湖南省長(zhǎng)沙同升湖實(shí)驗(yàn)學(xué)校2023年高二上數(shù)學(xué)期末監(jiān)測(cè)模擬試題含解析

湖南省長(zhǎng)沙同升湖實(shí)驗(yàn)學(xué)校2023年高二上數(shù)學(xué)期末監(jiān)測(cè)模擬試題注意事項(xiàng)1．考生要認(rèn)真填寫考場(chǎng)號(hào)和座位序號(hào)。2．試題所有答案必須填涂或書寫在答題卡上，在試卷上作答無(wú)效。第一部分必須用2B鉛筆作答；第二部分必須用黑色字跡的簽字筆作答。3．考試結(jié)束后，考生須將試卷和答題卡放在桌面上，待監(jiān)考員收回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．若拋物線上一點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離為5，則點(diǎn)的坐標(biāo)為（）A. B.C. D.2．等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，若，，則（）A.12 B.18C.21 D.273．已知命題：，命題：，則是的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件4．已知三角形三個(gè)頂點(diǎn)為、、，則邊上的高所在直線的方程為（）A. B.C. D.5．楊輝三角是二項(xiàng)式系數(shù)在三角形中的一種幾何排列，在中國(guó)南宋數(shù)學(xué)家楊輝1261年所著的《詳解九章算法》一書中就有出現(xiàn).在歐洲，帕斯卡（1623～1662）在1654年發(fā)現(xiàn)這一規(guī)律，比楊輝要遲了393年.如圖所示，在“楊輝三角”中，從1開始箭頭所指的數(shù)組成一個(gè)鋸齒形數(shù)列：1，2，3，3，6，4，10，5，…，則在該數(shù)列中，第37項(xiàng)是A.153 B.171C.190 D.2106．拋物線型太陽(yáng)灶是利用太陽(yáng)能輻射的一種裝置．當(dāng)旋轉(zhuǎn)拋物面的主光軸指向太陽(yáng)的時(shí)候，平行的太陽(yáng)光線入射到旋轉(zhuǎn)拋物面表面，經(jīng)過(guò)反光材料的反射，這些反射光線都從它的焦點(diǎn)處通過(guò)，形成太陽(yáng)光線的高密集區(qū)，拋物面的焦點(diǎn)在它的主光軸上．如圖所示的太陽(yáng)灶中，灶深CD即焦點(diǎn)到灶底（拋物線的頂點(diǎn)）的距離為1m，則灶口直徑AB為（）A.2m B.3mC.4m D.5m7．函數(shù)的定義域?yàn)椋?，?duì)任意，，則的解集為（）A. B.C. D.8．在中，角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，若，，的面積為10，則的值為（）A. B.C. D.9．動(dòng)點(diǎn)P，Q分別在拋物線和圓上，則的最小值為（）A. B.C. D.10．從裝有2個(gè)紅球和2個(gè)黑球的口袋內(nèi)任取兩個(gè)球，那么互斥而不對(duì)立的事件是（）A.至少有一個(gè)黑球與都是黑球B.至少有一個(gè)黑球與至少有一個(gè)紅球C.恰好有一個(gè)黑球與恰好有兩個(gè)黑球D.至少有一個(gè)黑球與都是紅球11．已知向量與平行，則（）A. B.C. D.12．若直線與直線垂直，則a的值為（）A.2 B.1C. D.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．某地區(qū)有3個(gè)疫苗接種定點(diǎn)醫(yī)院，現(xiàn)有10名志愿者將被派往這3個(gè)醫(yī)院協(xié)助新冠疫苗接種工作，每個(gè)醫(yī)院至少需要2名至多需要4名志愿者，則不同的安排方法共有___________種.14．已知直線與圓交于，兩點(diǎn)，則的最小值為___________.15．已知直線和互相平行，則實(shí)數(shù)的值為___________.16．若隨機(jī)變量，則______.