數(shù)列公式性質(zhì)總結(jié)

本文格式為Word版，下載可任意編輯——數(shù)列公式性質(zhì)總結(jié)一定義（n≥2，n∈N）

1等差：an－an?1=d1′等比：二通項公式

1

?an=q（q≠0）an?1an?a1?(n?1)d（推導(dǎo)方法：累加法）an?am?(n?m)d?d=an?amn?m

1′an?a1?qn?1(a1?q?0)（推導(dǎo)方法：累乘法）an?am?qn?m?qn?m=anam三?an?性質(zhì)

1A是a與b的等差中項?a，A，b成等差數(shù)列2A?a?b?A=a+b。221′G是a與b的等比中項?a，G，b成等比數(shù)列?G?a?b?G??ab。

2m?n?p?q(m,n,p,q?N?)，則am?an?ap?aq；當(dāng)n+m=2k時,得an?am=2ak2′m?n?p?q(m,n,p,q?N?)則am?an?ap?aq；當(dāng)n+m=2k時,得an?am=ak23{an},{bn}為等差數(shù)列,則{an?k},{k?an},{an?bn},{kan?b}為等差數(shù)列.3′{an},{bn}為等比數(shù)列,則{a1},{k?an},{an2},{a2n?1},{anbn}{n}為等比數(shù)列.anbn4等差?an?中，an,an?k,an?2k,an?3k,?為等差數(shù)列，公差為kd.4′等比?an?中，an,an?k,an?2k,an?3k,?為等比數(shù)列，公比為qk.

5{an}為等差數(shù)列，則Sk、S2k5′

?Sk、S3k?S2k、S4k?S3k（k項的和）是等差數(shù)列.公差為k2d

?an?是等比數(shù)列，則Sk、S2k?Sk、S3k?S2k、S4k?S3k（k項的和）是等比數(shù)列.公比為qk。

另外（k項的積）a1?a2????????an，an?1?an?2????????a2n，a2n?1?a2n?2????????a3n,也是等比數(shù)列，公比為(qnn)

6{an}是等差數(shù)列，設(shè)A?a1?a2???an,，B?an?1?an?2???a2n，C?a2n?1?a2n?2???a3n，則有2B?A?C；

6′{an}是等比數(shù)列,設(shè)A?a1?a2???an,，B?an?1?an?2???a2n，C?a2n?1?a2n?2???a3n，則有B2?A?C

73或4個數(shù)成等差數(shù)列，按對稱性設(shè)，3個數(shù)：a-d,a,a+d；4個數(shù):a-3d,a-d,a+d,a+3d

a,a,aq，也可設(shè)為a,aq,aq2.q8{an}是等差數(shù)列?an?kn?b（k,b是常數(shù)）（n?N?）?an關(guān)于n的一次函數(shù)

7′三個數(shù)成等比數(shù)列，設(shè)為

n(n?1)dd??d=n2+?a1??n=An2?Bn?sn關(guān)于n的二次函222??數(shù)。若d?0，sn有最小值。若d?0，sn有最大值。

ann8′{an}是等比數(shù)列?an?1?q?A?B?an關(guān)于n的指數(shù)型函數(shù)。

q?a1na{an}是等比數(shù)列?Sn?q?1??Aqn?A?sn關(guān)于n的指數(shù)型函數(shù)。1?q1?q{an}是等差數(shù)列?Sn?na1?9

{an}有窮等差數(shù)列，則a1?an?a2?an?1????????ai?1?an?i????。

?a2?an?1????????ai?1?an?i????。

9′{an}有窮等比數(shù)列，則a1?an10等差數(shù)列{an}中,每隔k項取出一項,所得的數(shù)列仍為等差數(shù)列,且公差為(k+1)d(如：a1，a4，a7，

a10??????仍為公差為3d的等差數(shù)列)

10′等比數(shù)列{an}中,每隔k項取出一項,所得的數(shù)列仍為等比數(shù)列,且公比為qk?1(如：a1，a4，a7，

a10??????仍為公比q3的等比數(shù)列)

11

{an}是等差數(shù)列,公差為d，則an，an?1，??????a2，a1也是等差數(shù)列，其公差為?d.

a2，a1也是等比數(shù)列，其公比為

1q

11′{an}是等比數(shù)列,公比為q，則an，an?1，???12假使{an}是各項均為正數(shù)的等比數(shù)列,則數(shù)列{lgan}是公差為lgq的等差數(shù)列

