江蘇省連云港市灌南縣第二中學(xué)2023年數(shù)學(xué)高二上期末達標(biāo)檢測試題含解析

江蘇省連云港市灌南縣第二中學(xué)2023年數(shù)學(xué)高二上期末達標(biāo)檢測試題注意事項1．考試結(jié)束后，請將本試卷和答題卡一并交回．2．答題前，請務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號用0．5毫米黑色墨水的簽字筆填寫在試卷及答題卡的規(guī)定位置．3．請認(rèn)真核對監(jiān)考員在答題卡上所粘貼的條形碼上的姓名、準(zhǔn)考證號與本人是否相符．4．作答選擇題，必須用2B鉛筆將答題卡上對應(yīng)選項的方框涂滿、涂黑；如需改動，請用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案．作答非選擇題，必須用05毫米黑色墨水的簽字筆在答題卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律無效．5．如需作圖，須用2B鉛筆繪、寫清楚，線條、符號等須加黑、加粗．一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．雙曲線C:的右焦點為F，過點F作雙曲線C的兩條漸近線的垂線，垂足分別為H1，H2.若，則雙曲線C的離心率為（）A. B.C. D.22．設(shè)集合或，，則（）A. B.C. D.3．設(shè)等差數(shù)列，的前n項和分別是，若，則（）A. B.C. D.4．已知雙曲線的離心率為，則雙曲線C的漸近線方程為（）A. B.C. D.5．已知橢圓C：的一個焦點為（0，-2），則k的值為（）A.5 B.3C.9 D.256．已知雙曲線的左、右焦點分別為，，P為雙曲線C上一點，，直線與y軸交于點Q，若，則雙曲線C的漸近線方程為（）A. B.C. D.7．已知是拋物線上的點，F(xiàn)是拋物線C的焦點，若，則（）A.1011 B.2020C.2021 D.20228．已知橢圓的左、右焦點分別為，，直線過且與橢圓相交于不同的兩點，、不在軸上，那么△的周長（）A.是定值B.是定值C.不是定值，與直線的傾斜角大小有關(guān)D.不是定值，與取值大小有關(guān)9．函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為（）A. B.C. D.10．已知直線過點，且與直線垂直，則直線的方程為（）A. B.C. D.11．雙曲線：的左、右焦點分別為、，過的直線與y軸交于點A、與雙曲線右支交于點B，若為等邊三角形，則雙曲線C的離心率為（）A. B.C.2 D.12．若展開式的二項式系數(shù)之和為，則展開式的常數(shù)項為（）A. B.C. D.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知在△中，角A，B，C的對邊分別是a，b，c，若△的面積為2，邊上中線的長為．且，則△外接圓的面積為___________14．已知點，則線段的垂直平分線的一般式方程為__________.15．若直線與雙曲線的右支交于不同的兩點，則的取值范圍__________16．若不等式的解集為，則________三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知數(shù)列滿足（1）證明：數(shù)列為等差數(shù)列，并求數(shù)列的通項公式；（2）設(shè)，求數(shù)列的前n項和18．（12分）已知數(shù)列與滿足（1）若，且，求數(shù)列的通項公式；（2）設(shè)的第k項是數(shù)列的最小項，即恒成立．求證：的第k項是數(shù)列的最小項；（3）設(shè)．若存在最大值M與最小值m，且，試求實數(shù)的取值范圍19．（12分）已知動圓過點，且與直線：相切（1）求動圓圓心的軌跡方程；（2）若過點且斜率的直線與圓心的軌跡交于兩點，求線段的長度20．（12分）經(jīng)觀測，某公路段在某時段內(nèi)的車流量（千輛/小時）與汽車的平均速度（千米/小時）之間有函數(shù)關(guān)系：（1）在該時段內(nèi)，當(dāng)汽車的平均速度為多少時車流量最大？最大車流量為多少？（精確到）（2）為保證在該時段內(nèi)車流量至少為千輛/小時，則汽車的平均速度應(yīng)控制在什么范圍內(nèi)？