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17．（12分）已知圓O：與圓C：（1）在①，②這兩個(gè)條件中任選一個(gè)，填在下面的橫線上，并解答若______，判斷這兩個(gè)圓的位置關(guān)系；（2）若，求直線被圓C截得的弦長(zhǎng)注：若第（1）問(wèn)選擇兩個(gè)條件分別作答，按第一個(gè)作答計(jì)分18．（12分）如圖，在四棱錐中，平面平面，，，，，（Ⅰ）求證：；（Ⅱ）求二面角的余弦值；（Ⅲ）若點(diǎn)在棱上，且平面，求線段的長(zhǎng)19．（12分）已知圓C的圓心在直線上，且圓C經(jīng)過(guò)，兩點(diǎn).（1）求圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程.（2）設(shè)直線與圓C交于A，B（異于坐標(biāo)原點(diǎn)O）兩點(diǎn)，若以AB為直徑的圓過(guò)原點(diǎn)，試問(wèn)直線l是否過(guò)定點(diǎn)？若是，求出定點(diǎn)坐標(biāo)；若否，請(qǐng)說(shuō)明理由.20．（12分）已知等差數(shù)列滿足，.（1）求的通項(xiàng)公式；（2）設(shè)，求數(shù)列的前項(xiàng)和.21．（12分）已知直三棱柱中，，，E、F分別是、的中點(diǎn)，D為棱上的點(diǎn).（1）證明：；（2）當(dāng)時(shí)，求直線BF與平面DEF所成角的正弦值.22．（10分）如圖，四棱錐的底面是正方形，平面平面，E為的中點(diǎn)（1）若，證明：；（2）求直線與平面所成角的余弦值的取值范圍

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、C【解析】設(shè)，由拋物線的方程可得準(zhǔn)線方程為，由拋物線的性質(zhì)到焦點(diǎn)的距離等于到準(zhǔn)線的距離，求出，解出縱坐標(biāo)，進(jìn)而求出【詳解】由題意可得，解得，代入拋物線的方程，解得，所以的坐標(biāo)，故選：C.2、B【解析】根據(jù)等差數(shù)列的前項(xiàng)和為具有的性質(zhì)，即成等差數(shù)列，由此列出等式，求得答案.【詳解】因?yàn)闉榈炔顢?shù)列的前n項(xiàng)和，且，，所以成等差數(shù)列，所以，即，解得=18，故選：B.3、B【解析】利用充分條件和必要條件的定義判斷.【詳解】因?yàn)槊}：或，命題：，所以是的必要不充分條件，故選：B4、A【解析】求出直線的斜率，可求得邊上的高所在直線的斜率，利用點(diǎn)斜式可得出所求直線的方程.【詳解】直線的斜率為，故邊上的高所在直線的斜率為，因此，邊上的高所在直線的方程為.故選：A.5、C【解析】根據(jù)“楊輝三角”找出數(shù)列1，2，3，3，6，4，10，5，…之間的關(guān)系即可?！驹斀狻坑深}意可得從第3行起的每行第三個(gè)數(shù)：，所以第行的第三個(gè)數(shù)為在該數(shù)列中，第37項(xiàng)為第21行第三個(gè)數(shù)，所以該數(shù)列的第37項(xiàng)為故選：C【點(diǎn)睛】本題主要考查了歸納、推理的能力，屬于中等題。6、C【解析】建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系，設(shè)拋物線的方程為，根據(jù)是拋物線的焦點(diǎn)，求得拋物線的方程，進(jìn)而求得的長(zhǎng).【詳解】由題意，建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系，O與C重合，設(shè)拋物線的方程為，由題意可得是拋物線的焦點(diǎn)，即，可得，所以拋物線的方程為，當(dāng)時(shí)，，所以.故選：C.7、B【解析】構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)判斷出函數(shù)在上的單調(diào)性，將不等式轉(zhuǎn)化為，利用函數(shù)的單調(diào)性即可求解.【詳解】依題意可設(shè)，所以.