Sn常用的性質(zhì)：

（1）在等差數(shù)列{an}中,當(dāng)項數(shù)為2n時,S偶?S奇?nd,S奇a?n（中間兩項）,S偶an?1當(dāng)項數(shù)為2n-1時,S偶?S奇S奇n?a（中間項）,?nS偶n?1anS2n?1?bnT2n?1an?1Sn(2).若等差數(shù)列{an},{bn}的前n項和為Sn,Tn(n為奇數(shù)),則?2Tnbn?12.或

(3)在等差數(shù)列{an}中.Sn=a,當(dāng)Sn=m,Sm=n時Sn?m(4)

Sm?b,則Sn?m?n?m(a?b),特別地,當(dāng)Sn?Sm時,Sn?m?0,

n?m??(n?m)

Sn}也為等差數(shù)列.n{an}是等差數(shù)列,則數(shù)列{(5){an}是等差數(shù)列,①若首正a1>0,公差d0且an?1?0,則Sn最大,當(dāng)an>0,an?1?0且an0,則當(dāng)

an?1?0,則Sn最小,當(dāng)

an<0,an?1?0且an?2?0,則Sn=Sn?1最小。

6

?an?是等比數(shù)列，當(dāng)項數(shù)為2n(n?N?)，則S偶?S奇?nd,當(dāng)項數(shù)為2n?1(n?N?)，則S奇S偶an?1?S奇an；

7

?S偶?an,S偶n?1.在等比數(shù)列{an}中,當(dāng)項數(shù)為?S奇n2n

(n

?N*)時,

S奇1?,.S偶q8

若{an}等比數(shù)列,則Sn?m

?Sn?qn?Sm

四、通項公式的求法

(n?1)?S1利用Sn求通項公式：an??1．

S?S(n?2)n?1?n2已知遞推公式求通項公式。類型1：

例an類型2：

an?1?an?f(n)轉(zhuǎn)化為an?1?an?f(n)，累加法(逐差相加法)。?a1?(a2?a1)?(a3?a2)?(a4?a3)????????(an?an?1)

an?1?f(n)，累乘法(逐商相乘法)。anaaaa例an?a1?(2)?(3)?(4)????????(n)

a1a2a3an?1an?1?f(n)an轉(zhuǎn)化為

類型3：

。an?1?pan?q（p，q為常數(shù)，(pq(p?1)?0)）待定系數(shù)法：轉(zhuǎn)化為an?1?t?p(a?t)，其中t?nq，轉(zhuǎn)化為等比數(shù)列。p?1五數(shù)列求和

1公式法

1等差數(shù)列：Sn?1′等比數(shù)列：

(q?1)?na1（推導(dǎo)：錯位相減法）?nSn??a1(1?q)a1?anq?(q?1)?1?q1?q?n(a1?an)n(n?1)（推導(dǎo)：倒序相加法）

?na1?d222、拆項法

例：求1?1,1111?4,2?7,3?10,??,n?1?(3n?2),??的前n項和。aaaa111?Sn?(1??2????n?1)?[1?4?7????(3n?2)]

aaa★3、錯位相減法：

主要用于求數(shù)列{an·bn}的前n項和，其中{an}、{bn}分別是等差數(shù)列和等比數(shù)列.例：Sn=1+3x+5x2+7x3+9x4+?+?2n-1?xn

★4、裂項相消法

①

1?1?1；

n(n?1)nn?11111?(?)；

(2n?1)(2n?1)22n?12n?11?1(1?1)；n(n?k)knn?k1111?[?]

n(n?1)(n?2)2n(n?1)(n?1)(n?2)11111?(?)，②2?2kk?12k?1k?11111111???2???；kk?1(k?1)kk(k?1)kk?1k1?n?1?n③

n?n?111?(n?k?n)

n?k?nkn11④??(n?1)!n!(n?1)!5、倒序相加法61+2+…+n=

12112223332

n(n+1)，1+2+…+n=n(n+1)(2n+1)，1+2+…+n=n(n+1)。

426六數(shù)列的分類

①遞增數(shù)列:對于任何n?N?,均有an?1②遞減數(shù)列:對于任何n?N?,均有an?1③搖擺數(shù)列:例如:?1,1,?1,1,?1,?.

④常數(shù)數(shù)列:例如:6,6,6,6