一元二次方程實(shí)根在給定范圍內(nèi)的充要條件及應(yīng)用

一元二次方程實(shí)根在給定范圍內(nèi)的充要條件及應(yīng)用學(xué)校：鹽亭縣八角初中姓名：張?jiān)乱摚憾魏瘮?shù)f(x)=ax2+bx+c(a>0)的圖象是開(kāi)口向上，頂點(diǎn)橫坐標(biāo)X=-的拋物線。2、一元二次方程f(x)=ax2+bx+c=0兩定實(shí)根x1、x2，由韋達(dá)定理有=-，當(dāng)對(duì)應(yīng)拋物線與x軸相交時(shí)，兩交點(diǎn)橫坐標(biāo)分別為x1、x2，若x1<x2時(shí)則必x1<-<x2。12二、問(wèn)題的引出:-若一元二次方程f（x）=0有任意實(shí)根的充要條件是△=b2-4ac≥0。若f（x）=0有實(shí)根且實(shí)根在某個(gè)給定范圍（R之子集）內(nèi)充要條件（即與a、b、c關(guān)系）又是怎樣的？三、定理：f（x）=ax2+bx+c=0（a>0）的判別式△>0的充要條件是：存在實(shí)數(shù)m，使f（m）<0。證明：⑴若△>0，f（m）=ax2+bx+c=a（m+）2+<0。⑵若存在實(shí)根m，有f（m）<0，即a（m+）2+<0，得4ac-b2<0，即△>0，命題成立。四、推論：1、對(duì)于f(x)=ax2+bx+c=0（a>0），△>0?f(-)<0。2、對(duì)于f(x)=ax2+bx+c，△>0?af(-)<0。即a的正負(fù)號(hào)未明確時(shí)，可用該推論，亦可以分a>0，a<0討論。五、結(jié)論：f（x）=ax2+bx+c=0（a>0）兩實(shí)根X1<X2，m、n、p、r為常數(shù)。根的范圍充要條件示意圖m<x1<x2f(-)≤0f（m）>0->mXx1<x2<mf（-)≤0f（m）>0->mX--x1<m<x2f（m）<0Xm<X1<X2<n△>0m<-<nf（m）>0f（n）>0Xm<x1<n<x2<Pf（n）<0f（m）>0f（p）>0Xm<x1<n<P<X2<rf（m）>0f（n）<0f（p）<0f（r）>0Xx1<m<n<x2f（m）<0f（n）<0X說(shuō)明：1、若“某一元二次方程實(shí)根在（a，b）內(nèi)”分為①僅一根在其內(nèi)（較大根或者較小根）；②兩根都在其內(nèi)的情形。2、聯(lián)系一元二次方程、二次函數(shù)、一元二次不等式知識(shí)。六、應(yīng)用舉倒：例1：m為何值時(shí)，方程x2-6（m-1)x+7m-9m-1=0有兩實(shí)根都在（-∞，5）內(nèi)？解法1：設(shè)方程f（x）=0有兩實(shí)根的充要條件是：△>0f（5）>0解得：<m<或m<2-3（m-1）<5解法2：方程f（x）=0有兩實(shí)根，Δ≥0得到m<2或m>且X=3(m-1)+,只需較大的根在（-∞，5）內(nèi)，3(m-1)+<5,得到m<綜合得：<m<或m<2。例2：設(shè)方程f（a）=X-4x+K=0有兩實(shí)根，X在區(qū)間（0，1）內(nèi)，X在區(qū)間(2，5）內(nèi)，K值。解：其充要條件是：f（0）>0f（1）<0即：0<K<3f（2）<0f（5）>0例3：求y=sin2θ+sinθ（θ∈R）值域。解法1：即求關(guān)于sinθ的方程sin2θ+sinθ-y=0在[-1，1]上，有解的y的范圍，令f（sinθ）=sin2θ+sinθ-y=（sinθ+）2--y.⑴當(dāng)一根在[-1，1]上時(shí)，只有較大的根合題，其充要條件是：f（-1）≤0且f（1）≥0，得0≤y≤2；亦可一根在[-1，1]上時(shí)?f(-1)f(1)≤0，同樣得0≤y≤2。⑵兩根都在[-1，1]上時(shí)，??≥0f（-1）≥0f（1）≥0sinθ-1<-<1--即：-≤y≤0.綜上得-≤y≤2.解法2：y=（sinθ+）-當(dāng)sinθ=-時(shí)，Y=-當(dāng)sinθ=1時(shí)，Y=2所以-≤y≤2.例5：方程9-4.3-a=0有實(shí)根，求a的范圍。解：設(shè)3=t，t∈（0，1]，則方程f（t）=t2-4t-a=（t-2）-a-4=0有實(shí)根且在（0，1]上的充要條件（只有較小根合題)是：f（0）>0f（1）≤0即：-3≤a<0例3：當(dāng)m為何值時(shí)，方程f（x）=mx+4mx+2=0有兩實(shí)根，且一根大于4，另一