所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，又因?yàn)?所以要使，即，只需要，故選B.【點(diǎn)睛】本題考查利用函數(shù)的單調(diào)性解不等式，解題的關(guān)鍵就是利用導(dǎo)數(shù)不等式的結(jié)構(gòu)構(gòu)造新函數(shù)來(lái)解，考查分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的能力，屬于中等題.8、A【解析】由同角公式求出，根據(jù)三角形面積公式求出，根據(jù)余弦定理求出，根據(jù)正弦定理求出.【詳解】因?yàn)椋?，因?yàn)椋拿娣e為10，所以，故，從而，解得，由正弦定理得：.故選：A.【點(diǎn)睛】本題考查了同角公式，考查了三角形的面積公式，考查了余弦定理，考查了正弦定理，屬于基礎(chǔ)題.9、B【解析】設(shè)，根據(jù)兩點(diǎn)間距離公式，先求得P到圓心的最小距離，根據(jù)圓的幾何性質(zhì)，即可得答案.【詳解】設(shè)，圓化簡(jiǎn)為，即圓心為（0,4），半徑為，所以點(diǎn)P到圓心的距離，令，則，令，，為開口向上，對(duì)稱軸為的拋物線，所以的最小值為，所以，所以的最小值為.故選：B10、C【解析】列舉每個(gè)事件所包含的基本事件，結(jié)合互斥事件和對(duì)立事件的定義，逐項(xiàng)判斷.【詳解】A：事件：“至少有一個(gè)黑球”與事件：“都是黑球”可以同時(shí)發(fā)生，如：兩個(gè)都是黑球，這兩個(gè)事件不是互斥事件，故錯(cuò)誤；B：事件：“至少有一個(gè)黑球”與事件：“至少有一個(gè)紅球”可以同時(shí)發(fā)生，如：一個(gè)紅球一個(gè)黑球，故錯(cuò)誤；C：事件：“恰好有一個(gè)黑球”與事件：“恰有兩個(gè)黑球”不能同時(shí)發(fā)生，但從口袋中任取兩個(gè)球時(shí)還有可能是兩個(gè)都是紅球，兩個(gè)事件是互斥事件但不是對(duì)立事件，故正確D：事件：“至少有一個(gè)黑球”與“都是紅球”不能同時(shí)發(fā)生，但一定會(huì)有一個(gè)發(fā)生，這兩個(gè)事件是對(duì)立事件，故錯(cuò)誤；故選：C11、D【解析】根據(jù)兩向量平行可求得、的值，即可得出合適的選項(xiàng).【詳解】由已知，解得，，則.故選：D.12、A【解析】根據(jù)兩條直線垂直的條件列方程，解方程求得的值.【詳解】由于直線與直線垂直，所以，解得.故選：A二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、22050【解析】先分組，再排列，注意部分平均分組問(wèn)題，需要除以平均組數(shù)的全排列.【詳解】根據(jù)題意，這10名志愿者的安排方法共有兩類：第一類是2，4，4，第二類是3，3，4.故不同的安排方法共有種.故答案為：2205014、【解析】先求出直線經(jīng)過(guò)的定點(diǎn)，再求出圓心到定點(diǎn)的距離，數(shù)形結(jié)合即得解.【詳解】由題得，所以直線經(jīng)過(guò)定點(diǎn)，圓的圓心為，半徑為.圓心到定點(diǎn)的距離為，當(dāng)時(shí)，取得最小值，且最小值為.故答案為：815、【解析】根據(jù)直線平行的充要條件即可求出實(shí)數(shù)的值.詳解】由直線和互相平行，得，即.故答案為：.16、2【解析】根據(jù)給定條件利用二項(xiàng)分布的期望公式直接計(jì)算作答.【詳解】因?yàn)殡S機(jī)變量，所以.故答案：2三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17、（1）選①:外離；選②：相切;（2）【解析】(1)不論選①還是選②，都要首先算出兩圓的圓心距，然后和兩圓的半徑之和或差進(jìn)行比較即可；(2)根據(jù)點(diǎn)到直線的距離公式，先計(jì)算圓心到直線的距離，然后利用圓心距、半徑、弦長(zhǎng)的一半之間的關(guān)系求解.