小學(xué)排列組合

排列組合知識(shí)構(gòu)造排列問題在實(shí)際生活中經(jīng)常會(huì)碰到這樣的問題，就是要把某些事物排在一起，構(gòu)成一列，計(jì)算有多少種排法，就是排列問題．在排的過程中，不僅與參加排列的事物有關(guān)，并且與各事物所在的先后次序有關(guān)．普通地，從個(gè)不同的元素中取出()個(gè)元素，按照一定的次序排成一列，叫做從個(gè)不同元素中取出個(gè)元素的一種排列．根據(jù)排列的定義，兩個(gè)排列相似，指的是兩個(gè)排列的元素完全相似，并且元素的排列次序也相似．如果兩個(gè)排列中，元素不完全相似，它們是不同的排列；如果兩個(gè)排列中，即使元素完全相似，但元素的排列次序不同，它們也是不同的排列．排列的基本問題是計(jì)算排列的總個(gè)數(shù)．從個(gè)不同的元素中取出()個(gè)元素的全部排列的個(gè)數(shù)，叫做從個(gè)不同的元素的排列中取出個(gè)元素的排列數(shù)，我們把它記做．根據(jù)排列的定義，做一種元素的排列由個(gè)環(huán)節(jié)完畢：環(huán)節(jié)：從個(gè)不同的元素中任取一種元素排在第一位，有種辦法；環(huán)節(jié)：從剩余的()個(gè)元素中任取一種元素排在第二位，有()種辦法；……環(huán)節(jié)：從剩余的個(gè)元素中任取一種元素排在第個(gè)位置，有(種)辦法；由乘法原理，從個(gè)不同元素中取出個(gè)元素的排列數(shù)是，即，這里，，且等號(hào)右邊從開始，背面每個(gè)因數(shù)比前一種因數(shù)小，共有個(gè)因數(shù)相乘．排列數(shù)普通地，對(duì)于的狀況，排列數(shù)公式變?yōu)椋磉_(dá)從個(gè)不同元素中取個(gè)元素排成一列所構(gòu)成排列的排列數(shù)．這種個(gè)排列全部取出的排列，叫做個(gè)不同元素的全排列．式子右邊是從開始，背面每一種因數(shù)比前一種因數(shù)小，始終乘到的乘積，記為，讀做的階乘，則還能夠?qū)憺椋海渲校谂帕袉栴}中，有時(shí)候會(huì)規(guī)定某些物體或元素必須相鄰；求某些物體必須相鄰的辦法數(shù)量，能夠?qū)⑦@些物體當(dāng)作一種整體捆綁在一起進(jìn)行計(jì)算．組合問題日常生活中有諸多“分組”問題．如在體育比賽中，把參賽隊(duì)分為幾個(gè)組，從全班同窗中選出幾人參加某項(xiàng)活動(dòng)等等．這種“分組”問題，就是我們將要討論的組合問題，這里，我們將著重研究有多少種分組辦法的問題．普通地，從個(gè)不同元素中取出個(gè)()元素構(gòu)成一組不計(jì)較組內(nèi)各元素的次序，叫做從個(gè)不同元素中取出個(gè)元素的一種組合．從排列和組合的定義能夠懂得，排列與元素的次序有關(guān)，而組合與次序無關(guān)．如果兩個(gè)組合中的元素完全相似，那么不管元素的次序如何，都是相似的組合，只有當(dāng)兩個(gè)組合中的元素不完全相似時(shí)，才是不同的組合．從個(gè)不同元素中取出個(gè)元素()的全部組合的個(gè)數(shù)，叫做從個(gè)不同元素中取出個(gè)不同元素的組合數(shù)．記作．普通地，求從個(gè)不同元素中取出的個(gè)元素的排列數(shù)可分成下列兩步：第一步：從個(gè)不同元素中取出個(gè)元素構(gòu)成一組，共有種辦法；第二步：將每一種組合中的個(gè)元素進(jìn)行全排列，共有種排法．