人大版微積分第三版課件6-3

二、積分上限的函數(shù)及其導數(shù)三、牛頓–萊布尼茲公式一、引例第三節(jié)微積分基本定理通過上一節(jié)課的學習，我們知道利用定義計算定積分非常繁瑣。如果被積函數(shù)較為復雜，其困難程度可想而知。因此，我們急需尋求一種新的計算方法；而本次課學習的牛頓–萊布尼茲公式恰恰為我們提供了一種計算定積分的好方法。一）新課引入：二）講授新課：Problem:該問題用定積分可表示為求下述極限問題:Howtosolveit?It’snotveryeasy!一、引例(Introduction)

在變速直線運動中,已知位置函數(shù)與速度函數(shù)之間有關系:物體在時間間隔內(nèi)經(jīng)過的路程為這種積分與原函數(shù)的關系在一定條件下具有普遍性

.考察定積分記積分上限函數(shù)二、積分上限函數(shù)及其導數(shù)積分上限函數(shù)的性質(zhì)證由積分中值定理得定理2（原函數(shù)存在定理）定理的重要意義：（1）肯定了連續(xù)函數(shù)的原函數(shù)是存在的.（2）初步揭示了積分學中的定積分與原函數(shù)之間的聯(lián)系.積分上限的函數(shù)是表示函數(shù)關系的一種新的方法.用這種方法表示的函數(shù)在物理,化學,統(tǒng)計學中有廣泛的應用.例如,以法國著名物理學家弗雷斯納爾(AugustinFresnel,1788~1827)的名字命名的弗雷斯納爾函數(shù)：這個函數(shù)最初出現(xiàn)在光波衍射理論中，現(xiàn)在它已經(jīng)被應用于高速公路的設計．Problem:研究函數(shù)S(x)性質(zhì)：單調(diào)性，極值點，凹凸性，拐點，漸進線．變限積分求導:變限積分求導:例1.

求例2.例3.Exercises:三、牛頓–萊布尼茲公式(N-LFormula)(積分形式)

證:根據(jù)定理1,故因此得記作定理2.函數(shù)

,則注意求定積分問題轉(zhuǎn)化為求原函數(shù)的問題.N-LFormula微積分學的創(chuàng)立：創(chuàng)作起始年代發(fā)表年代牛頓16651687萊布尼茲16751684，1686

17世紀下半葉，牛頓和萊布尼茲分別在前人大量工作的基礎上先后發(fā)現(xiàn)了微分和積分的關系。他們的發(fā)現(xiàn)標志著微積分學的最終創(chuàng)立。英國派代表人物：泰勒，馬克勞林歐洲大陸派代表人物：伯努利兄弟FirstpublishedproofbyBarrow(1670)IsaacBarrowDiscoveredbyNewton(1666,unpublished);andbyLeibniz(1673)IsaacNewtonGottfriedLeibniz例6.

計算正弦曲線的面積.

解:哇!:Howeasyitis!NOTATION例6揭示了微積分基本定理的巨大威力．當法國數(shù)學家GillesdeRoberval在１６３５年首次獲得正弦和余弦曲線下方的面積，這個問題在當時是富有挑戰(zhàn)性的，它需要非凡的智慧，但到１６６０～１６７０年，當Barrow發(fā)現(xiàn)了微積分基本定理并被Newton和Leibniz深入研究后，這類問題becameveryeasy!(seeExample６)評論：數(shù)學中每一步真正的進展都與更有力的工具和更簡單的方法密切聯(lián)系著，這些工具和方法同時會有助于理解已有的理論并把陳舊的，復雜的東西拋到一邊．例5.

計算解:例6.

計算解:例7求

解例8設求k的值,

使

例9求的極值

解例10．下面計算是否有錯？解：注意到由定積分性質(zhì)６