【小問(wèn)1詳解】選①圓O的圓心為，半徑為l；圓C的圓心為，半徑為因?yàn)閮蓤A的圓心距為，且兩圓的半徑之和為，所以兩圓外離選②圓O的圓心為，半徑為1．圓C的圓心為，半徑為2因?yàn)閮蓤A的圓心距為．且兩圓的半徑之和為，所以兩圓外切【小問(wèn)2詳解】因?yàn)辄c(diǎn)C到直線的距離，所以直線被圓C截得的弦長(zhǎng)為18、（Ⅰ）見解析.（Ⅱ）．（Ⅲ）.【解析】第一問(wèn)根據(jù)面面垂直的性質(zhì)和線面垂直的性質(zhì)得出線線垂直的結(jié)論，注意在書寫的時(shí)候條件不要丟就行；第二問(wèn)建立空間直角坐標(biāo)系，利用法向量所成角的余弦值來(lái)求得二面角的余弦值；第三問(wèn)利用向量共線的關(guān)系，得出向量的坐標(biāo)，根據(jù)線面平行得出向量垂直，利用其數(shù)量積等于零，求得結(jié)果.（Ⅰ）證明：因?yàn)槠矫妗推矫?，且平面平面，因?yàn)椤?，且平面所以⊥平面因?yàn)槠矫?，所以?（Ⅱ）解：在△中，因?yàn)?，，，所以，所以?所以，建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示所以，，，，，，.易知平面的一個(gè)法向量為.設(shè)平面的一個(gè)法向量為，則，即，令，則.設(shè)二面角的平面角為，可知為銳角，則，即二面角的余弦值為（Ⅲ）解：因?yàn)辄c(diǎn)在棱，所以，因?yàn)?，所以?又因?yàn)槠矫妫瑸槠矫娴囊粋€(gè)法向量，所以，即，所以所以，所以.19、（1）（2）過(guò)定點(diǎn)，定點(diǎn)為【解析】（1）設(shè)出圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程，由題意列出方程從而可得答案.（2）設(shè)，，將直線的方程與圓C的方程聯(lián)立，得出韋達(dá)定理，由條件可得，從而得出答案.【小問(wèn)1詳解】設(shè)圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為由題意可得解得，，.故圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為.【小問(wèn)2詳解】設(shè)，.聯(lián)立整理的，則，，故.因?yàn)橐訟B為直徑的圓過(guò)原點(diǎn)，所以，即則，化簡(jiǎn)得.當(dāng)時(shí)，直線，直線l過(guò)原點(diǎn)，此時(shí)不滿足以AB為直徑的圓過(guò)原點(diǎn).所以，則，則直線過(guò)定點(diǎn).20、（1）；（2）.【解析】（1）設(shè)等差數(shù)列的公差為，根據(jù)題意可得出關(guān)于、的方程組，解出這兩個(gè)量的值，可得出數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）求得，利用裂項(xiàng)法可求得.【小問(wèn)1詳解】解：設(shè)等差數(shù)列的公差為，則，可得，由可得，即，解得，，故.【小問(wèn)2詳解】解：，因此，.21、（1）證明見解析（2）【解析】（1）由題意建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量證明即可，（2）求出平面DEF的法向量，利用空間向量求解【小問(wèn)1詳解】證明：因?yàn)槿庵侵比庵?，且，所以兩兩垂直，所以以為原點(diǎn)，以所在的直線分別為軸建立空間直角坐標(biāo)系，則，，設(shè)，則，所以，所以，所以【小問(wèn)2詳解】因?yàn)?，所以，所以，設(shè)平面一個(gè)法向量為，則，令，則，設(shè)直線BF與平面DEF所成角為，則，所以直線BF與平面DEF所成角的正弦值為22、（1）證明見解析；（2）.【解析】（1）取的中點(diǎn)F，連接．先證明，，即證平面，原題即得證；（2）分別取的中點(diǎn)G，H，連接，證明為直線與平面所成的角，設(shè)正方形的邊長(zhǎng)為1，，在中，，即得解.【小問(wèn)1詳解】解：取的中點(diǎn)F，連接因?yàn)椋瑒t為正三角形，所以因