根據(jù)乘法原理，得到．因此，組合數(shù)．這個(gè)公式就是組合數(shù)公式．組合數(shù)的重要性質(zhì)普通地，組合數(shù)有下面的重要性質(zhì)：()這個(gè)公式的直觀意義是：表達(dá)從個(gè)元素中取出個(gè)元素構(gòu)成一組的全部分組辦法．表達(dá)從個(gè)元素中取出()個(gè)元素構(gòu)成一組的全部分組辦法．顯然，從個(gè)元素中選出個(gè)元素的分組辦法恰是從個(gè)元素中選個(gè)元素剩余的()個(gè)元素的分組辦法．例如，從人中選人開會(huì)的辦法和從人中選出人不去開會(huì)的辦法是同樣多的，即．規(guī)定，．插板法普通用來解決求分解一定數(shù)量的無差別物體的辦法的總數(shù)，使用插板法普通有三個(gè)規(guī)定：①所要分解的物體普通是相似的：②所要分解的物體必須全部分完：③參加分物體的組最少都分到1個(gè)物體，不能有沒分到物體的組出現(xiàn)．在有些題目中，已知條件與上面的三個(gè)規(guī)定并不一定完全相符，對(duì)此應(yīng)當(dāng)對(duì)已知條件進(jìn)行適宜的變形，使得它與普通的規(guī)定相符，再合用插板法．使用插板法普通有以下三種類型：個(gè)人分個(gè)東西，規(guī)定每個(gè)人最少有一種．這個(gè)時(shí)候我們只需要把全部的東西排成一排，在其中的個(gè)空隙中放上個(gè)插板，因此分法的數(shù)目為．個(gè)人分個(gè)東西，規(guī)定每個(gè)人最少有個(gè)．這個(gè)時(shí)候，我們先發(fā)給每個(gè)人個(gè)，還剩余個(gè)東西，這個(gè)時(shí)候，我們把剩余的東西按照類型⑴來解決就能夠了．因此分法的數(shù)目為．個(gè)人分個(gè)東西，允許有人沒有分到．這個(gè)時(shí)候，我們不妨先借來個(gè)東西，每個(gè)人多發(fā)1個(gè)，這樣就和類型⑴同樣了，但是這時(shí)候物品總數(shù)變成了個(gè)，因此分法的數(shù)目為．例題精講4個(gè)男生2個(gè)女生6人站成一排合影留念，有多少種排法？如果規(guī)定2個(gè)女生緊挨著排在正中間有多少種不同的排法？4男2女6個(gè)人站成一排合影留念，規(guī)定2個(gè)女的緊挨著有多少種不同的排法？將A、B、C、D、E、F、G七位同窗在操場(chǎng)排成一列，其中學(xué)生B與C必須相鄰．請(qǐng)問共有多少種不同的排列辦法？ 6名小朋友站成一排，若兩人必須相鄰，一共有多少種不同的站法？若兩人不能相鄰，一共有多少種不同的站法？書架上有4本不同的漫畫書，5本不同的童話書，3本不同的故事書，全部豎起排成一排，如果同類型的書不要分開，一共有多少種排法？如果只規(guī)定童話書和漫畫書不要分開有多少種排法？四年級(jí)三班舉辦六一小朋友節(jié)聯(lián)歡活動(dòng)．整個(gè)活動(dòng)由2個(gè)舞蹈、2個(gè)演唱和3個(gè)小品構(gòu)成．請(qǐng)問：如果規(guī)定同類型的節(jié)目持續(xù)表演，那么共有多少種不同的出場(chǎng)次序？8人圍圓桌會(huì)餐，甲、乙兩人必須相鄰，而乙、丙兩人不得相鄰，有幾個(gè)坐法？a，b，c，d，e五個(gè)人排成一排，a與b不相鄰，共有多少種不同的排法？