21．（12分）如圖，在四棱錐中，底面ABCD為直角梯形，，，平面底面ABCD，Q為AD的中點，M是棱PC的中點，，，（1）求證：；（2）求直線PB與平面MQB所成角的正弦值22．（10分）在平面直角坐標(biāo)系中，有一條長度為3的線段，端點，分別在軸、軸上運動，為線段上一點，且.（1）求點的軌跡的方程；（2）已知不過原點的直線與相交于，兩點，且線段始終被直線平分.求的面積取最大時直線的方程.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、D【解析】將條件轉(zhuǎn)化為該雙曲線的一條漸近線的傾斜角為，可得，由離心率公式即可得解.【詳解】由題意，(為坐標(biāo)原點)，所以該雙曲線的一條漸近線的傾斜角為，所以，即，所以離心率.故選：D.2、B【解析】根據(jù)交集的概念和運算直接得出結(jié)果.【詳解】由題意知，.故選：B.3、C【解析】結(jié)合等差數(shù)列前項和公式求得正確答案.【詳解】依題意等差數(shù)列，的前n項和分別是，由于，故可設(shè)，，當(dāng)時，，，所以，所以.故選：C4、B【解析】根據(jù)a的值和離心率可求得b,從而求得漸近線方程.【詳解】由雙曲線的離心率為，知，則，即有，故，所以雙曲線C的漸近線方程為，即，故選：B.5、A【解析】由題意可得焦點在軸上，由，可得k的值.【詳解】∵橢圓的一個焦點是，∴，∴，故選：A6、B【解析】由題意可設(shè)且，即得a、b的數(shù)量關(guān)系，進而求雙曲線C的漸近線方程.【詳解】由題設(shè)，，，又，P為雙曲線C上一點，∴，又，為的中點，∴，即，∴雙曲線C的漸近線方程為.故選：B.7、C【解析】結(jié)合向量坐標(biāo)運算以及拋物線的定義求得正確答案.【詳解】設(shè)，因為是拋物線上的點，F(xiàn)是拋物線C的焦點，所以，準(zhǔn)線為：，因此，所以，即，由拋物線的定義可得，所以故選：C8、B【解析】由直線過且與橢圓相交于不同的兩點，，且，為橢圓兩焦點，根據(jù)橢圓的定義即可得△的周長為，則答案可求【詳解】橢圓，橢圓的長軸長為，∴△的周長為故選：B9、B【解析】求出函數(shù)的定義域，解不等式可得出函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間.【詳解】函數(shù)的定義域為，由，可得.因此，函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為.故選：B.10、A【解析】求出直線斜率，利用點斜式可得出直線的方程.【詳解】直線的斜率為，則直線的斜率為，故直線的方程為，即.故選：A.11、B【解析】由雙曲線的定義知，，又為等邊三角形，所以，由對稱性有，所以，在直角三角形中，求出，在三角形中，由余弦定理求出，從而即可求解.【詳解】解：由雙曲線的定義知，，又為等邊三角形，所以，由對稱性有，所以，在直角三角形中，，在三角形中，由余弦定理有，所以，解得，所以雙曲線C的離心率，故選：B.12、C【解析】利用二項式系數(shù)的性質(zhì)求得的值，再利用二項式展開式的通項公式，求得結(jié)果即可.【詳解】解：因為展開式的二項式系數(shù)之和為，則，所以，令，求得，所以展開式的常數(shù)項為.故選：C.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、或【解析】由已知，結(jié)合正弦定理邊角關(guān)系及三角形內(nèi)角的性質(zhì)可得，再根據(jù)三角形面積公式、余弦定理列方程求邊長b、c，應(yīng)用余弦定理求邊長a，根據(jù)正弦定理求外接圓半徑，再用圓的面積公式求面積.【詳解】由題設(shè)及正弦定理邊角關(guān)系有，又，∴，∴，∴．又，∴，即又據(jù)題意，得，且，∴或，故或，∴△外接圓的半徑或，∴△外接圓的面積為或故答案為：或14、【解析】由中點坐標(biāo)公式和斜率公式可得的中點和直線斜率，由垂直關(guān)系可得垂直平分線的斜率，由點斜式可得直線方程，化為一般式即可【詳解】由中點坐標(biāo)公式可得，的中點為，可得直線的斜率為，由垂直關(guān)系可得其垂直平分線的斜率為，故可得所求直線的方程為：，化為一般式可得故答案為：15、【解析】聯(lián)立直線與雙曲線方程，可知二次項系數(shù)不為零、判別式大于零、兩根之和與兩根之積均大于零，據(jù)此構(gòu)造不等式組，解不等式組求得結(jié)果.