(diǎn)，長(zhǎng)軸長(zhǎng)為的橢圓設(shè)曲線的方程為，，，曲線的方程為【小問(wèn)2詳解】設(shè)的方程為，，，，，設(shè)的方程為，，，，，聯(lián)立可得，由可得，化簡(jiǎn)可得，①，，，同理可得，因?yàn)樗倪呅螢榱庑危裕?，又因?yàn)?，所以，所以，關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，又橢圓關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，所以，關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，，也關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，所以且，所以，，，，因?yàn)樗倪呅螢榱庑?，可得，即，即，即，可得，化?jiǎn)可得，設(shè)菱形的周長(zhǎng)為，則，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號(hào)成立，此時(shí)，滿足①，所以菱形的周長(zhǎng)的最大值為【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：在處理此類直線與橢圓相交問(wèn)題中，一般先設(shè)出直線方程，聯(lián)立方程，利用韋達(dá)定理得出，，再具體問(wèn)題具體分析，一般涉及弦長(zhǎng)計(jì)算問(wèn)題