一臺(tái)晚會(huì)上有個(gè)演唱節(jié)目和個(gè)舞蹈節(jié)目．求：⑴當(dāng)個(gè)舞蹈節(jié)目要排在一起時(shí)，有多少不同的安排節(jié)目的次序？⑵當(dāng)規(guī)定每個(gè)舞蹈節(jié)目之間最少安排個(gè)演唱節(jié)目時(shí)，一共有多少不同的安排節(jié)目的次序？由個(gè)不同的獨(dú)唱節(jié)目和個(gè)不同的合唱節(jié)目構(gòu)成一臺(tái)晚會(huì)，規(guī)定任意兩個(gè)合唱節(jié)目不相鄰，開始和最后一種節(jié)目必須是合唱，則這臺(tái)晚會(huì)節(jié)目的編排辦法共有多少種？有10粒糖，分三天吃完，每天最少吃一粒，共有多少種不同的吃法？小紅有10塊糖，每天最少吃1塊，7天吃完，她共有多少種不同的吃法？10只無差別的橘子放到3個(gè)不同的盤子里，允許有的盤子空著．請(qǐng)問一共有多少種不同的放法？將個(gè)相似的蘋果放到個(gè)不同的盤子里，允許有盤子空著。一共有種不同的放法。把20個(gè)蘋果分給3個(gè)小朋友，每人最少分3個(gè)，能夠有多少種不同的分法？三所學(xué)校組織一次聯(lián)歡晚會(huì)，共表演14個(gè)節(jié)目，如果每校最少表演3個(gè)節(jié)目，那么這三所學(xué)校表演節(jié)目數(shù)的不同狀況共有多少種？(1)小明有10塊糖，每天最少吃1塊，8天吃完，共有多少種不同吃法?(2)小明有10塊糖，每天最少吃1塊，8天或8天之內(nèi)吃完，共有多少種吃法?有10粒糖，每天最少吃一粒，吃完為止，共有多少種不同的吃法？公路上有編號(hào)為，，，…，的十只路燈，為節(jié)省用電又能看清路面，能夠把其中的三只燈關(guān)掉，但又不能同時(shí)關(guān)掉相鄰的兩只，在兩端的燈也不能關(guān)掉的狀況下，求滿足條件的關(guān)燈辦法有多少種？學(xué)校新修建的一條道路上有盞路燈，為了節(jié)省用電而又不影響正常的照明，能夠熄滅其中盞燈，但兩端的燈不能熄滅，也不能熄滅相鄰的盞燈，那么熄燈的辦法共有多少種？在四位數(shù)中，各位數(shù)字之和是4的四位數(shù)有多少？不不大于不大于3000的四位數(shù)中數(shù)字和等于9的數(shù)共有多少個(gè)？全部三位數(shù)中，與456相加產(chǎn)生進(jìn)位的數(shù)有多少個(gè)？從1到這個(gè)正整數(shù)中，共有幾個(gè)數(shù)與四位數(shù)8866相加時(shí)，最少發(fā)生一次進(jìn)位？課堂檢測(cè)某小組有12個(gè)同窗，其中男少先隊(duì)員有3人，女少先隊(duì)員有人，全組同窗站成一排，規(guī)定女少先隊(duì)員都排一起，而男少先隊(duì)員不排在一起，這樣的排法有多少種？把7支完全相似的鉛筆分給甲、乙、丙3個(gè)人，每人最少1支，問有多少種辦法？在三位數(shù)中，最少出現(xiàn)一種6的偶數(shù)有多少個(gè)？家庭作業(yè)將三盆同樣的紅花和四盆同樣的黃花擺放成一排，規(guī)定三盆紅花互不相鄰，共有種不同的放法。學(xué)校合唱團(tuán)要從個(gè)班中補(bǔ)充名同窗，每個(gè)班最少名，共有多少種抽調(diào)辦法？能被3整除且最少有一種數(shù)字是6的四位數(shù)有個(gè)。學(xué)校乒乓球隊(duì)一共有4名男生和3名女生．某次比賽后他