詳解】將代入雙曲線方程整理可得：設(shè)直線與雙曲線右支交于兩點，解得：本題正確結(jié)果：【點睛】本題考查根據(jù)直線與雙曲線位置關(guān)系求解參數(shù)范圍的問題，屬于基礎(chǔ)題.16、11【解析】根據(jù)題意得到2與3是方程的兩個根，再根據(jù)兩根之和與兩根之積求出，進而求出答案.【詳解】由題意得：2與3是方程的兩個根，則，，所以.故答案為：11三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）證明見解析，；（2）.【解析】（1）由得是公差為2的等差數(shù)列，再由可得答案.（2）,分為奇數(shù)、偶數(shù)，分組求和即可求解.【小問1詳解】由，得，故是公差為2的等差數(shù)列，故，由，故，于是.【小問2詳解】依題意，，當(dāng)為偶數(shù)時，故，當(dāng)為奇數(shù)時，，綜上，.18、（1）（2）證明見解析．（3）【解析】（1）由已知關(guān)系得出是等差數(shù)列及公差，然后可得通項公式；（2）由已知關(guān)系式，利用累加法證明對任意的，恒成立，即可得（3）由累加法求得通項公式，然后確定的奇數(shù)項和偶數(shù)項的單調(diào)性，得出數(shù)列的最大項和最小項，再利用已知范圍解得的范圍【小問1詳解】由已知，是等差數(shù)列，公差為6，所以；【小問2詳解】對任意的，恒成立，而恒成立，若，則，恒成立，同理若，也有恒成立，所以對任意的，恒成立，即是最小項；【小問3詳解】時，，所以，也適合此式所以，若，則，，，即，，若，由于，且是正負(fù)相間，因此無最大項也無最小項因此有，所以的奇數(shù)項數(shù)列是遞增數(shù)列，且，，的偶數(shù)項數(shù)列是遞減數(shù)列，且，，所以的最大值是，最小項是，，由，又，所以19、（1）；（2）.【解析】（1）由題意分析圓心符合拋物線定義，然后求軌跡方程；（2）直接聯(lián)立方程組，求出弦長.【詳解】解：（1）圓過點，且與直線相切點到直線的距離等于由拋物線定義可知點的軌跡是以為焦點、以為準(zhǔn)線的拋物線，依題意，設(shè)點的軌跡方程為，則，解得，所以，動圓圓心的軌跡方程是（2）依題意可知直線，設(shè)聯(lián)立，得，則，所以，線段的長度為【點睛】（1）待定系數(shù)法、代入法可以求二次曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）“設(shè)而不求”是一種在解析幾何中常見的解題方法，可以解決直線與二次曲線相交的問題.20、（1）當(dāng)（千米/小時）時，車流量最大，最大值約為千輛/小時；（2）汽車的平均速度應(yīng)控制在這個范圍內(nèi)（單位：千米/小時）.【解析】（1）利用基本不等式可求得的最大值，及其對應(yīng)的值，即可得出結(jié)論；（2）解不等式即可得解.【小問1詳解】解：，（千輛/小時），當(dāng)且僅當(dāng)時，即當(dāng)（千米/小時）時，車流量最大，最大值約為千輛/小時.【小問2詳解】解：據(jù)題意有，即，即，解得，所以汽車的平均速度應(yīng)控制在這個范圍內(nèi)（單位：千米/小時）.21、（1）證明見解析（2）【解析】（1）根據(jù)等腰三角形可得，再由面面垂直的性質(zhì)得出線面垂直，即可求證；（2）建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法求線面角.【小問1詳解】因為Q為AD的中點，，所以，又因為平面底面ABCD，平面底面，平面PAD，所以平面ABCD，又平面ABCD，所以【小問2詳解】由題可知QA、QB、QP兩兩互相垂直，以QA為x軸、QB為y軸、QP為z軸建立空間坐標(biāo)系，如圖，根據(jù)題意，則，，，，，由M是棱PC的中點可知，，設(shè)平面MQB的法向量為，，，則，即令，則，，故平面MQB的一個法向量為，所以，所以直線PB與平面MQB所成角的正弦值為22、（1）（2）【解析】(1)設(shè)，根據(jù)題意可得，，利用兩點之間的距離公式表示出，化簡即可得出結(jié)果；(2)設(shè)，，線段的中點為，利用兩點坐標(biāo)表示直線斜率的公式和點差法求出直線的斜率，設(shè)的方